1、桶和水壶桶和水壶蛋壳蛋壳天然壳体天然壳体国家大剧院国家大剧院香港国际会展中心香港国际会展中心悉尼歌剧院悉尼歌剧院火电厂冷凝塔火电厂冷凝塔火箭外壳火箭外壳射电望远镜射电望远镜1.直角坐标系与曲线坐标系直角坐标系与曲线坐标系引入曲线坐标原因：壳体表面弯曲，直角坐标系引入曲线坐标原因：壳体表面弯曲，直角坐标系不方便度量（直尺、软绳选择的问题。）不方便度量（直尺、软绳选择的问题。）设直角坐标设直角坐标 可以用可以用3个参数个参数 表示：表示：(,)x y z,123(,),(,),(,)xfyfzf 00,PV000(,)P x y z000(,)100120023003(,)(,)(,)xffyff
2、zff :(,)(,)fx y z 0000,(),(),(1,2,3)iiiixgxhi以这三条曲线为坐标线，以这三条曲线为坐标线，点为原点构成的坐标系称点为原点构成的坐标系称为曲线坐标系，为曲线坐标系，就是点在曲线坐标系的坐标。就是点在曲线坐标系的坐标。,P2.拉密系数拉密系数不同坐标系度量空间的单位度量一般不同（直角坐不同坐标系度量空间的单位度量一般不同（直角坐标系的长度；极坐标系的弧度加距离）。标系的长度；极坐标系的弧度加距离）。在在 坐标线上取微元坐标线上取微元 ,即即 。d1,Pd 直角坐标系下的直角坐标系下的单位度量单位度量与曲线坐标系的与曲线坐标系的单位度量单位度量间有没有关系
3、呢？间有没有关系呢？xyzP1P2P3P 面面 面面 面面OOPP1rdrrdr1ds1PP长度：长度：22211222212222 ()dsdxdydzxyzdddxyzd令令122221xyzH则：则：11dsH d可见直角坐标单位度量与曲线坐标单位度量相差一个可见直角坐标单位度量与曲线坐标单位度量相差一个因子因子 。1H同理考察同理考察 线，线，线上的度量，得到线上的度量，得到2233,dsH ddsH d23,H H为：为：122222122223xyzHxyzH这三个系数称为拉密系数，它表征曲线坐标变化这三个系数称为拉密系数，它表征曲线坐标变化引起的直角坐标系中弧长的变化比例。一般它
4、们引起的直角坐标系中弧长的变化比例。一般它们也是也是 的函数，特殊情况下可能是常数。的函数，特殊情况下可能是常数。,设设 分别为分别为 在在 点的切点的切向单位矢量向单位矢量，若，若 ，则切，则切线相互垂直，此时曲线坐标线相互垂直，此时曲线坐标 构成正交曲构成正交曲线坐标系。线坐标系。(1,2,3)ii 123,PP PP PPP0(,1,2,3)ijij (,)对于正交曲线坐标系，拉密系数作为对于正交曲线坐标系，拉密系数作为 函数是相互关联的：函数是相互关联的：(,)3.正交曲线坐标正交曲线坐标设：设：,OPr 为方便起见，为方便起见，123,q q q 则则1 (1,2,3)iiiidrr
5、idsHq0,1,ijijijij （自然满足）（自然满足）此外，连续光滑曲面应有三阶以上连续导数，此外，连续光滑曲面应有三阶以上连续导数，22 ijjikkq qq q （与偏导顺序无关）（与偏导顺序无关）将将 表达式代入该式，并利用正交条件，可以得到表达式代入该式，并利用正交条件，可以得到以下高斯以下高斯科达奇条件：科达奇条件：i233221233113223112212312111+0 111+0111+0 HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH211213232223211323313212110110110HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH 目标：目标：由几何变形推导出正
