1、第五章第五章 网络系统可靠性网络系统可靠性 第一节第一节 网络的基本概念网络的基本概念 第二节第二节 网络可靠性计算网络可靠性计算 第三节第三节 单调关联系统单调关联系统 习题习题更多内容请关注http:/ 网络的基本概念网络的基本概念 u网络系统是比较复杂的系统。图5-1所示的桥形系统就是一个网络图图5-1 桥形网络桥形网络 有向弧:有方向的弧无向弧:无方向的弧输出节点:只有流出弧而没有流入弧的节点输入节点:只有流入弧而没有流出弧的节点最小通路:若从连接两节点间的一条路中去掉任一条弧后，就不再是连接此两节点间的路对网络系统的理解：可以将弧理解为分系统或者设备，能量和物质从起点经过这些设备加工
2、后到达终点。第二节第二节 网络可靠性计算网络可靠性计算 从可靠性的角度分析，往往可以将一个系统化为一个网络来研究。为了讨论方便，假定：（1）弧或系统只有正常或失效两种状态，而节点不失效；（2）弧之间的失效是独立的。一、计算网络可靠性的两种方法一、计算网络可靠性的两种方法1最小通路法最小通路法 由系统的最小通路出发，由最小通路的可靠度由系统的最小通路出发，由最小通路的可靠度去求系统的可靠度，这就是最小通路法。去求系统的可靠度，这就是最小通路法。设网络设网络s所有的最小通路为所有的最小通路为 ，且用，且用 （i=1,2,m）也表示）也表示“第第i条路中所有弧正常条路中所有弧正常”事件，则网络事件，
3、则网络s正常事件为：正常事件为：（5-1）从而从而,求网络系统可靠度求网络系统可靠度R的问题就可归为两步。的问题就可归为两步。第一步：求出网络第一步：求出网络s的最小通路的最小通路 ，；1A2AmAiAmiA1iS1A2AmA 第二步：计算概率 (5-2)当m=2时，则 当m=3时，则 miiAPSPR1)()()()()()(212121AAPAPAPAAPR)()()()(321321APAPAPAAAPR)()()()(321323121AAAPAAPAAPAAP 可以归纳出一般公式为：（5-3）).()1()(211.1111iijjnjjjmiimiiAAAPAP 如图5-2所示的网
4、络系统S，各弧的可靠度分别为 ，,试求此网络系统S的可靠度R。图图5-2 桥形网络系统桥形网络系统7.01p9.02p8.03p95.04p6.05p例例5-15-1 解解 此系统共有4个最小通路 则各最小通路的可靠度分别为：211xxT，3512xxxT，2543xxxT，344xxT，63.0211PPAP336.03512PPPAP513.02543PPPAP76.0344PPAP且 3024.0532121PPPPAAP3591.0542131PPPPAAP4788.0432141PPPPAAP28728.05432132PPPPPAAP3192.0543142PPPPAAP4104.
5、0543243PPPPAAP28728.0)()()()(543214321432431421321PPPPPAAAAPAAAPAAAPAAAPAAAP 从而得：94366.0)()()()()()()()()()()()()()()()(432143232143132143423241312143211AAAAPAAAPAAAPAAAPAAAPAAPAAPAAPAAPAAPAAPAPAPAPAPAPRmii2最小割集法若在网络上去掉某一部分弧后，发点与收点之间便无路可通，则称这部分弧构成一个割集 若在割集中随意去掉一个弧就不再成为割集，则称此割集为最小割集。最小割集和最小路集的求法 割集是通
6、过画一条经过系统各方框的线，显示出可能导致系统失效的最小数量的失效方框。合集、或路集则是通过画一条经过各方框的线，当这些方框全部都在工作时，才会使系统工作。容易看出，发点与收点之间和每条最小路集都至少包含割集中的一个弧。图图5-3 网络系统网络系统 最小割集法的基本思想是；若最小割集失效，即割集中所有弧全部失效，则网络失效。因此，可由各个最小割集的不可靠度，求得网络的不可靠度，从而求得网络的可靠度。设网络S，其中 个最小割集为 ，当任一割集 的所有弧全发生失效的事件也记为 。其概率记为 ；又设系统S失效事件记为B，其概率为 。则 lliBi,2,1 iBiB),2,1)(liBQi)(BQli
