1、第二章 交流电机 的坐标变换2-1:变换概述2-2:循环矩阵的对角化2-3：1、2、0及F、B、0坐标系统2-4:、0坐标系统2-5:d、q、0坐标系统2-6:dc、qc、0坐标系统2-7:任意速坐标系统2-8:结论2-1:变换概述一个电机系统的磁链方程可以写成：ILNBANNBNABNBBAANABANBAiiiLMMMLMMML假定存在一个非奇异矩阵T，将变换成c，将I变换成Ic：nccncciii2121,IITIT新的磁链1、2、n称为实际磁链A、B、N的分量；同样i1、i2、in称为实际电流的分量。TLTLILTILTTILT11cccccccc所以或者其中如果变换T明显使得新的电感
2、矩阵Lc较变换前的电感矩阵L简单，这个变换才是有意义的。如果Lc变成一个对角矩阵，那这个变换是最理想的：ccnnnciiiLLLIL212121000000利用这个变换，磁链方程变成：2-2:循环矩阵的对角化1.电感矩阵的特点2.循环矩阵的对角化3.电感矩阵的对角化4.变换矩阵的一般化5.三阶循环对称电感矩阵的变换2-2.1 电感矩阵的特点#由于互感的对等性，电感矩阵是对称矩阵：NCNBNANCNCBCACBNBCBABANACABALMMMMLMMMMLMMMMLL由于Mij=Mji,n阶对称矩阵中只有n(n+1)/2各不同的元素。#n相对称系统的电感矩阵是循环的 n相对称系统中各相自感相等
3、，相同相对位置的两相间的互感相等。即：1,1,jijijiMMLL这样的矩阵称为循环矩阵。n阶循环矩阵只有n个不同的元素：AADACABALAANAMAMABAANANACABALMMMMLMMMMLMMMMLL若n阶循环矩阵又是对称的，则根据n是奇数或偶数，其中只有(n+1)/2或(n+2)/2个不同的元素。#最简单的循环矩阵00001100000010000010不难证明，循环电感矩阵可以表示成12nANACABAMMML1L根据矩阵理论，任何可以对角化矩阵的变换T，也可以对角化循环矩阵L。矩阵称为置换矩阵。置换矩阵。2-2.2 循环矩阵的对角化n阶置换矩阵的n个特征根由下面特征方程给出：
4、12112111231221,xxxxxxxxxxxxxxxxXnnnnnnnTnXX或者因此这样，矩阵的n个特征根由下式给出：01 n解这个方程得到n个特征根：1,2,1,0,2nkekjkn若记kkjaean2则 为求与特征根k对应的特征向量，将之代入特征方程，并令 ，得Tnkkkkn1211X 按k=n-1,n-2,1,0的顺序，将各特征根代入上式就得到n个特征向量。nx/11111111111)2)(1()1)(1(2)2(2)1(221nnnnnnnnnaaaaaaaaanF这个变换矩阵将使置换矩阵变成如下的对角矩阵：1000000000000211aaannFFDn个特征向量构成了
5、如下的变换矩阵：n个特征向量构成了如下的变换矩阵：2-2.3 电感矩阵的对角化11FDFFFD由此可以推导得12112FFDFDFFDF同样地111133FFDFFDnn，112)(FDDD1FLnANACABAMMML这样变换后的电感矩阵121nANACABATMMMLDDD1LFFL由于D，D2，Dn-1是对角矩阵，因此LT也是一个对角矩阵：ANACABAnANACABAnnANnACnABAnnANnACnABATMMMLaMaMaMLaMaMaMLaMaMaML)1(2)2)(1()2(22)1)(1()1(21diagL2-2.4 变换矩阵的一般化 若在生成特征向量时，不是令x1=1
6、，而是令其等于一个模为1的复数，则Tnkkkjkke121X由此得到更加一般化的变换矩阵01210121012101211)2)(1()1)(1(2)2(2)1(2211jjnjnnjnnjjjnjnjjjnjnjjjjgeeaeaeaeeaeaeaeaeeaeaeeeennnnnnnnnF式中0，1，n-1可以是常数，或是一个变量，如时间t，的函数。2-2.5 三阶循环对称电感矩阵的变换对于一个三阶的循环矩阵，其变换矩阵为1111131111113122242aaaaaaaaF 若同时电感矩阵是对称的，如隐极电机定子绕组的电感矩阵：000000000SSSSSSSSSLMMMLMMMLL它的
7、特征根由一个单重根1和一个两重根2构成：00320012SSSSMLML与这三个特征根对应的特征向量33333222221111,XXX因此变换矩阵为：13322132132F为保证变换矩阵的可逆，上式中3232/2-3：1、2、0及F、B、0坐标系统1、2、0坐标系统F、B、0坐标系统2-3.1:1、2、0坐标系统1111122aaaaF 从a、b、c坐标或相坐标系统到1、2、0坐标系统的变换矩阵除一个系数外，就是前面曾导得的矩阵F11201201202202112012012002122111113111111）（abcabcabcabccbaabccbaabciiiaaaaiiiiiia