6、应变由几何变形推导出正应变 ，剪应变，剪应变 与位移与位移 间的关系。间的关系。123,e e e233112,ee e123,u u u1.曲率半径，曲率曲率半径，曲率以以 点为原点建立曲线坐标系，取微元点为原点建立曲线坐标系，取微元 进行几何分析：进行几何分析：123PP P PP 交交 于于 点，则点，则 曲率半径为曲率半径为 ，夹夹角为角为3PP12P Q1O1PP1O P13d133213111313 1 =P QPPdPPHHddH dH dHdHP1PQ1Q2Q3Q2P1O2O12R13R12d13d3P13d1311131311131PPH dH HRO PHHddH曲率：曲率
7、：131131HkRH H同理可得其它同理可得其它5个曲率及曲率半径：个曲率及曲率半径：121121HkRH H232231HkRH H313311HkRH H212211HkRH H323321HkRH H求求 正应变正应变 ，由，由3部分贡献组成。先考虑部分贡献组成。先考虑 对对 的贡献：的贡献：1PP1e1u1e2.正应变正应变P1PQ1Q2Q3Q2P1O2O12R13R12d13d3P111111111uuududuedsdsH 对对 应变影响为（理解为应变影响为（理解为 运动到了运动到了 位置位置 ）。）。2u1PP1PP23P Q22PPu121212212231112121212
8、 P QPPePPRudR duR dR 同理，同理，对对 应变影响为：应变影响为：3u1PP3113ueR1111123 3 11112111 1 uHHuuHH HH Heeee其它两个正应变类似可得：其它两个正应变类似可得：22312222321111uHHeuuHH HH H33123331323111uHHeuuHH HH H以直角以直角 的剪应变的剪应变 为例，此项剪应变系由为例，此项剪应变系由 及及 在在 面内转角相加。面内转角相加。12P PP12e1PP2PP2221212211321 11uuduP QPPedsPPududsH 3.剪应变剪应变（1）的转角分为两部分的转角
9、分为两部分，由于，由于 （可以理解可以理解为：为：，相对相对 转角）转角）1PP23P Q1PP22PPu2u由于由于 ，转角（理解为转角（理解为 ，点切线相点切线相对对 点切线转角，该转角与点切线转角，该转角与 相等）相等）:1u1PP11PPu1PP12d 211211121 uueHR1121212uedR （角度张大）（角度张大）（2）同理，）同理，的转角的转角2PP 121222211uueHR2112122121121122211 11222 12 21122111 1111uuuueHRHRuHuuHH HHHuHHuHHuHHHH11231111213111uHHeuuHH H
10、H H22312222321111uHHeuuHH HH H3e 2112211221HuHueHHHH3223322332HuHueHHHH31e 几何方程几何方程：1.壳壳:两个相距较近的曲面围成的几何体称为壳。两个相距较近的曲面围成的几何体称为壳。这两个曲面称为壳面；这两个曲面称为壳面；2.中面中面:与两壳面等距离的中间曲面称为中面。与两壳面等距离的中间曲面称为中面。3.闭合壳体闭合壳体，开敞壳体，开敞壳体.蒸汽锅炉蒸汽锅炉 高压锅高压锅4.壳体理论的假定：壳体理论的假定：(1)垂直于中面方向的正应变忽略不计；垂直于中面方向的正应变忽略不计；(2)中面法向线元变形前后保持为直线，且垂直于
11、中面法向线元变形前后保持为直线，且垂直于 中中 面；面；(3)与中面平行的截面上正应力对形变影响忽略不计；与中面平行的截面上正应力对形变影响忽略不计；(4)体力及面力均可化为作用于中面的荷载。体力及面力均可化为作用于中面的荷载。薄壳：若壳体厚度薄壳：若壳体厚度 （中面），这个壳（中面），这个壳 称为薄壳。称为薄壳。mintR特点及应用：相对薄板而言，能承受更大荷载。特点及应用：相对薄板而言，能承受更大荷载。如飞机机体，轮船壳。（鸟类的蛋、植物果实如飞机机体，轮船壳。（鸟类的蛋、植物果实的外壳也是自然选择的结果）的外壳也是自然选择的结果）一、概念一、概念1.主曲率主曲率1,2k k过中面过中面
