1、习题课与圆有关的最值问题学习目标1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想导语2017年7月我国首座海上风电平台4G基站在黄海建成，信号覆盖范围达60公里一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？一、与距离有关的最值问题知识梳理已知圆心到直线(或圆外一点)的距离为d，圆的半径为r.1圆外一点到圆上任意一点距离的最小值dr，最大值dr.2直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值dr，最大值dr.3过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的
2、最小值2，最大值2r.4直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值.例1已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别为圆C1，圆C2上的点，P为x轴上的动点，则PMPN的最小值为()A. B.1C62 D54答案D解析如图所示，圆C1关于x轴对称的圆的圆心坐标为A(2，3)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(3,4)，半径为3.设M为点M关于x轴对称的点，由图象可知，当P，M，N三点共线时，PMPNPMPN取得最小值，且PMPN的最小值为圆A与圆C2的连心线的长减去两个圆的半径之和，即AC231454.反思感悟(1)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题
3、，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值跟踪训练1已知圆C：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m40，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为()A2 B4 C6 D8答案B解析圆C：(x1)2(y2)225的圆心坐标为C(1,2)，半径为5，由直线l：(2m1)x(m1)y7m40，得m(2xy7)xy40，联立解得直线l过定点P(3,1)，又点P(3,1)在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，此时PC，直线l被圆C截得的弦长的最小值为2
4、4.二、与面积相关的最值问题例2已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x3)2(y1)24上的动点，则OAM面积的最小值为()A1 B2 C3 D4答案A解析根据题意，得圆(x3)2(y1)24的圆心为(3，1)，半径r2，O(0,0)，A(0,2)，OA所在的直线是y轴，当M到直线AO的距离最小时，OAM的面积最小，则M到直线AO的距离的最小值d321，则OAM的面积最小值SOAd1.反思感悟求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解跟踪训练2直线ykx3与
5、圆O：x2y21相交于A，B两点，则OAB面积的最大值为()A1 B. C. D.答案B解析设圆心到直线的距离为d(0d0)若圆C上存在点P，使得APB90，则实数m的最大值为()A7 B6 C5 D4答案B解析根据题意，画出示意图，如图所示，圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且AB2m.连接OP，因为APB90，所以OPABm.要求实数m的最大值，即求圆C上的点P与原点O之间距离的最大值因为OC5，所以OPmaxOCr6，即实数m的最大值为6.7在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_答案(x1)2y22解析直线
6、mxy2m10恒过定点(2，1)，圆心(1,0)到直线mxy2m10的最大距离为d，半径最大为，半径最大的圆的标准方程为(x1)2y22.8圆过点A(1，2)，B(1,4)，则周长最小的圆的方程为_答案x2y22y90解析当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小即AB的中点(0,1)为圆心，半径rAB.则圆的方程为x2(y1)210，即x2y22y90.9已知M为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)(1)求MQ的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值解(1)由圆C的方程x2y24x14y450化为标准方程得(x2)2(y7)28，圆心C的坐标
7、为(2,7)，半径r2，又QC4，MQmax426，MQmin422.(2)由题可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，则k.由直线MQ与圆C有交点，得2，可得2k2，的最大值为2，最小值为2.10已知直线l：3x4y10，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3.(1)求圆的方程；(2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值解(1)圆与x，y轴正半轴都相切，圆的方程可设为(xa)2(ya)2a2(a0)，圆心C到直线的距离为3，由点到直线的距离公式，得d3，解得a2，半径为2.
8、圆的方程为(x2)2(y2)24.(2)PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，PCEPCF，S四边形PECF2SPCE，PE是圆的切线，且E为切点，PECE，CE2，PE2PC2CE2PC24，当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小PCmin即为C到l的距离，由(1)知PCmin3，PE3245，即PEmin，SPCEECPE2，四边形PECF面积的最小值为2.11已知点P是直线l：3x4y70上的动点，过点P引圆C：(x1)2y2r2(r0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为时，r的值为()A2 B. C. D1答案D解析如图，由题意得PM2P
9、C2r2，当PCl时，PC最小时，PM最小由题意得PCmind2，所以()222r2，所以r1.12已知圆C：x2y22x4y10关于直线l：3ax2by40对称，则由点M(a，b)向圆C所作的切线中，切线长的最小值是()A2 B. C3 D.答案B解析因为圆C：x2y22x4y10，即圆C：(x1)2(y2)24，所以圆心为C(1，2)，半径R2.因为圆C关于直线l：3ax2by40对称，所以l：3a4b40，所以点M(a，b)在直线l1：3x4y40上，所以MC的最小值为d3，切线长的最小值为.13已知圆C：(xa)2(ya)21(a0)与直线y3x相交于P，Q两点，则当CPQ的面积最大时
10、，实数a的值为_答案解析圆C：(xa)2(ya)21(a0)的圆心为(a，a)，半径为1，圆心到直线y3x的距离d，PQ2，所以CPQ的面积S.当a2时，10a24a4取得最大值，且最大值为1042，所以CPQ的面积S的最大值为，此时a.14已知实数x，y满足方程y，则的取值范围是_答案0，解析方程y化为(x2)2y23(y0)，表示的图形是一个半圆，令k，即ykx，如图所示，当直线与半圆相切时，k，所以的取值范围是0，15已知点P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k_.答案2解析圆C：x2y
11、22y0的圆心为C(0,1)，半径r1，由圆的性质可知，四边形的面积S2SPBC，又四边形PACB的最小面积是2，则SPBC的最小值为S1r(PBmin)PBmin，则PBmin2，因为PB，所以当PC取最小值时，PB最小又点P(x，y)是直线kxy40上的动点，当CP垂直于直线kxy40时，PC最小，即为圆心C(0,1)到直线的距离，所以，解得k2，因为k0，所以k2.16在ABO中，OB3，OA4，AB5，P是ABO的内切圆上的一点，求分别以PA，PB，PO为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值解建立如图所示的平面直角坐标系，使A，B，O三点的坐标分别为A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)设AOB的内切圆的半径为r，点P的坐标为P(x，y)，则2rABOAOB，求得r1，又可求得内切圆的圆心为(1,1)，所以内切圆的方程为(x1)2(y1)21，即x2y22x2y10，又PA2PB2PO2(x4)2y2x2(y3)2x2y23x23y28x6y25.将代入，得PA2PB2PO22x22.因为P(x，y)是内切圆上的点，则0x2，所以PA2PB2PO2的最大值为22，最小值为18.又三个圆的面积之和为222(PA2PB2PO2)，所以分别以PA，PB，PO为直径的三个圆的面积之和的最大值为，最小值为.