8、aaaiiiCCICIICI也就是说或者变换逆变换#对于隐极电机定子电感矩阵为000000000SSSSSSSSSSSLMMMLMMMLL变换后的电感矩阵为：00000012000000SSSSSSSTMLMLMLLFFL#120分量法与惯用的对称分量法在基本形式上是一样的。但120坐标变换中ia、ib、ic是瞬时值；而对称分量法中是随时间做正弦变化的复数时间向量。cbaIII、使变换前后的功率保持不变变换矩阵的系数1/3是根据使变换前后的电压或电流幅值保持不便来选择的。但这样的变换不能保持变换前后的功率不变。为使变换前后的功率不变，变换矩阵应为：1111131,111113122122aaa
9、aaaaaTT这时，变换矩阵满足条件T)(*1TT既逆变换矩阵等于变换矩阵的共轭矩阵的转置。2-3.2 F、B、0坐标系统如在变换矩阵的一般化中所述，变换矩阵也可以取为：11122jjjjjjeaaeaeeaeeF如果上式中的就是转子的位置，则这个变换与120变换的区别在于：120变换将坐标轴固定在定子轴线上，而FB0变换则将坐标轴固定在转子上。习惯采用的FB0变换矩阵的系数与F有所不同abcabcFBcbajjjjjjBFFBiiiaeeaeeaaeeiiiICI0212121220032逆变换为：10000022)(22221abcFBFBabcFBFBabcBFjjjjjjcbaabci
10、iieaaeaeeaeeiiiCCICIFB0变换与120变换的关系为：2/2/,222121jBjFjBjFeiieiieiieii2-4:、0坐标系统13322132132F在2-2节中曾讲到，对于三阶循环对称矩阵，可以采用如下的变换若选择2/3;0;2/1;1;13322112/32/112/32/1101F得变换的算式00010012/32/112/32/1101ICICIabcabccbaabciiiiiiabcabccbaiiiiiiICI0002/12/12/12/32/302/12/1132 由于电机中性点一般不接地，故零序电流等于零。这样就可以用、两个绕组取代原先的a,b,c
11、三个绕组。0、0坐标系0分量在各种坐标系统中基本都是一样的。常为0。#使变换前后的功率保持不变习惯采用的变换矩阵使变换前后幅值保持不变。为使变换前后功率保持不变，可采用下面的变换矩阵Tabcabcabcabc)()(2/12/12/12/32/302/12/113201000CCCC#0变换与120变换的关系212111,1121iijjiiiijjii2-5:d、q、0坐标系统2/12/12/1)3/2sin()3/2sin(0sin)3/2cos()3/2cos(0cos320abcC0坐标变换矩阵也可以写成：假定让轴逆时针方向转过角度，则相应地变换矩阵变成：2/12/12/1)3/2si
12、n()3/2sin(sin)3/2cos()3/2cos(cos32C如果就是转子的位置，随着转子旋转而变化，就得到dq0坐标的变换矩阵。可见，dq0坐标系统与0坐标系统的不同在于：0坐标系统固定在定子上，轴与a轴重合；而dq0坐标系统固定在转子上，d轴与转子直轴重合。2/12/12/1)3/2sin()3/2sin(sin)3/2cos()3/2cos(cos320abcdqC1)3/2sin()3/2cos(1)3/2sin()3/2cos(1sincos0dqabcC变换矩阵：反变换矩阵：Tqddqodqodqabcabcabcabcdqdqoiii000,IICIICI计算式：#恒功率
13、变换Tabcdqabcdqdqabcabcdq)()(2/12/12/1)3/2sin()3/2sin(sin)3/2cos()3/2cos(cos3201000CCCC惯用的变换是恒相幅值变换。恒功率变换应将变换矩阵改成：dq0坐标变换通常又称为派克(Park)变换。qdqdiiiiiiiicossinsincoscossinsincos#dq0与0的关系：或者，当考虑零序分量时：000001000cossin0sincosICdqqdiiiiiiabcabcdqdqdqICCICI0000000abcdqabcdq0000CCC或者：所以：Tdqdqdq)()(0010000CCC#dq0
