1、5.1.2瞬时变化率导数第1课时曲线上一点处的切线学习目标1.了解以直代曲的数学思想，体会利用无限逼近的思想把曲线上两点的割线逼近为某点的切线的过程.2.会求函数在某点处的切线方程导语“天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，几千年的社会实践证明了它的正确性，尤其体现在古代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限逼近的数学思想，比如我国古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是最早出现的“以直代曲”的例子，今天让我们一起来探究如何通过利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段，并以此来研究曲线的某些性质一、以直代曲问题1如图，
2、我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？提示当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想例1刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为_答案解析S正六边形6.反思感悟以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”，“量变到质变”，“近似与精确”的思想跟踪训练1已知函数f(x)的部分图象如图所示若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为_答案解
3、析若把曲线AB近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积S13.二、曲线的割线和切线问题2如图，过P作割线PQ，当点Q逐渐向P靠近时，有何现象出现？提示割线PQ在点P附近越来越逼近该曲线，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，此时称这条直线l为曲线在点P处的切线知识梳理名称割线切线斜率设曲线C上一点P(x，f(x)，另一点Q(xx，f(xx)，则割线PQ的斜率为kPQ当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当x无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x)处的切线的斜率例2已知曲线yx21上两
4、点A(2,3)，B(2x,3y)，当x1时，割线AB的斜率是_；当x0.1时，割线AB的斜率是_答案54.1解析当x1时，割线AB的斜率k15；当x0.1时，割线AB的斜率k24.1.反思感悟一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线跟踪训练2过曲线y2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为_，过两点(0,1)，的割线的斜率为_答案122解析由平均变化率的计算公式及几何意义，可得过两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为k1.同理，过两点(0,1)，的割线的斜率为k22.三、切线的斜率例3已知曲线
5、yx3.求曲线在点P(2,4)处的切线方程解点P(2,4)在曲线yx3上，42x(x)2，当x无限趋近于0，无限趋近于4，在点P(2,4)处的切线的斜率为4，曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.反思感悟根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，x无限趋近于0时，无限趋近的常数跟踪训练3(1)已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线的斜率为16，则点P坐标为_答案(3,30)解析设点P坐标为(x0，y0)，则4x042x.当x无限趋近于0时，4x042x无限趋近于4x04，因此4x0416，即x03，所以y023243
6、181230.即点P坐标为(3,30)(2)已知曲线yf(x)3x2x，求曲线在点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程解设A(1,2)，B(1x，f(1x)，则kAB53x，当x无限趋近于0时，53x无限趋近于5，所以曲线y3x2x在点A(1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y25(x1)，即5xy30.1知识清单：(1)以直代曲(2)曲线的割线和切线(3)求曲线在一点处的切线2方法归纳：局部以直代曲、无限逼近的思想3常见误区：不能正确理解用割线无限逼近切线的思想1函数yf(x)在x1处的切线斜率为()A2 B1 C1 D2答案B解析因为yf(1x)f(1)，所以，所以当x趋近于0时，趋近于1
7、.故函数f(x)在x1处的切线斜率为1.2抛物线yx2在点M处的切线的倾斜角是()A30 B45 C60 D90答案B解析点M在抛物线yx2上，1x，当x无限趋近于0时，无限趋近于1，在点M处的切线的斜率为1，故倾斜角为45.3已知曲线yx3在点(2,8)处的切线斜率为12a，则实数a的值是()A1 B1 C2 D2答案B解析3x23xx(x)2，因为当x无限趋近于0时，无限趋近于3x2，所以曲线在点(2,8)处切线的斜率k12，所以12a12，即a1.4已知曲线y1上两点A，B，当x1时，割线AB的斜率为_答案解析由函数的解析式有y，则.当x1时，割线AB的斜率为k.课时对点练1已知函数f(
