1、方差方差甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点发炮弹，其落点距目标的位置如图：距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心中心中心 为此需要引进另一个数字特征为此需要引进另一个数字特征,用它来度量用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们要介绍的这个数字特征就是我们要介绍的方差方差 设设X是一个随机变量，是一个随机变量，EX若存在，若存在，称
2、称X-E(X)为为离差离差对任意的随机变量对任意的随机变量X都有都有E(X-E(X)=0一、方差的定义一、方差的定义 采用平方是为了保证一切采用平方是为了保证一切差值差值X-E(X)都起正面的作用都起正面的作用 由于它与由于它与X具有相同的度量单位，在实际问具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用题中经常使用.方差的算术平方根方差的算术平方根 称为称为标准差标准差)(XD1、设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若E(X-E(X)2DY,两人技术水平相当两人技术水平相当,但乙的技术比甲稳定但乙的技术比甲稳定.Xpk012 6/10 1/10 3/10Ypk012 5/10 3/10 2/10
3、 2、D(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开证：证：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质请自己用此公式计算常见分布的方差请自己用此公式计算常见分布的方差.22()()()D XE XE X 2(1)pppp例例3.设设XU（a,b），），计算计算DX解解：EX=21baxdxbaab 222200ababxEXxdxdxxdxba 22212baDXEXEX 21baxdxba 223aabb 例例4 求求 指数分布指数分布的期望与方差的期望与方差,服服从从指指数数分分布布设设随随
4、机机变变量量 X则有则有 ,0,e1 xx.0,0 x)(xf 其概率密度为其概率密度为)(XE xxxfd)(xxxde10 xxxxdee00 .)(2XE xxfxd)(2 xxxde102 xxxxxde2e002 .22)(XD222 22)()(XEXE .2 2.2 和和分分别别为为指指数数分分布布的的期期望望和和方方差差具有概率密度具有概率密度设随机变量设随机变量 X).(XD求求.,0其他其他,10,1 xx,01,1 xx )(xf解解 )(XE,0 1001d)1(d)1(xxxxxx)(2XE,61 于是于是 )(XD2061 .61 102012d)1(d)1(xxx
5、xxx22)()(XEXE 1.设设C是常数是常数,则则D(C)=0;反之，若反之，若D（X）=0，则存在，则存在常数常数C，使，使 PX=C=1,且且C=E(X);2.若若C是常数是常数,则则D(CX)=C2 D(X);二、方差的性质二、方差的性质 3.若若C是常数是常数,则则D(X+C)=D(X);22.()()D CXC D X 证明证明:2()()0D CE CE C 1.()0D C 证明：证明：2()()D CXE CXE CX 3.D(kX+C)=k2 D(X)2()E C XE X22()C EXE X 2()C D X 性质性质4.假设假设X、Y相互独立，且方差相互独立，且方
6、差 存在，则存在，则1212()()()()nnD XXXD XD XD X 设设1，2，相互独立且方差都存在，则相互独立且方差都存在，则反之未必成立反之未必成立:()()()D XYD XD Y 证明证明:22()()()D XYE XYE XY 22222()2()()()E XXYYE XE XE YE Y()()2()2()()D XD YE XYE X E Y X与与Y独立独立()()()E XYE X E Y()()()D XYD XD Y 解解 )52(3 XD)(43XD)()(4236XEXE )(6XE,6493,12112121313102 X设设).52(3 XD求求)5()2(3DXD 1213121121031)2(6666 例例6 23)(XE)52(3 XD故故,91)()(4236XEXE .92954 233331213121121031)2(返回