12、点的无数平面曲线中有一根曲线在点的无数平面曲线中有一根曲线在M点的点的曲率最大；与之正交的另一根曲线，其曲率最小。曲率最大；与之正交的另一根曲线，其曲率最小。过过 点这两根曲线的曲率称为中面在点这两根曲线的曲率称为中面在 点的主曲点的主曲率，记为率，记为 。MMM1,2k k主曲率半径：主曲率半径：111Rk221Rkn1s3s4sns2sM2.曲率主向：主曲率曲线在曲率主向：主曲率曲线在 点切线方向。点切线方向。M3.中面曲率线：中面上曲线中面曲率线：中面上曲线若每点切线方向都是曲率主若每点切线方向都是曲率主向，称曲率线。（例子：地向，称曲率线。（例子：地球仪经、纬线即为曲率线）球仪经、纬线
13、即为曲率线）4.壳体曲线坐标选取：取壳体曲线坐标选取：取中面曲率线中面曲率线 为两坐标为两坐标线，中面法线为线，中面法线为 坐标线。坐标线。,P1PM1M2M1R2R5.拉密系数的中面表示拉密系数的中面表示中面点中面点 的拉密系数用的拉密系数用 ，表示，即：表示，即：A BM10(),HA20()HB则则 ，仅为仅为 ，的函数的函数。A B由拉密系数定义知中面曲线由拉密系数定义知中面曲线 长度：长度：1 2,MMMM长度长度1MM1dsAd2MM2dsBd长度长度对壳内任一点对壳内任一点 ，由图，由图1比例关系易知：比例关系易知：(,)P 1111 (1)PPRRMM将将 ，及，及 代入上式代
14、入上式，得：，得：11PPH d1MMAd111,HkA 由于由于 为直线，故为直线，故 31H 即：即：同理有：同理有：221HkB(2)111HkA6.正交曲线坐标下壳体的高斯正交曲线坐标下壳体的高斯科达奇条件科达奇条件将该关系代入拉密系数相容方程将该关系代入拉密系数相容方程(19-3)(19-4)，有以，有以下结果：下结果：（19-3）前二式恒成立；第）前二式恒成立；第 三式成为：三式成为：1211BAk k ABAB（高斯条件）（高斯条件）(3a)（19-4）第）第 三式恒成立；前二式成为：三式恒成立；前二式成为：这两式表示：中面内拉密系数与主曲率之间关系，这两式表示：中面内拉密系数与
15、主曲率之间关系，可用于简化计算。可用于简化计算。壳体理论以中面位移，中面形变及中面内力为讨壳体理论以中面位移，中面形变及中面内力为讨论对象，有了中面解，根据任一点与中面点间位论对象，有了中面解，根据任一点与中面点间位移，形变及内力的关系，就可容易求解。下面章移，形变及内力的关系，就可容易求解。下面章节将体现这种思想节将体现这种思想1221,ABk Akk Bk(科达奇条件科达奇条件)(3b)目的：讨论壳体内点的位移与应变关系。目的：讨论壳体内点的位移与应变关系。（1）根据壳体理论法向应变为）根据壳体理论法向应变为0的假设，即：的假设，即：30,e 利用（利用（19-6）第三式，及）第三式，及
16、，我们有：，我们有：31H 30u即：即：与与 无关无关3u33 (,)uuw 这表明壳体内各点沿这表明壳体内各点沿 方向位移与方向位移与 无关，可以无关，可以统一表示为统一表示为 。w（2）根据壳体理论第（）根据壳体理论第（2）计算假定，有：）计算假定，有：31230ee由由(19-6)中第中第5、4两式，并应用两式，并应用(19-9)，(19-10)式，式，得：得：122112222210(1)(1)10(1)(1)uwAkAkuwBkBk对对 积分，并注意积分，并注意 与与 无关，从而有：无关，从而有：w121112222210(1)(1)0010(1)(1)00uwAkA kkuwBk
17、B kk令中面上令中面上 ，为：为：，上式变为：，上式变为：1u2u,u v12211112222222110(1)(1)110(1)(1)uuwAkAA kkA kuvwBkBB kkB k求解求解 ，得：，得：1,2u u11223(1)(1)wukuAwukvBuw(19-13)这就将壳体任意点位移用中面位移表示出来了。这就将壳体任意点位移用中面位移表示出来了。将将(19-9)、(19-10)、(19-13)这些用中面位移、中面这些用中面位移、中面拉密系数表示的壳体位移和拉密系数代入几何方程拉密系数表示的壳体位移和拉密系数代入几何方程(19-6)中剩下的中剩下的1、2、6式中：式中：11
