1、赫兹接触第1页，共37页。Hertz接触理论 很久以来，人们就对接触物体表面的应力、应变、位移及相对滑移感兴趣。早在1881年Hertz首次解决两弹性球体受压接触面之间的压力分布问题。其后将类似方法推广到一般的弹性体接触情形。在处理方法中用到了下面一些假设：(1)接触区域通常都是椭圆的,并且接触物体是各向同性的线弹性体；(2)每个物体均可被看作是一个弹性半空间体；(3)接触表面是无摩擦的，两物体之间仅传递法向压力，不传递切向力；根据这些假设，利用半无限表面受垂直集中力作用的解，从垂直位移的几何条件中导了接触问题的积分方程，并且用假设的方法求出了问题的解。2022-8-142第1页/共36页第2
2、页，共37页。Hertz接触理论 Hertz的工作引起力学和数学工作者的很大兴趣。一百多年来，接触理论有了很多进展，主要有如下几方面：(1)更多类型的接触面或几何形状不同的物体的接触问题得到解决；(2)接触面之间的应力类型是复杂些的接触问题,例如除正应力外还有切应力（摩擦接触）得到发展；(3)接触物体的材料不限于各向同性弹性材料，例如接触物体之一为刚体，或粒状材料等；(4)与解决上述问题包括二维情形有密切联系的数学方法,如复变函数，奇异积分方程，积分变换等得到发展。此外弹性接触理论与流体力学相组合等问题也有进展。2022-8-143第2页/共36页第3页，共37页。Hertz接触理论 如图所示
3、为两个物体的接触示意图，在两个主平面上具有不同的曲率半径1、2。在载荷F 的作用下接触，当载荷Q为0 时，接触为一点，当载荷逐渐增大，接触区域应力值变化成一椭圆。2022-8-144第3页/共36页第4页，共37页。Hertz接触理论点接触的两物体，在负荷Q的作用下，接触区域将扩展成为一个接触面。该接触面在与接触法线垂直面的投影为一椭圆，长轴为2a，短轴为2b。2022-8-145第4页/共36页第5页，共37页。Hertz接触理论在接触区内，各点的上的接触应力大小是不同的。在Z轴上，由于变形最大，故其接触应力最大。2022-8-146第5页/共36页第6页，共37页。Hertz接触理论202
4、2-8-147其他点上的接触应力按半椭球规律分布总压力Q应等于:从几何意义上看，此积分就等于半椭球的体积，故有：最大接触应力为第6页/共36页第7页，共37页。Hertz接触理论其中长半轴a,短半轴b的计算公式为：2022-8-148E当量弹性模量其中：为两接触物体的弹性模量为两接触物体的泊松比为两物体在接触点处的主曲率的和第7页/共36页第8页，共37页。Hertz接触理论2022-8-149其中接触椭圆的长短半轴系数分别为：k 椭圆率，k=b/a L(e)与椭圆偏心率 e 有关的第二类完全椭圆积分椭圆偏心率与椭圆率的关系为：第8页/共36页第9页，共37页。Hertz接触理论赫兹接触变形公
5、式为：2022-8-1410K(e)与椭圆偏心率 e 有关的第一类完全椭圆积分主曲率函数 可表示为：第9页/共36页第10页，共37页。Hertz接触理论在对赫兹点接触理论进行求解时，需要用数值积分和数值迭代的方法，不便于进行求解。为了便于计算，传统的求解方法是采用查表的方法，即首先计算出 的值，再根据 的值查表得出系数 、的值，由上述公式计算出接触问题的相关解。2022-8-1411第10页/共36页第11页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1412第11页/共36页第12页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1413实例：两弹性体之间的接触压力问题 两球体的接触问题 圆球
6、与平面（或凹球面）的接触 例题第12页/共36页第13页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1414一.两球体的接触问题根据半空间体在边界上受法向分布力中有关知识，可导出两弹性体之间的接触压力以及由此所引起的应力和变形，下面我们先对两弹性球体进行讨论。设两个球体半径分别为R1和R2,如图。第13页/共36页第14页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1415设开始时两球体不受压力作用，它仅接触于一点O，那么此时，在两球体表面上取距公共法线距离为r的M1和M2两点，与O点的切平面之间的距离z1和z2.则由几何关系有：(R1z1)2+r2=R12 (R2z2)2+r2=R22得11
7、212zRrz22222zRrz第14页/共36页第15页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1416当M1,M2离O点很近时，则z1R1,z2R2，上面两式可化为：1212 Rrz2222 Rrz（a）而M1、M2两点之间的距离为：22121212212)2121(rRRRRRRrzz第15页/共36页第16页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1417当两球体沿接触点的公共法线用力F 相压时，在接触点的附近，将产生局部变形而形成一个圆形的接触面。由于接触面边界的半径总是远小于R1、R2，所以可以采用关于半无限体的结果来讨论这种局部变形。设为圆心O1、O2因压缩而相互接近的距
8、离，如果M1与O1、M2与O2之间无相对移动，则M1与M2之间接近的距离也为；第16页/共36页第17页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1418现分别用w1和w2表示M1点沿z1方向的位移及M2点沿z2方向的位移（即相外的相对移动）；于是M1点和M2点之间的距离减少为(w1+w2)，如果点M1、M2由于局部变形而成为接触面内的同一点M，则由几何关系有：(w1+w2)=z1+z2将式（a）代入，得w1+w2=r2 (b)其中，21212RRRR（c）第17页/共36页第18页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1419根据对称性接触面一定是以接触点O为中心的圆。现以图中的圆表