14、与120的关系：qddqqdjjjjdqjjjjqdiiiijeejeeiiiiiijejeeeii122121122121CC#dq0与FB0的关系：FB0坐标中F分量以d轴作为实部，q轴分量作为虚部。B分量是F分量的共轭。qdBFBFqdiijjiiiijjii112111212-6:dc、qc、0坐标系统dcqc0坐标系统与dq0坐标系统的不同之处在于：dq0坐标系统的坐标轴固定在以角速度旋转的转子上；而dcqc0坐标系统则是以同步速1旋转。因此，dcqc0坐标变换矩阵的形式与dq0坐标变换矩阵完全相同，只不过其中的 ，而是 。0t01tdcqc0坐标系统与dq0坐标系统的关系为0001
15、)(cossinsincostqdqcdcdtiiiiFcBc0坐标系统相似地，FB0坐标系统将坐标系固定在以角速度旋转的转子上；FcBc0坐标系统则是以同步速1旋转。因此只需将FB0坐标变换矩阵中的换成 ，就得到FcBc0坐标变换矩阵。01tFcBc0坐标系统中，Fc分量以dc轴的分量作为实部，以qc轴分量作为虚部；Bc分量是Fc分量的共轭：BcFcqcdcqcdcBcFciijjiiiijjii112111212-7:任意速坐标系统前面介绍了六种坐标系统：实数空间复数空间坐标系转速静止转子同步速01 2 0d q 0F B 0dcqc0FcBc0可见，对于实数空间和复数空间的各坐标系统，它
16、们之间的区别仅仅在于坐标系统的转速。#复数空间任意速坐标系统11131,1113122cmp22cmpjjjjjjabcjjjjjjabceaaeaeeaeeaeeaeeaaeeCC120坐标系统：=0，坐标系固定在定子上；FB0坐标系统：=t+0，坐标系固定在转子上；FcBc0坐标系统：=1t+0，坐标系以同步速旋转；不同速坐标系间的变换矩阵：1000000)()(xyxyjjcxcyeeC#实数空间任意速坐标系统Tabcrelabcrelrelabcabcrel)()(2/12/12/1)3/2sin()3/2sin(sin)3/2cos()3/2cos(cos321CCCC0坐标系统：=
17、0，坐标系固定在定子上；dq0坐标系统：=t+0，坐标系固定在转子上；dcqc0坐标系统：=1t+0，坐标系以同步速旋转；恒功率变换。恒相幅值变换时非恒速时，通过积分确定：00)(tdtt式中=t+0，为坐标系的旋转速度：不同速坐标系统之间的变换矩阵为：Trxryrxryryrxxyxyxyxyrxry)()(1000)cos()sin(0)sin()cos(1CCCC#同速实数与复数坐标系统间的变换：Trelimgrelimgimgrelrelimgjj)()(200010121*1CCCC#实数空间任意速变换的物理意义：三相电机的物理模型：既然定子三相绕组对称，可将之用正交X,Y轴线的绕组
18、和一个零轴绕组代替(变换的物理模型)：任意速坐标变换的物理模型：在保持线圈元件静止的前提下，允许XY轴线旋转。为此，在定子线圈上增设换向器和电刷，XY绕组的轴线就在电刷的连线上：转子以的速度旋转，电刷以的速度旋转，电枢仍为静止的。dq0坐标变换的物理模型：使电刷的旋转速度等于转子的旋转速度，并使X轴与转子d轴重合：这相当于一台在交直轴上各有一对电刷的转极式直流电机。为使之变成习惯的转枢式，将转子固定，则电枢将相对转子按顺时针方向旋转，成为一台外转子直流电机。伪静止绕组：象上述模型中，绕组的线圈元件静止不动，而绕组轴线旋转，或更一般地说，绕组的轴线与构成该绕组的线圈元件间存在相对运动的绕组称为“
19、伪静止绕组”。2-8 结论 1.坐标变换将相互偶合的a,b,c三个绕组变换成在空间上相互正交的、互相间无偶合的三个绕组，从而电感矩阵变成对角阵，便于分析。2.各种变换中的0轴分量基本上是相同的。这个分量相当于零序分量，通常等于0，因此在分析中可以不用此分量。这样相当于把平面上相差120度的a,b,c三个绕组变换成同一平面上相隔90度的两个绕组。3.各种变换的不同之处在于除了0轴分量外的其它两个分量。在不同的坐标系统中这两个分量可以是实数的，或是复数的，坐标轴可以以不同的转速旋转。4.同一问题可以用几种不同的坐标系统微求得解答。但用某些坐标系统时求解更加方便些，而用另一些坐标系统则求解过程要繁琐一些。因此应掌握不同坐标系统的特点及它们间的转换关系，善于根据问题的性质和具体条件选择最合适的坐标系统。5.一般地说，假定定子和转子中某一方的电路或磁路是对称的，而另一方是非对称的，则选择把坐标轴固定在不对称的一方上的坐标系统上有利于简化求解过程。6.坐标变换矩阵前的系数可以是任意的。在实际中常用的选择系数的方法有两种：一是保持变换前后各相变量的瞬时值不变，即恒相幅值变换；二是保持变换前后的功率不变，即恒功率变换。