7、iBB1 从而求网络系统可靠性R的问题就可归纳为以下3步。（1）求出网络S的所有最小割集 ；（2）计算概率 ；当 =2时，则 当 =3时，则 12,lB BB)()(1liiBPBQ)()()()(2121BBPBPBPBQ)()()()()()()()(321323121321BBBPBBPBBPBBPBPBPBPBQll 一般公式为：（5-4）（3）网络系统可靠度为：（5-5）njjjijjliiiAAAPBQ12111),()1()()(1BQR 例例5-2 如图5-2所示的桥形网络系统S，各弧的不可靠度分别为 =0.3，=0.1,=0.2，=0.05，=0.4，试求网络系统S的可靠度。
8、解解 此网络系统共有4个最小割集，即 ，各个最小割集的不可靠度分别为 1q2q3q4q5q411,xxB3512,xxxB2543,xxxB423,Bx x015.005.03.0)(411qqBQ024.02.04.03.0)(3512qqqBQ002.01.04.005.0)(2543qqqBQ02.02.01.0)(324qqBQ 并且 0012.0)(21BBQ0006.0)(31BBQ0003.0)(41BBQ00012.0)(32BBQ0024.0)(42BBQ34()0.0004Q B B00012.0)()()()()(4321321421431432BBBBQBBBQBBBQ
9、BBBQBBBQ 则系统不可靠度为：系统可靠度为：()(0.015 0.024 0.002 0.02)(0.0012 0.0006 0.00030.00012 0.0024 0.0004)4 0.00012 0.000120.05634Q B 94366.0)(1BQR第三节第三节 单调关联系统单调关联系统一、单调关联系统的定义和基本性质一、单调关联系统的定义和基本性质 例例 5-3 考虑由两台发动机、两台设备和一个开关考虑由两台发动机、两台设备和一个开关组成的并网供电系统，其工程结构见图组成的并网供电系统，其工程结构见图5-4。若。若系统仅当两套设备都不能工作时才失效，则其可系统仅当两套设备
10、都不能工作时才失效，则其可靠性框图成桥式形状，见图靠性框图成桥式形状，见图5-5。图图5-4 工程结构图工程结构图图图5-5 可靠性框图可靠性框图 显然，它不属于我们定义过的任何一种系显然，它不属于我们定义过的任何一种系统，为此需引进新的系统概念。统，为此需引进新的系统概念。串联、并联、表决、混联等系统以及如例串联、并联、表决、混联等系统以及如例5-1所表示的系统等，都有如下的共同点：所表示的系统等，都有如下的共同点：部件或系统都只有正常或失效两种可能的部件或系统都只有正常或失效两种可能的状态；系统正常与否，完全由其结构及部状态；系统正常与否，完全由其结构及部件的状态所决定。件的状态所决定。X
11、1X4X3X2X5 假定系统由n个部件组成。若所有部件只有正常和失效两状态，令 我们用 表示部件状态向量。假定系统亦只有正常和失效两状态，且系统正常与否完全由系统的结构和部件的状态所决定这样，对给定的部件状态向量x，系统的状态可表示为 我们称 为系统的结构函数。1,ii1,2,0,iixn若第 个部件正常，若第 个部件失效，1,()0,x若系统正常，若系统失效，()x12(,)nxx xx 对任意两个n维状态向量 表示 定义1 设P是系统的结构函数，若对任意的：有 (5-6)则称 是单调结构函数，或单调系统单调系统记作,x y xy(1,2,)iy inixxy()()xyMS 显然，单调结构
12、函数反映了部件状态的改善不会使系统反而变坏，进一步，引入记号 定义2 若对某个部件i，存在x使 （5-7）则称部件部件i与系统有关与系统有关。111111111(1,)(,1,),(0,)(,0,),(,)(,)iiiniiiniiinxxxxxxxxxxxxxxx(,)0,(1,)10iixx 上述性质称为部件与系统的关联性。反之，若某个部件i，对所有x，都有 则部件部件i与系统无关与系统无关，即不论部件i是好还是坏（xi=1或xi=0），在任何情况下对系统都没有影响。从可靠性的角度来看，无关部从可靠性的角度来看，无关部件对系统不起任何作用件对系统不起任何作用。(0,)(1,)iixx结构函