18、111121211(1)1(1)(1)(1)(1)wkekuwAkAkAkwkvABkkB22121211211(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)wkvBkBeAkBkwkuAkABkAk22222211211(1)1(1)(1)(1)(1)wkekuwBkBkBkwkvABkkA()这就把壳体任意点应变用中面应变表示出来了。这就把壳体任意点应变用中面应变表示出来了。（3）薄壳几何方程的简化：）薄壳几何方程的简化：对于薄壳，厚度对于薄壳，厚度 与曲率半径与曲率半径 之比远小于之比远小于1，而而 ，故，故 ,因而：因而：tR2t12,1kk1211,1+1kk从而从而 式简化为：式简化为
19、：()1122221111 1111uA vwA wek wAABAAABvB uwB wek wBABBBA B 212221112BvAuwA wB weABBAABA BAB 令：令：1221212222122211111111111uAvk wAABvBuk wBABAuBvBAABwA wAAABwBwBBA BwA wBwABA BAB (19-15)式可以表示为：式可以表示为：111222121212,2eee 因而因而 为中面内为中面内 方向的正应变，方向的正应变，为为 方向的剪应变。而方向的剪应变。而 为壳体内各点为壳体内各点超出中面应变的那部分应变。将其与（超出中面应变的那
20、部分应变。将其与（13-6）式对）式对比，可知比，可知 代表中面内各点主曲率代表中面内各点主曲率 的改的改变，变，为中面内扭率的改变。为中面内扭率的改变。,12,12,1212,2 12,12k k12中面应变（中面应变（19-15）一经确定，则壳体内任意点应变）一经确定，则壳体内任意点应变可由（可由（19-14）确定。因而以后主要研究中面应变与）确定。因而以后主要研究中面应变与位移间关系（位移间关系（19-15），这也就是薄壳的几何方程。），这也就是薄壳的几何方程。（注意已经使用薄壳假定（注意已经使用薄壳假定）当然，对当然，对 ，简化还有其它形式，书简化还有其它形式，书中提到符拉索夫，科尔摩
21、诺夫的简化结果，对薄壳，中提到符拉索夫，科尔摩诺夫的简化结果，对薄壳，这些简化结果之间差异不大。这些简化结果之间差异不大。11k21k内容：将壳体横截面上的应力向中面简化，得出壳内容：将壳体横截面上的应力向中面简化，得出壳体内力；并导出中面上壳体的物理方程。体内力；并导出中面上壳体的物理方程。1.中面内力中面内力截面应力：截面应力：共共6个个（，均不在横截面），向，均不在横截面），向中面简化：中面简化：1212211323,331133223,111 ;222 121212 ;212121 131 ;232,N MN MSMSMQQ1N2N12S21S1Q2Q1M2M12M21M面力面力 线分
22、布力线分布力线分布力矩线分布力矩/Nm/Nm m2.如何简化：如何简化：111,N M为例为例取取 面上面上 处处 微元，微元，其弧长其弧长 ，中面，中面弧长弧长 故：故：d2sH dBd211221ttNH ddBdd将将 代入并简化，得代入并简化，得:22(1)HBk21122(1)ttNkd力矩力矩:2112221221()(1)ttttMH dddkdB 同理得到其它同理得到其它3个薄膜力和个薄膜力和5个平板内力与截面个平板内力与截面应力关系式，见式应力关系式，见式(a)。虽然剪应力有互等关系虽然剪应力有互等关系,但平错力但平错力 ,因为因为1221SS21212222212112(1