9、示接触面，而M点表示下面的球体在接触面上的一点（即变形以前的点M1），则按照弹性半空间受垂直压力q的解答，该点的位移为：dd11211sqEw其中1及E1为下面球体的弹性常数，而积分应包括整个接触面。对于上面的球体，也可以写出相似的表达式，于是：dd)(2121sqkkww （d）第18页/共36页第19页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1420其中12111Ek22221Ek并由（d）式及(c)式得221dd)(rsqkk到此，把问题归结为去寻求未知函数q（即要找出压力的分布规律），使式（e）得到满足。第19页/共36页第20页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1421
10、根据Hertz的假设，如果在接触面的边界上作半圆球面，而用它在各个点的高度代表压力q各该点处的大小。例如弦mn上一点压力的大小，可用过mn所作半圆的高度h来代表。令q0表示接触圆中心O的压，则根据上述假定，应有q0=ka由此得：k=q0/ak这个常数因子表示压力分布的比例尺。第20页/共36页第21页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1422接 触圆 内 任 一 点 的 压 力，应 等 于 半 球 面 在 该 点 的 高 度h和k=q0/a的乘积。由此，不难从图可以看出，Aaqshaqsq00ddA为弦mn上的半圆（用虚线表示）面的面积，即)sin(2222raA第21页/共36页第
11、22页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1423 由于Aaqsq0d222021)2(4)(rraaqkk)sin(2222raA代入后再代入式（e）202222021d)sin(22)(rraaqkk积分后得：221dd)(rsqkk有第22页/共36页第23页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1424要使此式对所有的r都成立，等号两边的常数项和r2的系数分别相等，于是有222021)2(4)(rraaqkk2)(0221aqkk4)(0221qkk(g)第23页/共36页第24页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1425这样，只要式（g）成立，Hertz所假定
12、的接触面上压力分布是正确的。根据平衡条件，上述半球体的体积与的乘积应等于总压力F，即Faaq3032由此的最大压力(h)(h)它等于平均压力F/a2的一倍半。将式（c）和式（h）代入式（g），求解a及302/3aFq 第24页/共36页第25页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1426即得：由此并可求得最大接触压力为；3221212120)(3)(42323RRkkFRRFaPq31212121)(4)(3RRRRkkFa3121212212216)()(9RRRRkkF第25页/共36页第26页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1427在E1=E2=E及1=2=0.3时，
13、由上列各式得出工程实践中广泛采用的公式：312121)(11.1RRERFRa31212212)(23.1RRERRF31222122120)(388.0RRRRFEq第26页/共36页第27页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1428在求出接触面间的压力之后，可利用按照弹性半空间受垂直压力q的解答导出的公式计算出两球体中的应力。最大压应力发生在接触面中心，值为q0；最大剪应力发生在公共法线上距接触中心约为0.47a 处，其值为0.31 q0；最大拉应力发生在接触面的边界上，其值为0.133 q0。第27页/共36页第28页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1429二.圆球
14、与平面（或凹球面）的接触 利用上面关于两弹性球体接触时的有关结论，可得如下公式：当圆球与平面接触时，将以上结果中的R1=R0,R2则得：3122212101143FEERa3122222121011169FEER3122212120301116EEFRq第28页/共36页第29页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1430在E1=E2=E及1=2=0.3时30109.1EFRa 3022231.1REF32020388.0RFEq 第29页/共36页第30页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1431当圆球与凹球面接触时，将以R1代替两圆球接触时公式中的R1，则可得：31222
15、12112211143FEERRRRa3122222121211211169FEERRRR3122221212211230116FEERRRRq第30页/共36页第31页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1432三.例题直径为10mm的钢球与 a)直径为100mm的钢球；b)钢平面；c)半径为50mm的凹球面相接触，其间的压紧力P=10N，试球接触圆的半径a,两球中心相对位移和最大接触应力q0 （E=2.1105 N/mm2,=0.3）第31页/共36页第32页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1433解:31212212)(23.1RRERRF31222122120)(3
16、88.0RRRRFEq312121)(11.1RRERFRaa)直径为10mm的钢球与直径为100mm的钢球；=0.067 mm=9.810-4 mm=1080N/mmF第32页/共36页第33页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1434b)直径为10mm的钢球与钢平面；30109.1EFRa 3022231.1REF32020388.0RFEq=0.069 mm=9.510-4 mm=1010N/mmF第33页/共36页第34页，共37页。Hertz接触理论2022-8-1435c)直径为10mm的钢球与半径为50mm的凹球面相接触；=0.071mm=9.810-4 mm=940N/mmF311221)(11.1RRERFRa31212122)(23.1RRERRF31222121220)(383.0RRRRFEq第34页/共36页第35页，共37页。谢谢！第35页/共36页第36页，共37页。37感谢您的观看！第36页/共36页第37页，共37页。