13、数的意义 通过以上分析，结构函数反映了系统和分系统或者零部件在结构上的关系。通过结构函数还能反映分系统或者零部件在结构上的重要程度。定义3 若系统具有单调结构函数 ，且系统中的所有部件都与系统有关，则称系统为单调关联系统单调关联系统，记作 。n个部件的串联系统是单调关联系统，其结构函数 （5-8）并联系统也是单调关联系统,其结构函数是 （5-9）CS1()minniiiixxx1()max1(1)niiiixxx 在可靠性理论中常用下列特别的记号：对任意在可靠性理论中常用下列特别的记号：对任意的的 ，记，记 （5-10）因此并联系统的结构函数可表示为因此并联系统的结构函数可表示为 （5-11）
14、用式（用式（5-8）和（）和（5-9）可表示串、并混联系统的）可表示串、并混联系统的结构函数。结构函数。表决系统的结构函数是表决系统的结构函数是 （5-12）01(1,2,)ipin11(1)nniiiiPP()niixxn11,x()0,iikx若其他/()k n G二、二、单调关联系统的数学描述单调关联系统的数学描述 假设 。对任意状态向量 。记 ，(5-16)定义5 若 ，则称x为 的一个路向量，叫做 的一个路集。若 是路向量，且对任意 有 。则称x为 的最小路向量，为 的最小路集。中元素的个数称作最小路的阶或长度。CS1(,)nxxx0():0ic xi x1():1ic xi x()
15、1x1()c xxyx()0y1()c x1()c x定义6 若 ，则称x为 的一个割向量，叫做 的一个割集。若x是割向量，且对任意 有 ，则称x为 的最小割向量，为 的最小割集。中元素的个数称作最小割的阶。()0 x0()c xyx()1y0()c x0()c x 三、单调关联系统的可靠度三、单调关联系统的可靠度 设部件 的状态 是二值随机变量 ，（5-20）即 为部件 正常的概率（可靠度），记 ，于是系统正常的概率（可靠度）为 （5-21）我们的问题是：若 相对独立，给定系统的结构 和部件的可靠度向量 求系统的可靠度。iixiX1(1)iiiiP Xppqipi12(,)nXXXX()1(
16、)PXEX12,nXXX1(,)nppp 显然，由于n个部件相互独立，（5-22）其中 求状态向量x的所有 个可能情形。因此，系统可靠度只是部件可靠度的一个函数。故式（5-22）可表示为 （5-23）称 为结构 的可靠度函数。111()()()()()iiniiinxxiiiEXX P XxXP XxXp q2n12()()(,)nEXh ph ppp()h p 串联系统的可靠度函数是 （5-24）并联系统为 （5-25）系统，若 ，则有 （5-26）1()niih pp11()1(1)nniiiih ppp/()k nG(1,2,)ipp in1qp 11()()1nnin iiiinh p
17、PXPXkpqi 回顾-安全系统工程-三个重要系数:1.结构重要系数结构重要系数 从事故树结构上反映从事故树结构上反映 的重要程度的重要程度.2.概率重要系数概率重要系数 反映反映 的变化对的变化对 的影响度的影响度.3.临界重要系数临界重要系数 从敏感度从敏感度 和自身概率双重角度反映和自身概率双重角度反映 的重要的重要程度程度.)(iIixTqix)(iITq)(iCITqix四、结构重要度分析 从事故树结构上分析各基本事件的重从事故树结构上分析各基本事件的重要程度，即在假定各基本事件的发生概要程度，即在假定各基本事件的发生概率都相等的情况下，分析各基本事件的率都相等的情况下，分析各基本事
18、件的发生对顶上事件发生所产生的影响程度。发生对顶上事件发生所产生的影响程度。结构重要度分析常采用两种方法，结构重要度分析常采用两种方法，一种是计算结构重要系数一种是计算结构重要系数，以系数大小，以系数大小排列各基本事件的重要顺序；排列各基本事件的重要顺序；另一种是另一种是利用最小割集或最小径集判断系数的大利用最小割集或最小径集判断系数的大小小，排出顺序。前者精确但计算繁琐；，排出顺序。前者精确但计算繁琐；后者简单但不够精确。后者简单但不够精确。判定结构重要系数的原则1 1单事件最小割（径）集中的基本事件结构重要系数最大。单事件最小割（径）集中的基本事件结构重要系数最大。2 2仅在同一最小割（径
19、）集中出现的所有基本事件结构重仅在同一最小割（径）集中出现的所有基本事件结构重要系数相等。要系数相等。3 3两基本事件仅出现在基本事件个数相等的若干最小割集两基本事件仅出现在基本事件个数相等的若干最小割集（径）中：在不同最小割（径）集中出现次数相等的基（径）中：在不同最小割（径）集中出现次数相等的基本事件，其结构重要系数相等，出现次数少的结构重要本事件，其结构重要系数相等，出现次数少的结构重要系数小，出现次数多的结构重要系数大。系数小，出现次数多的结构重要系数大。4 4两个基本事件仅出现在基本事件个数不等的若干最小割两个基本事件仅出现在基本事件个数不等的若干最小割集（径）中：若它们重复在各最小