23、)(1)ttttSkdSkd 一般不等于一般不等于 ，同理，同理 一般不等于一般不等于 。12M21M1k2k3.物理方程的中面内力物理方程的中面内力,中面应变表示中面应变表示变形体物理方程变形体物理方程(不计不计 对应变影响对应变影响,假设假设3)3112222121212112 1EeeEeeEe111222121212eee 将将(19-4)式应变的中面表示形式代入上式，然后将上式应变的中面表示形式代入上式，然后将上式代入式式代入式(a)中，积分后得到内力与中面应变的关系中，积分后得到内力与中面应变的关系式：式：21122122222112122121221222112112311221
24、223221121231211121122 162 1612 112 112 1EttNkEttNkEttSkEttSkEtMkEtMkEtM221231211212212 12kEtkM(19-18)如果在如果在(a)式中利用薄壳定义：式中利用薄壳定义：及及 用用1代替，则代替，则(19-18)中与中与 相关项可以略去相关项可以略去,得到得到:11k21k1,2k k11222212122112112221122112112 1EtNEtNEtSSMDMDMMD(19-19)这里这里 ,称为薄壳弯曲刚度。称为薄壳弯曲刚度。321 2 1E tD若中面内力已知，则可由若中面内力已知，则可由(1
25、9-19)解出解出 ，然后代入应力，然后代入应力-应变关系式应变关系式(b)中，即中，即可求出截面应力可求出截面应力1212,1212,1212,:(1)引起薄膜应力沿厚度方向均匀分布。引起薄膜应力沿厚度方向均匀分布。(2)引起弯扭应力沿厚度线性分布。引起弯扭应力沿厚度线性分布。12,N N S1212,M MM1113222312123121212NMttNMttSMtt(19-20)2121332222336464QttQtt至于横向剪应力至于横向剪应力 则可以套用板的小挠度则可以套用板的小挠度弯曲公式弯曲公式,即即(13-14)第第4,5两式两式,得得:1323,至于至于 ，可以直接忽略
26、不计。，可以直接忽略不计。3目标目标:建立壳体中面内力与荷载之间关系建立壳体中面内力与荷载之间关系,即即:壳体壳体平衡微分方程平衡微分方程.为简明起见为简明起见,将内力画在一个图上将内力画在一个图上,弯矩、扭矩画弯矩、扭矩画于另一个图上。于另一个图上。为转化在中面面积上的外荷为转化在中面面积上的外荷载。载。,X Y Z11()N BN B dd12d21d1N Bd1Q Bd12S Bd2N Ad2Q Ad21S Ad2121()S AS A dd22()N AN A dd22()Q AQ A dd1212()S BS B dd11()Q BQ B dd1P2P3PP弯矩和扭矩：弯矩和扭矩：1
27、2d21d11()M BM B dd1212()M BM B dd12M Bd1M Bd22()M AM A dd2121()MAMA dd21MAd2M Ad1P3P2P列平衡方程，略去三阶以上微量。列平衡方程，略去三阶以上微量。0F(1)由由 及及 得投影：得投影：1dN B11ddN BN B1ddN B a(2)由于由于 在在 方向投影为方向投影为 边上的拉压力在边上的拉压力在 点切线方向投影为：点切线方向投影为：2NP23P P(3)由于由于 ，在，在 边上的边上的 有投影有投影:12S13P P12S Bd2121132222122dsindddddddddddP PPPN AN
28、AN APPBBBBN ANA b121223112121221212dsindddddddddddP PPPS BS BS BPPAAAAS BSB c(4)由于由于 ，及，及 有有21dS A2121ddSASA21ddS A d(5)由于由于 ，在，在 边上，边上，有投影：有投影：1Q13P P1dQ B111111dsindddddQ BQ BAQ BQ ABkR e(6)由于由于 ，只有，只有3阶以上投影，忽略。阶以上投影，忽略。2Q(7)由于荷载由于荷载 ：XddddX ABABX f将将(a)-(f)式代入平衡方程，有：式代入平衡方程，有：121221110BABNNSASABk
