1、 母函数不仅是解决计数问题的有力工具，而且，它也是证明(或推导)组合恒等式的一个重要方法。事实上，在第一章1.5节中已经利用二项式展开级数作为母函数导出了一些恒等式。下面再举几例加以说明。4.5母函数在组合恒等式中的应用母函数在组合恒等式中的应用 证明证明：我们知道，一个序列是与它的母函数一一对应的。而两个母函数间的乘积关系必然反映为两个母函数对应的序列与其乘积对应的序列之间的关系。110qpnqknpknk设p,q为任意正整数，证明 为了证明上面的恒等式，只需求出两个 序列 对应的母函数使得它们的乘积对应的序列为 qknpk,11qpn pkkknxnknx 011)1(nknkkknxnk
2、xnknx01)1(故故先求形如序列 的母函数。由第一章的式(1.22)，有pkkpxpkx 01)1(qkkqxqkx 01)1(1)1(11)1()1()1(qpqpxxx qpnqpnqpnqpnxqpnxqpn1111)1(而而在式中分别令在式中分别令n=pn=p和和q q得得qjqjpkpkqpxqjxpkxx 11)1()1(qpnqpnnkxqknpk 0qpnqpnqpnqpnnkxqpnxqknpk 110 110qpnqknpkk又因又因故故于是得到于是得到例例2 2 设p为非负整数，且pn，证明：当p=n 当pn 01)1(pkpkpkknknknxknx 01）（pkn
3、pkpnxpkkkknxpnnnn )1()1(1)12)1）（）（证明证明：由式(1.13)有将上式两边对将上式两边对x微分微分p次得次得将上式两边同乘以1/p!得pknpkpnxpkknxpn )1(01)1(pkpkpkkn在上式中，令在上式中，令 x=-1x=-1，有有故恒等式得证。故恒等式得证。当当p=n时时当当pn时时恒等式(4.4)还表明序列 与序列 npkkpkknpn2 knk)1(pkp)1(注意，若令 x=1，又可得如下的恒等式：是一对互相正交的序列(当pn时)。这使得恒等式(4.4)在组合分析中极为有用。于是，我们分别得到下列各式nnxnnxnnx 10)1(nnkkn
4、kn20222 例例3 3 证明证明证明：由式(1.13)有nnnxnnxnnxnnx222221202)1(xnnxn11220122)1(21212121220122 nnxnnxn xnnxn12220222)1(222222222222222222 nnxnnxnnnnnnnnxnnxnnx 21202)1(2 将以上各式两端分别相加，则其右端和中xn的系数正好是式(4.6)的左端，而其右端的和为nnnnnxxxxxf)1(2)1(2)1(2)1()(222122 nnnnnxxxx21212121222122如果我们能求出f(x)展开式中xn的系数是22n则式(4.6)得证 0212
5、2121212)()(xxxxfxgnnn 02112222121212121212 xxxxxxnnnnnn)1(121211201221122121212 nnnnxxxxnnxnn xxnn121121212 于是，在g(x)中xn的系数也就是在f(x)中xn的系数.即 nnnnannn1211201221121212 121211212.1120122121121212nnnnnnnnnn 12121222112nnnn22 故有故有nnkknkn20222 证明证明：由二项式定理分别有下列各式：1110knkmnkjnmjnknxnnxknxnnx 10)1(例例4 证明mnkmnx
6、mnmnxkmnxmnmnx 10)1(222221202)1(nknxnnxknxnnx111111101)1(nknxnnxknxnnx 将以上各式两端分别相加，则其右端和中xk的系数正好是式(4.7)的左端，而其左端的和为:mnnnnxxxxxf )1()1()1()1()(21)1(1)1()1(1xxxmnn nmnxxx)1()1(11 而在f(x)的幂级数展开中xk的系数为 111knkmnak于是有于是有 1110knkmnkjnnjnnjininii42220 ii 2iixiix 02/12)41(ii 2 ii 2例例5 证明而而2/12/11)41()41()41(xxx证明证明:由于左端出现形如 的序列 故自然要考虑求序列 的母函数。由4.1例3知，序列 的普通母函数为(1-4x)-1/2即即 xjjjxiixjii00122)41(ininiini2220 nxxxx)4()4(41)41(21nniininii42220 故故由定义4.4知，上式中xn的系数是又又由二项式定理有也就是说，上式中的xn的系数是4n。故有