20、割（径）集中出现的集（径）中：若它们重复在各最小割（径）集中出现的次数相等，则在少事件最小割（径）集中出现的基本事次数相等，则在少事件最小割（径）集中出现的基本事件结构重要系数大；在少事件最小割（径）集中出现的件结构重要系数大；在少事件最小割（径）集中出现的次数少的与在多事件最小割（径）集中出现次数多的基次数少的与在多事件最小割（径）集中出现次数多的基本事件比较，以及其它错综复杂的比较情况，可采用下本事件比较，以及其它错综复杂的比较情况，可采用下面的判别式。面的判别式。考察基本事件l,假设除l外的其它底事件的状态不变，仅仅改变l的状态，则顶时间的变化可能状态有三种 若事件l发生，则顶事件发生；
21、若事件l不发生，则顶事件不发生：无论事件l是否发生，顶事件都发生：无论事件l是否发生，顶事件都不发生：),1(xl),0(xl=1=0),0(xl),1(xl=1=1),0(xl=0),1(xl=0 xl,1)(ln112),0(),1(2)()(nllnxxlnlI由此可见，底事件的发生对顶事件发生有影响的只有第一种情况。这时的状态矢量称为底事件的危险割集，统计其危险割矢量数底事件的结构重要度定义为）(概率重要度分析 考虑各基本事件发生概率的变化，会给顶考虑各基本事件发生概率的变化，会给顶上事件的发生概率以多大影响。利用顶上事上事件的发生概率以多大影响。利用顶上事件发生概率是一个多重线性函数
22、这一性质，件发生概率是一个多重线性函数这一性质，只要对自变量只要对自变量 q qi i求一阶偏导，就可得到该求一阶偏导，就可得到该基本事件的概率重要系数，即顶上事件发生基本事件的概率重要系数，即顶上事件发生概率对该基本事件发生概率的变化率概率对该基本事件发生概率的变化率 。iTqqqiIT)(计算出各基本事件的概计算出各基本事件的概率重要度系数后，就可以了率重要度系数后，就可以了解在诸多的基本事件中，降解在诸多的基本事件中，降低哪个基本事件的发生频率，低哪个基本事件的发生频率，就可以迅速有效地降低顶上就可以迅速有效地降低顶上事件的发生概率。事件的发生概率。概率重要度分析的作用 若所有的基本事件
23、的发生概率都等若所有的基本事件的发生概率都等于于1/21/2时，概率重要系数等于结构重要时，概率重要系数等于结构重要系数，即系数，即可以用求概率重要系数的公式求取结可以用求概率重要系数的公式求取结构重要系数。构重要系数。概率重要度分析的作用概率重要度分析的作用 ),2,1(21|)()(njqqjTiIiI 五、临界重要度分析 一般减少概率大的基本事件一般减少概率大的基本事件的概率要比减少概率小的容易，而的概率要比减少概率小的容易，而概率重要度系数并未反映这一事实。概率重要度系数并未反映这一事实。因此，需要用相对变化率的比值来因此，需要用相对变化率的比值来衡量各基本事件的重要度，定义临衡量各基
24、本事件的重要度，定义临界重要度系数为基本事件发生概率界重要度系数为基本事件发生概率的变化率与顶上事件发生概率的变的变化率与顶上事件发生概率的变化率的比值化率的比值)()(iIqqqqqqiCITTqTiiiTTq,q),q)-g(g(l,l01g(q)ql=三个重要系数:1.结构重要系数结构重要系数 从事故树结构上反映从事故树结构上反映 的重要程度的重要程度.2.概率重要系数概率重要系数 反映反映 的变化对的变化对 的影响度的影响度.3.临界重要系数临界重要系数 从敏感度从敏感度 和自身概率双重角度反映和自身概率双重角度反映 的重要的重要程度程度.通过临界重要度分析产生的检查表更具实际意通过临
25、界重要度分析产生的检查表更具实际意义义.)(iIixTqix)(iITq)(iCITqix四、部件重要度四、部件重要度 1.结构重要度结构重要度设设 是系统中任一部件，若对某个是系统中任一部件，若对某个（0j，x），有，有 （5-27）则称则称 在在（0j，x）情形下是一个关键部件。因为式情形下是一个关键部件。因为式（5-27）等价于）等价于 ,即此时部件即此时部件 正常系统就正常，部件正常系统就正常，部件 失效系统失效系统就失效。我们也称向量就失效。我们也称向量 为部件为部件 的关键路向的关键路向量，记量，记 (5-28)j(1,)(0,)1jjxxj(0,)0jx(1,)1jxjj(1,)