29、 QABX 同理可得另外同理可得另外2个力的平衡方程及个力的平衡方程及3个力矩平衡方程，个力矩平衡方程，得到得到(19-21)：1212211121211222121212122112221122110,0,()0,0,0,BABNNSASABk QABXABANNSBSABk QABYAB k Nk NBQAQABZBABMMMAMABQABAMMMBMABQ12211122210SSk Mk M(19-21)对于薄壳，可用对于薄壳，可用 代替代替 ，故平衡方程故平衡方程(19-21)可化为：可化为：122112,SSSM21M12211122210SSk Mk M将物理方程代入后可知其为恒
30、等式。故只剩下将物理方程代入后可知其为恒等式。故只剩下5个平个平衡方程。衡方程。其中：其中：12112122112212121212212122110,0,()()()0,0,0BABNNSASABk QABXABANNSBSABk QABYAB k Nk NBQAQABZBABMMMAMABQABAMMMBMABQ (19-22)该方程只关于内力该方程只关于内力 8个内力。个内力。12121212,N N S M MMQ Q另：几何方程另：几何方程6个个(19-15)或或(19-16)，中面位移，中面位移3个。个。物理方程物理方程6个个(19-19)，中面应变，中面应变6个。个。平衡方程平衡
31、方程5个个(19-22)，内力，内力8个。个。共共17个方程，个方程，17个未知量，故理论上可解。个未知量，故理论上可解。壳体边界：壳面、壳边；一般壳面无约束，壳面力壳体边界：壳面、壳边；一般壳面无约束，壳面力已归入荷载中，故无位移和应力边界条件。一般只已归入荷载中，故无位移和应力边界条件。一般只需考虑壳边上的条件。需考虑壳边上的条件。一、对于闭合壳体：一、对于闭合壳体：由于由于 坐标线也闭合，而中面上任一点位移、形坐标线也闭合，而中面上任一点位移、形变、内力都是单值的，故是变、内力都是单值的，故是 的周期函数的周期函数。,例：例：2()(2)wwww二、壳体上具有垂直于二、壳体上具有垂直于
32、坐标线的壳边，则边界坐标线的壳边，则边界坐标：坐标：，或，或 易表示，否则复杂得多。易表示，否则复杂得多。,001.位移边界条件位移边界条件 （以（以 边界为例）边界为例）0中面边界上点的位移中面边界上点的位移 确定。此外由直法线假确定。此外由直法线假设，变形后中面法线绕设，变形后中面法线绕 线转角线转角 在边界上亦在边界上亦确定。确定。,u v w1u注意到：注意到：111wukuA故故：111uwk uA表示如下：000012314()(),()1()(),()ufvfwwfk ufA 如果边界为完全约束，则如果边界为完全约束，则 均为均为0。1234(),(),(),()ffff同样可得
33、同样可得 上的位移边界条件。上的位移边界条件。02.内力边界条件（以内力边界条件（以 边界为例）边界为例）0类似于板的等效剪力，壳体边界上扭矩可以化为类似于板的等效剪力，壳体边界上扭矩可以化为等效剪力和等效平错力。等效剪力和等效平错力。在微弧段在微弧段 上，扭矩上，扭矩 可用一对力可用一对力 代替。代替。PP122M dS12M而在而在 上，扭矩上，扭矩 亦可用一对力亦可用一对力 表示。表示。P P 122M dS12M这里这里12121222MMMdSS PPP2R12M122M dS122S dS12M12M12Q dS122MdS12M2dS2dS2d2d2d2d在在 点将两力向点将两力
34、向 方向投影，有：方向投影，有：P12QdS121212122221coscos22ddMMMMdSdSSB这就是扭矩的等效剪力。这就是扭矩的等效剪力。另一方面，上述两个力在平错力另一方面，上述两个力在平错力 方向有投影：方向有投影：122S dS21212121221222sinsin22dddSMMM dMk M dSR单位弧长总剪力：单位弧长总剪力：12111MVQB(19-24)单位弧长总平错力单位弧长总平错力：1212212HSk M(19-25)于是：于是：边界上内力边界条件可以表示为：边界上内力边界条件可以表示为：0 000015122126121718,1,NfSk MfMQf
