1、4.2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和学习目标1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个导语同学们，印度有一著名景点泰姬陵，传说寝陵中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？大家通过预习可知，聪明的高斯给出了计算方法，这就是我们今天要研究的等差数列求和一、等差数列前n项和公式的推导问题1请同学们欣赏唐代诗人张南史的花并回答下面的问题：花， 花深浅， 芬葩凝为雪， 错为霞莺和蝶到， 苑占宫遮已迷金谷路， 频驻玉人车
2、芳草欲陵芳树， 东家半落西家愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？提示诗中文字有对称性；S24681012142(1234567)，根据对称性，可先取其一半来研究其数的个数较少，大家很容易求出答案问题2网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字？提示方法一对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，结果都是S，可见，结果与项数的奇偶无关方法二(如图)在原式的基础上，再加一遍123n，即S123n，Sn(n1
3、)(n2)1，避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和问题3对于一般的等差数列，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.提示倒序相加法两式相加可得2Snn(a1an)，即Sn，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等知识梳理等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式SnSnna1d注意点：(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；(2)由公式二知d0时，Snna1；d0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”；(3)公式
4、里的n表示的是所求等差数列的项数二、等差数列中与前n项和有关的基本运算例1在等差数列an中：(1)已知a610，S55，求a8和S10；(2)已知a14，S8172，求a8和d.解(1)解得a8a62d102316，S1010a1d10(5)59385.(2)由已知得S8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.a839，d5.反思感悟等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题解题时注意整体代换的思想(2)结合等差数列的性质解
5、题：等差数列的常用性质：若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq，常与求和公式Sn结合使用跟踪训练1在等差数列an中：(1)a11，a47，求S9；(2)a3a1540，求S17；(3)a1，an，Sn5，求n和d.解(1)设等差数列an的公差为d，则a4a13d13d7，所以d2.故S99a1d9281.(2)S17340.(3)由题意得，Sn5，解得n15.又a15(151)d，所以d，所以n15，d.三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列问题4等差数列前n项和Snna1d是关于n的二次函数，它可以写成什么形式？提示Snn2n.例2若数列的前n项和Sn2n23n，求数列的通项
6、公式，并判断数列是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由解当n1时，S1a11；当n2时，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n5，经检验，当n1时，a11满足上式，故an4n5.数列an是等差数列，证明如下：因为an1an4(n1)54n54，所以数列是等差数列延伸探究若数列的前n项和Sn2n23n1，求数列的通项公式，并判断数列是否是等差数列若是，请证明；若不是，请说明理由解Sn2n23n1，当n1时，S1a12312，当n2时，Sn12231，得anSnSn12n23n122314n5，经检验当n1时，an4n5不成立，故an故数列不是等差数列，数列是从第二项起以4为
7、公差的等差数列反思感悟由Sn求通项公式an的步骤(1)令n1，则a1S1，求得a1.(2)令n2，则anSnSn1.(3)验证a1与an的关系：若a1适合an，则anSnSn1，若a1不适合an，则an跟踪训练2已知数列an的前n项和为Snn2n1，求数列an的通项公式，并判断它是不是等差数列解当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1)12n.又a11不满足an2n，数列an的通项公式是ana2a14132，数列an中每一项与前一项的差不是同一个常数，an不是等差数列，数列an是从第二项起以2为公差的等差数列1知识清单：(1)等差数列前n项和公式的推导过程(2
8、)等差数列前n项和有关的基本运算(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列2方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法3常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n1的讨论1已知数列an的通项公式为an23n，nN*，则an的前n项和Sn等于()An2 Bn2C.n2 D.n2答案A解析an23n，a1231，Snn2.2在等差数列an中，若a2a88，则该数列的前9项和S9等于()A18 B27 C36 D45答案C解析S9(a1a9)(a2a8)36.3已知等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a34，则公差d为()A1 B. C2 D3答案C解析因为S36，而a34，所以a10，所以d2.4数列
9、的前n项和Snn2n，则它的通项公式是an_.答案an2n2解析当n1时，a1S1110；当n2且nN*时，anSnSn122n2，经检验，n1也适合该式故an2n2.课时对点练1已知等差数列an的前n项和为Sn，若2a6a86，则S7等于()A49 B42 C35 D28答案B解析2a6a8a46，S7(a1a7)7a442.2已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足a1a27，amam173(m3)，Sm2 020，则m的值为()A100 B101 C200 D202答案B解析a1ama2am180，由等差数列的性质可知，a1ama2am1，故a1am40.Sm20m2 020，故m101
10、.3设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和若S10S11，则a1等于()A18 B20 C22 D24答案B解析由S10S11，得a11S11S100，所以a1a11(111)d0(10)(2)20.4等差数列an满足a1a2a324，a18a19a2078，则此数列的前20项和等于()A160 B180C200 D220答案B解析由a1a2a33a224，得a28，由a18a19a203a1978，得a1926，S2020(a1a20)10(a2a19)1018180.5在等差数列an中，已知a112，S130，则使得an0的最小正整数n为()A7 B8C9 D10答案B解析由S130
11、，得a1312，则a112d12，得d2，数列an的通项公式为an12(n1)22n14，由2n140，得n7，即使得an0的最小正整数n为8.6(多选)在等差数列an中，d2，an11，Sn35，则a1等于()A1 B3 C5 D7答案AB解析由题意知a1(n1)211，Snna1235，由解得a13或a11.7设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k_.答案5解析因为Sk2Skak1ak2a1kda1(k1)d2a1(2k1)d21(2k1)24k424，所以k5.8在等差数列an中，S104S5，则_.答案解析设数列an的公差为d，由题意得10a1109d
12、4，所以10a145d20a140d，所以10a15d，所以.9在等差数列an中，a1030，a2050.(1)求数列的通项公式；(2)若Sn242，求n.解(1)设数列an的首项为a1，公差为d.则解得ana1(n1)d12(n1)2102n.(2)由Snna1d以及a112，d2，Sn242，得方程24212n2，即n211n2420，解得n11或n22(舍去)故n11.10设等差数列的前n项和为Sn，且S5a5a625.(1)求的通项公式；(2)求等差数列的前n项和Sn.解(1)设公差为d，由S5a5a625，得5a1da14da15d25，a11，d3.的通项公式为an3n4.(2)由
13、(1)知an3n4，得的前n项和为Sn，则Snn2n.11在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A765 B665 C763 D663答案B解析a12，d7,2(n1)7100，n1，nN*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2a3a4an等于()A. B.C. D.答案C解析由图案的点数可知a23，a36，a49，a512，所以an3n3，n2，所以a2a3a4an.14把形如Mmn(m，nN*)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”例如：932135，称作“对9的3项划分”；把64表示成644313151719，称作“对64的4
14、项划分”据此，对324的18项划分中最大的数是_答案35解析设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18，则由解得15(多选)已知Sn是等差数列an的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应的函数的图象的是()答案ABC解析因为Sn是等差数列an的前n项和，所以Snan2bn(a，b为常数，nN*)，则其对应函数为yax2bx.当a0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意16已知等差数列an的公差d0，前n项和为Sn，且a2a345，S428.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn(c为非零常数)，且数列bn也是等差数列，求c的值解(1)S428，28，a1a414，a2a314，又a2a345，公差d0，a2a3，a25，a39，解得an4n3，nN*.(2)由(1)，知Sn2n2n，bn，b1，b2，b3.又bn也是等差数列，b1b32b2，即2，解得c(c0舍去)