8、x)的图象如图所示，A(x0，y0)在曲线上，x02,2x且x无限趋近于0，则在A点处的切线斜率近似为()Af(2) Bf(2x)C. Df(x0)答案C解析由两点割线的斜率，当x无限趋近于0时，函数f(x)在A点处的切线斜率近似为.2已知抛物线yx2，抛物线上有一点P，Q是抛物线上点P附近的一点，则点Q的坐标为()A. B.C. D.答案C解析当x1x时，y(1x)2.3已知函数f(x)x24上两点A，B，xA1，xB1.3，则割线AB的斜率为()A2 B2.3 C2.09 D2.1答案B解析f(1)5，f(1.3)5.69.kAB2.3.4近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购
9、、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是()答案B解析单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应是一直下凹的5已知点P为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当x无限趋近于0时，若kPQ无限趋近于2，则在点P处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2答案B解析根据题意可知，在点P
10、处切线的斜率为2，所以在点P处的切线方程为y12(x1)，整理可得y2x1.6曲线y在点处的切线方程是()Ayx2 ByxCy4x4 Dy4x2答案C解析因为y，所以，当x无限接近于0时，无限接近于，所以函数在点处的切线斜率是k4，所以切线方程为y24，即y4x4.7当h无限趋近于0时，无限趋近于_，无限趋近于_答案8解析8h，当h无限趋近于0时，8h无限趋近于8.，当h无限趋近于0时，无限趋近于.8过曲线yx2上两点A和B作割线，当x0.1时，割线AB的斜率为_答案4.1解析kABx4，所以当x0.1时，AB的斜率为4.1.9求函数f(x)x2x的图象在点A(2，f(2)处切线的方程解设点B
11、(2x，f(2x)，则割线AB的斜率为3x，当x无限接近于0时，函数f(x)x2x的图象在点A(2，f(2)处切线的斜率为k3，又f(2)2222，所以切线的方程为y(2)3(x2)，即3xy40.10求曲线y在点(1,1)处的切线方程解点(1,1)在曲线y上，当x无限趋近于0时，无限趋近于，在点(1,1)处切线的斜率为，在点(1,1)处的切线方程为y1(x1)，即x2y10.11已知函数f(x)x2图象上四点A(1，f(1)，B(2，f(2)，C(3，f(3)，D(4，f(4)，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则()Ak1k2k3 Bk2k1k3Ck3k2k1 Dk1k3k
12、2答案A解析k1413，k2945，k31697，k1k2k3.12若曲线yax2在xa处的切线与直线2xy10平行，则a等于()A1 B1 C1或1 D或1答案A解析根据题意得2a2ax，当x无限接近于0时，2a22，a1，当a1时，yx2，切点是(1,1)，切线的斜率k2，故切线方程是y12(x1)，即2xy10和直线2xy10重合，故a1.13曲线yx23x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为()A(2,2) B(2，2) C(2,2) D(2，2)答案B解析设切点坐标为(x0，y0)，x2x03，当x无限趋近于0时，无限趋近于2x03，即k2x031，解得x02，y0x3x0462.故切
13、点坐标为(2，2)14曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线方程为_答案3xy110解析设切点为P(x0，y0)，在点P处的切线斜率为k，3x6x06(x)2(3x03)x，当x无限趋近于0时，无限趋近于3x6x063(x01)23.所以k3(x01)23.当x01时，k有最小值3，此时点P的坐标为(1，14)，其切线方程为3xy110.15若函数yax21的图象与直线yx相切，则a_.答案解析根据题意，2axax，当x无限趋近于0时，无限趋近于2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax01，且y0ax1，y0x0，解得a.16已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程；(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积解(1)2x1x，当x无限趋近于0时，无限趋近于2x1，直线l1的斜率k13，直线l1的方程为y3(x1)，即y3x3.设直线l2与曲线yx2x2相切于点P(x0，xx02)，则直线l2的方程为y(xx02)(2x01)(xx0)l1l2，3(2x01)1，解得x0.直线l2的方程为yx，即3x9y220.(2)解方程组得又直线l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)，所求三角形的面积为S.