35、MfB 0015126,NfHf 001718,VfMf 将总剪力，总平错力代入：将总剪力，总平错力代入：对于完全不受约束和边界荷载的自由边，内力边界对于完全不受约束和边界荷载的自由边，内力边界条件可简化为：条件可简化为：000011221212110,010,0NSk MMQMB (19-26)对于非完全约束，又非完全自由边界，可能既包含对于非完全约束，又非完全自由边界，可能既包含位移边界条件，也包含内力边界条件。位移边界条件，也包含内力边界条件。3.简支边界条件：简支边界条件：完全约束，故完全约束，故 为为0。0,v w即：即：0000110,00,0vwNM (19-27)04.固支边：
36、（薄壳固支边：（薄壳）在在 边上，边上，(19-23)可以简化为：可以简化为：011uwA 00000,00,0uvww 什么是无矩理论：假设壳体的所有横截面上弯矩、什么是无矩理论：假设壳体的所有横截面上弯矩、扭矩为扭矩为0。一、基本方程一、基本方程在壳体平衡微分方程在壳体平衡微分方程(19-22)中，令：中，令：12120,0,0MMM(a)目的：简化壳体方程，方便计算。目的：简化壳体方程，方便计算。前三式为：前三式为：12211122000BABNNSASABXABANNSBSABYk Nk NZ(19-30)得到第得到第(4)、(5)式式:即剪力也为即剪力也为0。120,0QQ(b)11
37、22221212112 1E tNE tNE tS(c)物理方程物理方程(19-19)中，舍去与弯矩、扭矩有关的后三中，舍去与弯矩、扭矩有关的后三式，只保留前三式：式，只保留前三式：几何方程几何方程(19-15)中同样略去曲率，扭率的改变，中同样略去曲率，扭率的改变，保留前三式：保留前三式：11221211uA vk wAABvB uk wBABAuBvBAAB(d)从从(c)、(d)方程中消去方程中消去 得到无矩理论中的弹得到无矩理论中的弹性方程：性方程：1212,121212112 1uA vNNk wAABEtvB uNNk wBABEtSAuBvBAABEt(19-31)该方程与平衡方
38、程该方程与平衡方程(19-30)一起有一起有6个未知函数：个未知函数：内力：内力：中面位移：中面位移：12,N N S,u v w“总剪力为总剪力为0”，“弯矩为弯矩为0”这两种内力边界条件这两种内力边界条件自然满足。另一方面：为了总剪力和弯矩等于自然满足。另一方面：为了总剪力和弯矩等于0，位，位移条件中挠度为移条件中挠度为0和转角为和转角为0的条件必须放弃的条件必须放弃(否则有否则有约束会导致约束会导致 和和 )。于是任何边界上只剩下两个。于是任何边界上只剩下两个边界条件：边界条件：VM(1)、自由边：、自由边：（自然满足自然满足）110,0VM 0001:0,0NS 二、边界条件二、边界条
39、件(2)、固支边：、固支边：（放弃放弃）0,0ww(3)、简支边：、简支边：（放弃，放弃，自然满足）自然满足）0w 10M 000,0uv 0010,0Nv 1、薄壳中面为平滑曲面，无斜率、曲率突变。、薄壳中面为平滑曲面，无斜率、曲率突变。2、所受荷载连续分布，无突变和集中荷载。、所受荷载连续分布，无突变和集中荷载。3、边界上挠度，转角不受约束。、边界上挠度，转角不受约束。在无矩状态下，薄壳内力只是薄膜力，平板内力忽略在无矩状态下，薄壳内力只是薄膜力，平板内力忽略不计。由于无矩状态下的应力分布更均匀，因而如果不计。由于无矩状态下的应力分布更均匀，因而如果为了节省材料，必须尽量实现无矩状态。为了节省材料，必须尽量实现无矩状态。三、实现无矩状态的条件三、实现无矩状态的条件但条件但条件3显然难以实现，即使实现了，也可能是结构显然难以实现，即使实现了，也可能是结构不稳定的。因而边界附近不可避免产生弯曲内力，不稳定的。因而边界附近不可避免产生弯曲内力，这种局部弯曲内力称为这种局部弯曲内力称为边缘效应边缘效应或或边界影响边界影响。
