1、课时过关检测(四十七) 两直线的位置关系A级基础达标1“a1”是“直线(2a1)xay10和直线ax3y30垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：A当a1时，直线(2a1)xay10的斜率为3，直线ax3y30的斜率为，两直线垂直；当a0时，两直线也垂直，所以“a1”是“直线(2a1)xay10和直线ax3y30垂直”的充分不必要的条件，故选A2点(1,2)关于直线xy20的对称点是()A(1,0)B(0,1)C(0，1)D(2,1)解析：B设点A(1,2)关于直线xy20的对称点是B(a，b)，则有解得a0，b1，故点(1,2)关于直线xy20的对
2、称点是(0,1)，故选B3点P(cos ，sin )到直线3x4y120的距离的取值范围为()ABCD解析：C由点到直线距离公式得点P到直线的距离为d，其中sin ，cos ，由三角函数性质易知，5sin()1217，7，故d，故选C4(2022南昌二模)直线l：yk(x2)上存在两个不同点到原点距离等于1，则k的取值范围是()A(2,2)B(，)C(1,1)D解析：D直线l：yk(x2)上存在两个不同点到原点距离等于1，则原点到直线的距离小于1，所以1，解得k故选D5(2022滕州三模)若直线y2x，xy3，mxny50相交于同一点，则点(m，n)与原点之间的距离的最小值为()ABC2D2解
3、析：A由解得把(1,2)代入mxny50，可得m2n50，m52n点(m，n)与原点之间的距离d，当n2，m1时取等号点(m，n)与原点之间的距离的最小值为，故选A6(多选)已知直线l经过点(3,4)，且点A(2,2)，B(4，2)到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为()A2x3y180B2xy20Cx2y20D2x3y60解析：AB当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y4k(x3)，即kxy43k0由已知得，所以k2或k，所以直线l的方程为2xy20或2x3y180故选A、B7(多选)已知三条直线l1：2x3y10，l2：4x3y50，l3：mxy
4、10若l1，l2，l3三条直线构不成三角形，则m的值可能为()ABCD解析：ABC当m时，直线l1与l3平行，故三条直线构不成三角形；当m时，直线l2与l3平行，故三条直线构不成三角形；当m时，l1，l2，l3交于同一点，故三条直线也构不成三角形；当m时，三条直线两两相交，且不过同一点，故三条直线能构成三角形，不合题意8设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，1)，则|AB|等于_解析：设A(x,0)，B(0，y)，AB的中点P(2，1)，2，1，x4，y2，即A(4,0)，B(0，2)，|AB|2答案：29已知动直线l0：axbyc30(a0，c0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0
5、)到动直线l0的最大距离为3，则的最小值为_解析：动直线l0：axbyc30(a0，c0)恒过点P(1，m)，abmc30又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，3，解得m0ac3则(ac)，当且仅当c2a2时取等号答案：10已知直线l：3xy10及点A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)(1)试在l上求一点P，使|AP|CP|最小；(2)试在l上求一点Q，使|AQ|BQ|最大解：(1)如图，设点C关于l的对称点为C(a，b)，则解得所以C(1,1)，所以直线AC的方程为y1由得直线AC与直线l的交点为P，此时|AP|CP|取最小值(2)如图，设点B关于l的对称点为B(m，n)，则解得所以
6、B(3,3)，所以直线AB的方程为2xy90，由得直线AB与直线l的交点为Q(2,5)，此时|AQ|BQ|取最大值B级综合应用11设直线l：3x2y60，P(m，n)为直线l上动点，则(m1)2n2的最小值为()ABCD解析：A(m1)2n2表示点P(m，n)到点A(1,0)距离的平方，该距离的最小值为点A(1,0)到直线l的距离，即，则(m1)2n2的最小值为故选A12唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军
7、营所在区域为x2y23，若将军从点A(3,1)处出发，河岸线所在直线方程为xy5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为()ABC2D2解析：C设点A关于直线xy5的对称点为A(a，b)根据题意，AO为最短距离，先求出A的坐标AA的中点为，直线AA的斜率为1，故直线AA的方程为y1x3，即yx2联立解得a4，b2，A(4,2)，则AO2，故AO2，则“将军饮马”的最短总路程为2故选C13(2022菏泽质检)已知直线l1：kxy10，l2：xky10，若l1l2，则k_；若曲线：y|x|与直线l1有两个公共点，则实数k的取值范围是_解析：因为l1l2，所以k210
8、，即k1，经检验k1；y|x|直线l1化为ykx1，恒过点(0,1)，画出函数图象，如图，因为曲线y|x|与直线l1有两个公共点，所以k0或0k1或1k0，即1k1答案：1(1,1)14已知直线l：(2m)x(2m1)y3m40(1)m为何值时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为多少？(2)若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求AOB面积的最小值及此时直线l的方程解：(1)直线方程可化为(2xy4)m(x2y3)0，令解得故直线l恒过定点P(1，2)，由点Q(3,4)到直线的距离最大，可知点Q与定点P的连线的距离就是所求最大值，即2为最大值kPQ，(2m)x(2m1)y3m4
9、0的斜率为，可得，解得m(2)若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，直线l恒过定点P(1，2)，直线l的方程可设为y2k(x1)，k0，则A，B(0，k2)，SAOB|k2|(2k)2224，当且仅当，即k2时取等号，故AOB面积的最小值为4此时直线l的方程为2xy40C级迁移创新15(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：axbyc0(a2b20)的有向距离为d已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2以下命题不正确的是()A若d1d21，则直线P1P2与直线l平行B若d11，d21，则直线P1P2与直线l垂直C若d1d20，则直线P1P2与直线l垂直D若d1d20，则直线
10、P1P2与直线l相交解析：BCD设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，对于A，若d1d21，则ax1by1cax2by2c，直线P1P2与直线l平行，正确；对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，P1P2不一定与l垂直，错误；对于C，若d1d20，满足d1d20，即ax1by1cax2by2c0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；对于D，若d1d20，即(ax1by1c)(ax2by2c)0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误16设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系xO
11、y上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离(A，B)为(A，B)|x2x1|y2y1|对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)若点C(x，y)是平面xOy上的点，试证明：(A，C)(C，B)(A，B)；(2)若A，B两点在平行于坐标轴的同一条直线上，在平面xOy上是否存在点C(x，y)，同时满足：(A，C)(C，B)(A，B)；(A，C)(C，B)？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由解：(1)证明：由绝对值不等式知，(A，C)(C，B)|xx1|x2x|yy1|y2y|(xx1)(x2x)|(yy1)(y2y)|x2x1|y2y1|(A，B)当且仅当(xx1)(x2x)0，(yy1)(y2y)0时等号成立，即A，B，C三点共线时等号成立(2)点A(x1，y1)与点B(x2，y2)是在同一条平行于坐标轴的直线上的两个不同的点，可分下列两种情况讨论：()若x1x2，则y1y2，由条件，得|xx1|yy1|x2x|y2y|x2x1|y2y1|，2|xx1|y2y1|y2y1|，|xx1|0，xx1由条件，得|xx1|yy1|x2x|y2y|，|yy1|yy2|，y因此，所求的点C()若y1y2，则x1x2，类似于()，可得符合条件的点C
