1、江苏省南京市江宁区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1的值为A1BCD【解析】【答案】B2数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为A6B6.5C7D5.5【解析】由题意可知，共有10个数字，则第60百分位数的位置为，即在第6位和第7位上的数字和的平均数【答案】D3设为平面内一个基底，已知向量，若，三点共线，则的值是A2B1CD【解析】，三点共线，【答案】D4已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为ABCD【解析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长
2、为，侧面展开图是一个半圆，圆锥的表面积为，故圆锥的底面半径为【答案】B5设函数在区间，内有零点，则的值为AB0C1D2【解析】由，可得在上单调递增，由（1），（2），可得在内存在零点，则【答案】C6已知，则ABCD【解析】， 则【答案】D7九章算术把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“堑堵” ，其中，当“阳马”（即四棱锥体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为ABCD【解析】由已知可得，平面，则，解得此时“堑堵”即三棱柱的外接球的直径，三棱柱的外接球的体积为【答案】B8在中，为线段上的动点，且，则的最小
3、值为ABCD【解析】设，根据题意得，解得，又、三点共线，当且仅当，即时，等号成立【答案】C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9下列有关复数的说法正确的是A若复数，则B若，则是纯虚数C若是复数，则一定有D若，则【解析】对于A，设，则，若，则，故A正确；对于B，设时，而不是纯虚数，故B错误；对于C，当时，则，故C错误；对于D，令，则，若，则，故D正确【答案】AD10已知，是不同的平面，是不同的直线，则使得成立的充分条件是A，B，C，D，【解析】若，则，平行，相交，异面，错误，若，根据线面平行
4、的性质，则，正确，若，根据线面垂直的性质，则，正确，若，根据线面，面面平行的性质，则，平行，异面，相交，错误【答案】BC11在中，角，的对边分别为，已知，下列说法正确的是A若有两解B若，有两解C若为锐角三角形，则的取值范围是D若为钝角三角形，则的取值范围是【解析】A选项，有两解，故A正确；B选项，是锐角，是确定的，至多有一解，故B错误；C选项，为锐角三角形，所以，即，故C正确；D选项，事实上，当时，恰好有，；当时，必有，故D错误【答案】AC12已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的有AB直线过边的中点CD若，则【解析】对于A，故A正确；对于B，若直线必过边的中点，则与矛盾，故B错误；对于
5、C，由奔驰定理得：，故C正确；对于D，故D正确【答案】ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第一空3分，第二空2分，共20分.13【解析】【答案】14在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为 【解析】，是直线与所成的角（或所成角的补角），设正方体的棱长为2，则，直线与所成的角为【答案】15在平面直角坐标系中，点、，以线段，为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为 【解析】在平面直角坐标系中，点、，以线段，为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为【答案】16我国南宋时期杰出数学家秦九韶在数学九章中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘
6、于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即（其中为三角形面积，为三角形的三边）在非直角中，为内角，所对应的三边，若且，则面积的最大值是 ，此时外接圆的半径为 【解析】因为，由正弦定理得，所以，即，因为，所以，由正弦定理得，由题意可得，当时，三角形的面积最大，此时，解得，设外接圆的半径为，可得，可得【答案】；3四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知复数，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”（1）求实数；（2）定义复数
7、的一种运算“”： ，求解：（1）复数，是“理想复数”， ，（2）由（1）知，则，由，得18（12分）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在，内，将笔试成绩按照，分组，得到如图所示频率分布直方图（1）求频率分布直方图中的值；（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线解：（1）由频率分布直方图的性质得：，解得（2）应聘者笔试成绩的众数为：，应聘者笔试成绩的平均数为：（3）由频率分布直方图可知：，中有：
8、，中有：，中有：，中有：，设分数线定为，则，解得故分数线为6519（12分）已知，为锐角，（1）求的值；（2）求的值解：（1），（2），为锐角，则，而，则，于是，20（12分）在中，分别为角，的对边，且，（1）求角大小；（2）为边上一点，且 _，求的面积（从为的平分线，为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线并作答如果都选，以选计分解：（1），且，在三角形中，故；（2）选：因为为的平分线，所以，又因为，所以，即，则，又由余弦定理可得，即，所以，即，解得或（舍去）所以；选：因为为的中点，则，则，故有，即，又由余弦定理可得，解得，所以21（12分）如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，（1）
9、求证：；（2）当与平面所成角为时，求二面角的余弦值解：（1）在三棱锥中，面面，面面，又，面，面，又面，；（2）取中点，连接，如图，因，于是得平面，是与平面所成角，即，令，则，因，即有，由（1）知，则有，过作于，在平面内过作交于点，从而得是二面角的平面角，中，中，由余弦定理得，显然是斜边中点，则，中，由余弦定理得二面角的余弦值为22（12分）已知的内角，的对边分别为，为边上两点，（1）求的长；（2）过线段中点作一条直线，分别交边，于，两点，设，求的最小值解：（1）在与中分别有正弦定理可得：和，两式相除可得：又因为，所以可得，因为，所以，因为，所以，又，在中，由余弦定理可得，可得，在和中由余弦定理可得：，即，可得，所以；（2）因为，所以，得，得，所以，同理：设，得，因为为中点，所以，所以可得：，可得：，当且仅当：时取等号，即，所以的最小值