26、ixj1,0,jjxx()n j 其中其中 对对（0j，x）的所有可能求和。显的所有可能求和。显 然然 是部件是部件 关键路向量的总数关键路向量的总数.因为状态向量因为状态向量（0j，x）总共有总共有 种不同的结果，因此种不同的结果，因此我们给出如下的定义。我们给出如下的定义。定义定义6 称称 （5-29）为部件为部件 的结构重要度的结构重要度 。()njj12n11()()2nIjnj1,2,jnj 2.B-P重要度 在没有部件可靠度信息时，除用部件结构重要度，还可用下列的B-P重要度。定义7 部件 的B-P重要度定义为 （5-30）这里 为第 个分量为1，其余分量都为 的向量。类似理解。由
27、于没有部件可靠度信息，因此不妨认为所有部件的可靠度都等于p，然后将p的取值从0到1“平均”掉，由此就得B-P重要度概念。j10()1,0,B PjjpIjhphp d1,jpjp0,jp 3.C重要度和P重要度 设单调关联系统的所有最小割集为 ，令Ci包含部件i的最小割集的最小阶数，为所有包含部件i的最小阶最小割集的个数 。定义8 部件i的C重要度 由 和 来确定。对于任意的 ，若 则称部件i比部件j重要。当 =，=时可认为 有相同的重要度。若有必要，还可进一步在较高阶的最小割集中作类似的比较。用定义8可对系统中每一个部件按C重要度来排序。12,PC CCid1,2,in CIiicid,i
28、jicjcicjcidjdicjcidjd,i j 定义9 部件i的P重要度 由 和 来确定。对于任意 ，若 ，则称部件i比部件j重要。当 =，=时可认为 有相同的重要度。若有必要，还可进一步在较高阶的最小路集中作类似的比较。PIiibie,i jibjbibjbiejeibjbieje,i j4.概率重要度和相对概率重要度 若n个部件相互独立且可靠度为 系统地可靠度函数为 .定义10 部件j的概率重要度定义为 （5-31）12,nPp pp h P (1,2,)hjh PIjjnp 定理6 若 ，则 （5-32）其中对 的所有可能求和。因各部件相互独立且可靠度均为 ，故 （5-33）11,2
29、,2ipin 1,0,1,0,hjjjjjh PIjhPhPpEXX1,0,jjxx,jjPXx,jx12 11,2jjnPXx 带入式（5-32），并注意到式（5-28）和式（5-29）中的定义立即得到式（5-32）。定义11 部件j的相对概率重要度定义为 部件j的相对概率重要度表示，当部件j的重要度微小的相对变化 而导致系统可靠度的相对变化率。1,2,jhjph PIjjnh Pp/jjpp jjph Ph Pp 一般减少概率大的基本事件的概一般减少概率大的基本事件的概率要比减少概率小的容易，而概率重率要比减少概率小的容易，而概率重要度系数并未反映这一事实。因此，要度系数并未反映这一事实。
30、因此，需要用相对变化率的比值来衡量各基需要用相对变化率的比值来衡量各基本事件的重要度，定义临界重要度系本事件的重要度，定义临界重要度系数为基本事件发生概率的变化率与顶数为基本事件发生概率的变化率与顶上事件发生概率的变化率的比值上事件发生概率的变化率的比值 相对概率重要度从相对概率重要度从敏感度和自身敏感度和自身概率双重角度概率双重角度反映反映部件部件j j的重要程度的重要程度.习题习题 1.图5-6所示系统的结构函数及其对偶系统的结构函数。图图5-6x1x4x2x5x3 2.求图5-7所示的可靠度函数h(p)，已知组成系统的各部件是相互独立的，pxi=1=pi,i=1,2,3,4,5。图图5-7x3x1x2x4x5 3.求由三个相同部件组成的2/3（G）系统的可靠度函数h(p)。4.求图5-8所示系统的可靠度函数。假定各单元工作是相互独立的，单元Ai的可靠度为Ri(t),i=1,2,3,4。图图5-8A1A3A2A4A2A1A4 5.图5-9所示的是由同型独立部件组成的3个系统，单元A的可靠度为R(t)，试求各系统的可靠度函数。(a)(b)(c)图图5-9AAAAAAAAAAAAAAA 6.用全概率分解法求图5-10所示的桥式系统的可靠度（R1=R3=0.8,R2=R4=0.7,R5=0.9）。图图5-10 桥式系统桥式系统R1R4R3R2R5
