1、变变 力力 做做 功功 南京外国语学校南京外国语学校 刘燕鸣刘燕鸣 同学们，大家已经知道用同学们，大家已经知道用W=Fscos计算计算功的条件是作用力功的条件是作用力F须为恒力，但在解题过须为恒力，但在解题过程中，经常会遇到计算变力做功的问题，程中，经常会遇到计算变力做功的问题，此时就不能直接用这个公式计算。下面分此时就不能直接用这个公式计算。下面分三种情况来讨论变力做功三种情况来讨论变力做功。例例1 1、如图所示，一人用竖直向下的恒力、如图所示，一人用竖直向下的恒力F作用在作用在绳子的一端绳子的一端C，通过绳子和定滑轮将一质量为，通过绳子和定滑轮将一质量为m的静止的物体在水平地面上由的静止的
2、物体在水平地面上由A拉到拉到B，移动距，移动距离离s。图上绳子与水平方向的夹角。图上绳子与水平方向的夹角和和都是已知都是已知的。求绳对物体做的功。的。求绳对物体做的功。一、变力的大小不变，方向变一、变力的大小不变，方向变 【分析与解分析与解】绳对物体的作用绳对物体的作用力力T的方向变化，大小等于的方向变化，大小等于F，是变力，但可以等效转化为恒是变力，但可以等效转化为恒力力F做功，即绳对物体的作用力做功，即绳对物体的作用力T做功等于恒力做功等于恒力F做功。做功。T 根据物体位移根据物体位移s，求恒力，求恒力F的作用点的作用点C的位移的位移sC，较简单的做法是设滑轮的高度为较简单的做法是设滑轮的
3、高度为h，根据题图中的，根据题图中的几何关系计算如下几何关系计算如下sinsinhhOBOAsCcotcothhs而而)sin(sinsinFsFsWC故：故：例例2 2、一质量为、一质量为m的小球，用长为的小球，用长为L的轻绳悬挂在的轻绳悬挂在 O点，小球在水平力点，小球在水平力F作用下，从作用下，从P点缓慢移动到点缓慢移动到Q点，此时绳与竖直方向的偏角为点，此时绳与竖直方向的偏角为，如图所示，则，如图所示，则力力F所做的功为（所做的功为（）A AmgLcos B BmgL(1cos)C CFLsin D DFL二、变力的方向不变，大小变变力的方向不变，大小变 【分析与解分析与解】因小球运动
4、过程中处于动因小球运动过程中处于动态平衡状态，故过程中态平衡状态，故过程中F的方向不变，其的方向不变，其值在增大，是变力值在增大，是变力,F对小球做的功不等对小球做的功不等于于FLsin。因为动能定理不涉及做功的。因为动能定理不涉及做功的过程的细节，只涉及过程的初速度、末速过程的细节，只涉及过程的初速度、末速度，初位置、末位置，所以度，初位置、末位置，所以F对小球做的对小球做的功可根据动能定理计算。立出动能定理方功可根据动能定理计算。立出动能定理方程如下程如下21222121mvmvEWWKGF小球在这过程的初速度：小球在这过程的初速度：v1v 0，末速度：末速度：v2v 0)cos1()co
5、s(mglllmgWWGF故本题选：故本题选：B B例例3 3：一辆汽车质量为：一辆汽车质量为105kg，从静，从静止开始行驶，行驶过程中所受阻力止开始行驶，行驶过程中所受阻力f为车重的为车重的0.05倍，发动机产生的牵引倍，发动机产生的牵引力力F的大小与前进的距离的大小与前进的距离x之间有如之间有如下关系下关系F=103x+f。求当该车前进。求当该车前进100m时，牵引力所做的功是多少？时，牵引力所做的功是多少？（g g取取10m/s210m/s2）【分析与解分析与解】由公式由公式:F=103x+f 可知，牵引力可知，牵引力F为方为方向不变、大小与位移大小向不变、大小与位移大小x成线性关系的
6、变力，在已成线性关系的变力，在已知力的大小与位移大小的关系式时，可以作出知力的大小与位移大小的关系式时，可以作出F-x图，图，由微元法可知，该图线与横轴围成的面积就是这个变由微元法可知，该图线与横轴围成的面积就是这个变力力F做的功。所以先写出做的功。所以先写出F-x函数，再作函数，再作F-x图。图。汽车所受阻力为：汽车所受阻力为：f=0.05mg=0.5105N 牵引力牵引力F的表达式为：的表达式为：F103x0.5105 由此函数作出由此函数作出F-x图如右图如右当当x10m时，时，F10.5105 N当当x1100m时，时，F21.5105 N100JxxFFW71221100.1)(2小
7、小 结：结：因在弹性限度内，轻质弹簧的弹力与形变量因在弹性限度内，轻质弹簧的弹力与形变量成正比，弹力的作用点位移大小也等于形变量。成正比，弹力的作用点位移大小也等于形变量。即弹簧的弹力大小与其作用点的位移大小成一即弹簧的弹力大小与其作用点的位移大小成一次函数关系，所以用这种方法也可以计算轻质次函数关系，所以用这种方法也可以计算轻质弹簧的弹力做功。弹簧的弹力做功。即使力的大小与位移大小不成一次函数关系，即使力的大小与位移大小不成一次函数关系，只要能画出只要能画出F-x图或已知图或已知F-x图，就可以通过画图，就可以通过画格子，数格子的方法算面积，从而算出变力做格子，数格子的方法算面积，从而算出变
8、力做的功。的功。在在F与与x共线的前提下，即使共线的前提下，即使F的方向的方向由与由与x的的方向一致变成相反方向一致变成相反，也可以这样来计算。，也可以这样来计算。若已知力对时间的函数关系，因为此时的若已知力对时间的函数关系，因为此时的F-t图图与横轴围成的面积意义不再是变力做的功，而是与横轴围成的面积意义不再是变力做的功，而是变力的冲量，所以这种情况下不能用这种方法计变力的冲量，所以这种情况下不能用这种方法计算变力做的功。算变力做的功。三、变力的方向和大小都在变三、变力的方向和大小都在变 例例4、体育课上，重力为、体育课上，重力为G同学进行摸高训练，同学进行摸高训练，该同学直立静止时重心离地
9、高为该同学直立静止时重心离地高为h，弯腰下蹬静止，弯腰下蹬静止时重心下降了时重心下降了s，起跳恰好离地时速度为，起跳恰好离地时速度为v，则起跳，则起跳过程中地面对该同学做功为过程中地面对该同学做功为，该同学做功为，该同学做功为。【分析与解分析与解】该同学在起跳过程中，可能一直做加该同学在起跳过程中，可能一直做加速运动，也可能先做加速再做匀速运动，也可能先速运动，也可能先做加速再做匀速运动，也可能先做加速再做减速运动，运动过程非常复杂。地面对做加速再做减速运动，运动过程非常复杂。地面对该同学做的功应为地面对他的弹力该同学做的功应为地面对他的弹力F做功，做功，F的方向的方向始终竖直向上，大小不断变
10、化，因此始终竖直向上，大小不断变化，因此F是变力，但是变力，但由于由于F的作用点没有位移，因此，这里的作用点没有位移，因此，这里F做功为零。做功为零。该同学做功该同学做功W应该是他的内力做功，这些内力的应该是他的内力做功，这些内力的大小、方向变化情况未知，而且作用点移动的距离大小、方向变化情况未知，而且作用点移动的距离也是未知的，因此要用动能定理来解决这个问题。也是未知的，因此要用动能定理来解决这个问题。21222121mvmvEWWWKG地地故该同学做功为：故该同学做功为：221mvmgsW该同学在这过程的初速度：该同学在这过程的初速度：v10，末速度：末速度：v2v重力对该同学做功为：重力
11、对该同学做功为：WG=mgs地面对该同学做功为：地面对该同学做功为：W地=0 21222121mvmvEWWWKG地地 例例5、如图所示，质量为、如图所示，质量为m的物块的物块A与水平转台之间与水平转台之间的动摩擦因数为的动摩擦因数为，物块与转轴相距为，物块与转轴相距为R。物块随转台。物块随转台由静止开始转动，当转速缓慢增加到某值时，物块即由静止开始转动，当转速缓慢增加到某值时，物块即将在转台上滑动，此时，转台已开始做匀速转动，设将在转台上滑动，此时，转台已开始做匀速转动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则在这一过程中摩擦最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则在这一过程中摩擦力对物体做的功为多少？力对物
12、体做的功为多少？【分析与解分析与解】物块在转台的静摩擦力作用下开始物块在转台的静摩擦力作用下开始做加速圆周运动，最后当转台做匀速转动时，物块做加速圆周运动，最后当转台做匀速转动时，物块也做匀速圆周运动。在加速过程中，静摩擦力对物也做匀速圆周运动。在加速过程中，静摩擦力对物块做正功，同时提供物块做圆周运动的向心力，而块做正功，同时提供物块做圆周运动的向心力，而当物体做匀速圆周运动时。静摩擦力不再做功，只当物体做匀速圆周运动时。静摩擦力不再做功，只提供向心力。显然，在过程的前半段静摩擦力是大提供向心力。显然，在过程的前半段静摩擦力是大小方向都在变的变力，这是一个变力做功的问题，小方向都在变的变力，
13、这是一个变力做功的问题，设物块最后做匀速圆周运动时的线速度大小为设物块最后做匀速圆周运动时的线速度大小为v，由，由动能定理得：动能定理得：0212mvEWKf 因为此时物块即将相对转台滑动，所以此时因为此时物块即将相对转台滑动，所以此时提供向心力的静摩擦力已达到最大值，再由向心提供向心力的静摩擦力已达到最大值，再由向心力公式得：力公式得：解得：解得：Rvmmgfm2mgRWf21例例6（2010-9南京市模考题）如图所示，南京市模考题）如图所示，物体物体A和和B的质量都为的质量都为m，它们通过一劲，它们通过一劲度系数为度系数为k弹簧相连，开始时弹簧相连，开始时B放在地面放在地面上，上，A、B都
14、处于静止状态。现用手通过都处于静止状态。现用手通过细绳缓慢地将细绳缓慢地将A向上提起距离向上提起距离L1时，时，B刚刚要离开地面，此过程手做功为要离开地面，此过程手做功为W1；将；将A加速提起，加速提起，A上升距离为上升距离为L2时，时，B刚要离刚要离开地面，此过程手做功为开地面，此过程手做功为W2。假设弹簧。假设弹簧一直处于弹性限度内，则一直处于弹性限度内，则B、C、W2W1 D、W2W1 A、kmgLL21kmgLL221BA【分析与解分析与解】在手拉在手拉A物体的过程中，物体的过程中，A物体受重物体受重力力mg、弹簧的弹力、弹簧的弹力N、手的拉力、手的拉力F三个力作用；三个力作用；B物物
15、体受重力体受重力mg、弹簧的弹力、弹簧的弹力N、地面的支持力、地面的支持力N1作用。作用。因两次以不同运动形式拉起因两次以不同运动形式拉起B的过程，弹簧都是由压的过程，弹簧都是由压缩变为伸长，弹力方向也发生了改变。缩变为伸长，弹力方向也发生了改变。B被拉起的临被拉起的临界条件都是界条件都是N1=0，即弹簧的弹力，即弹簧的弹力N等于等于B物体受重力物体受重力mg。A物体上升的距离等于弹簧的压缩量物体上升的距离等于弹簧的压缩量mg/k与伸与伸长量长量mg/k之和，由胡克定律可知之和，由胡克定律可知A物体两次上升的距物体两次上升的距离相等，故选项离相等，故选项B正确。正确。BAFNmgA BN1mg
16、NFNmgmgNN1AB弹簧被压缩时弹簧被压缩时弹簧被伸长时弹簧被伸长时 由上述分析可知，在手拉由上述分析可知，在手拉A物体至物体至B恰被拉起的恰被拉起的过程中，弹簧的弹力过程中，弹簧的弹力N大小变化，方向在过程中由大小变化，方向在过程中由竖直向上变为竖直向下，因此手的拉力竖直向上变为竖直向下，因此手的拉力F也是变力。也是变力。这里涉及两个变力做功，一是弹力做功：先做正这里涉及两个变力做功，一是弹力做功：先做正功，再做负功，由对称性可知，正功、负功数值功，再做负功，由对称性可知，正功、负功数值相同，弹力做的总功为相同，弹力做的总功为0。二是手的拉力。二是手的拉力F做的功。做的功。设加速提起、设
17、加速提起、B恰被拉起时恰被拉起时A的速度为的速度为v，则对，则对A物物体用动能定理可布列方程：体用动能定理可布列方程：缓慢拉缓慢拉A时：时：01kNGEWWW11mgLW 2221mvEWWWkNG22221mgLmvW加速拉加速拉A时：时：显然：显然：W2W1 故选项故选项D；正确答案选：；正确答案选：BDBA总结总结：（1）在这三种情况里重点介绍了利用）在这三种情况里重点介绍了利用“化变力做功化变力做功为恒力做功为恒力做功”（如例如例1）、作）、作F-x图像（图像（如例如例3）、动）、动能定理（能定理（如例如例2、例、例4、例、例5、例、例6）来处理典型的变力）来处理典型的变力做功问题，除
18、此之外，解决变力做功问题还有微元法、做功问题，除此之外，解决变力做功问题还有微元法、平均值法、功率法等方法。平均值法、功率法等方法。（2）以上列举的例子都是力学中的变力做功问题，）以上列举的例子都是力学中的变力做功问题，在热学中气体的压力做功还可以结合热力学第一定律在热学中气体的压力做功还可以结合热力学第一定律来解决，电磁学中的电场力（如库仑力）、安培力做来解决，电磁学中的电场力（如库仑力）、安培力做功计算都可以用上述方法解决。功计算都可以用上述方法解决。1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。2、从善如登，从恶如崩。3、现在决定未来，知识改变命运。4、当你
19、能梦的时候就不要放弃梦。5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。13、人生最大的错误是不断担心会犯错。14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想
20、，永远到不了远方。16、心态决定命运，自信走向成功。17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。18、励志照亮人生，创业改变命运。19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。20、当你能飞的时候就不要放弃飞。21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你
21、的下一个高点。29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。30、经验是由痛苦中粹取出来的。31、绳锯木断，水滴石穿。32、肯承认错误则错已改了一半。33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。4
22、2、自信人生二百年，会当水击三千里。43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。45、不可能！只存在于蠢人的字典里。46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。47、小事成就大事，细节成就完美。48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学
23、会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。57、理想的路总是为有信心的人预备着。58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。63、彩虹风雨后，成功细节中。64、有些事你是
24、绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。65、只要有信心，就能在信念中行走。66、每天告诉自己一次，我真的很不错。67、心中有理想 再累也快乐68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。72、只要路是对的，就不怕路远。73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
