1、 4.2 方方 差差 前面曾提到在检验棉花的质量时，既要注意纤前面曾提到在检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，还要注意纤维长度与平均长度的偏维的平均长度，还要注意纤维长度与平均长度的偏离程度那么，怎样去度量这个偏离程度呢？离程度那么，怎样去度量这个偏离程度呢？用用EX E(X)来描述是不行的，因为这时正负来描述是不行的，因为这时正负偏差会抵消；偏差会抵消；用用E|X E(X)|来描述原则上是可以的，但有绝来描述原则上是可以的，但有绝对值不便计算；对值不便计算；通常用通常用EX E(X)2来描述随机变量与均值的来描述随机变量与均值的偏离程度偏离程度第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的
2、数字特征 4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算定义定义4.3 设设X是随机变量，若是随机变量，若EX E(X)2存在，存在，则称其为则称其为X的的方差方差，记为，记为D(X)(或或Var(X)，即，即称称 为为X的的标准差标准差 特别地，如果特别地，如果X是离散型随机变量，分布律为是离散型随机变量，分布律为 则则如果如果X是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则，则)(XD)(XVar)(2XEXE )(XD,2,1,ipxXPii 12)()(iiipXExXD dxxfXExXD)()()(2 将方差定义式右端展开，并利用数学期望性质可得
3、将方差定义式右端展开，并利用数学期望性质可得 即即 今后我们会经常利用这个式子来计算随机变量今后我们会经常利用这个式子来计算随机变量X的方的方差差D(X).)()(222XEXXEXE 22)()()(XEXEXD22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()(XEXE )()(2XEXEXD4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算【例【例4.13】求例求例4-2中随机变量中随机变量X的方差的方差D(X).解：解：由于由于 1161 所以所以5.00102500010110000)(055 pXE 02525220102500010110000)(pXE)(XD75.161
4、05.016112 22)()(XEXE 4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算【例【例4.14】设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为（0）的泊）的泊松分布，求松分布，求D(X)解：解：由于由于X的分布律为的分布律为 ，k=0，1，2，在例在例4-4中已经求出中已经求出 ，下面计算，下面计算E(X 2)：故故 ekkXPk!)(XE)()1(XEXXE 0!)1(kkekkk)1()(2XXXEXE ee2 222)!2(kkke 2)(XD 2222)()(XEXE 4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的
5、概念与计算【例【例4.15】设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为（0）的指）的指数分布，求数分布，求D(X)解：解：由于指数分布的概率密度为由于指数分布的概率密度为在例在例4-7中已求出中已求出 ，故有故有 其它其它,00,1)(/xexfx )(XE 012xxde 010122dxxeexxx 012xdex 0121dxexx dxxfxXE )()(22010122dxeexxx201222 xe)(XD2222 22)()(XEXE 4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算【例【例4.16】设随机变量设随机变量X服从服从(a，b)上的均匀分布，上的均匀分布，求求
6、D(X)解：解：由于均匀分布的概率密度为由于均匀分布的概率密度为所以所以 其其它它 ,0 ,1)(bxaabxf2)(baXE badxabxXE22)()(333abab 322aabb 222)2(3)(baaabbXD 12)(2ab 4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算【例【例4.17】设设(X，Y)的概率密度为的概率密度为求求D(X)及及D(Y)解：解：记记D：|y|x，0 x 1，如图，则，如图，则 ,其它其它,0|,10,1),(xyxyxf 10 xxxdydx Ddxdyyxxf),(1022dxx32 )(XE0),()(10 Dxxydydxdxdyy
7、xyfYE212),()(10310222 dxxdydxxdxdyyxfxXEDxx6132),()(10310222 dxxdydxydxdyyxfyYEDxx.61061)(YD22)()()(XEXEXD ,10132212 4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算【例【例4.18】已知随机变量已知随机变量X的概率密度为的概率密度为又又E(X)=0.5，D(X)=0.15，求，求a，b，c 解：解：由于由于从上面三个方程中可以解得从上面三个方程中可以解得a=12,b=12,c=3 其它其它,010,)(2xcbxaxxf dxxf)(dxxxfXE)()(345)()(
8、)(102222cbadxcbxaxxdxxfxXE 1025.0234)(cbadxcbxaxx4.0)5.0(15.0)()(22 XEXD 102123)(cbadxcbxax4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质 (1)设设c是常数，则是常数，则D(c)=0；(2)设设c是常数，是常数，X是随机变量，则是随机变量，则 D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；(3)设设X，Y是两个随机变量，则有是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX E(X)Y E(Y)；特别，当特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有是相互独立的随机变量时，有 D(X+Y)=D(X
9、)+D(Y)；(4)D(X)=0的充要条件是的充要条件是X以概率以概率1取常数取常数c，即，即PX=c=14.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质(1)设设c是常数，则是常数，则D(c)=0；证明：证明：(2)设设c是常数，是常数，X是随机变量，则是随机变量，则 D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；证明：证明：22)()()(cEcEcD 022 cc)()(2cXEcXEcXD )(22XEXcE )()(222XDcXEXEc )(cXD)()(2cXEcXE ).(XD)(2XEXE 4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质(3)设设X，Y是两个随机变量，则有是两个
10、随机变量，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX E(X)Y E(Y)；特别，当特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有是相互独立的随机变量时，有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)；证明：证明：当当X，Y是相互独立的随机变量时，是相互独立的随机变量时，)()()(2YXEYXEYXD )()(2YEYXEXE )()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE )()(2)()(YEYXEXEYDXD )()(2YEYXEXE )()()()()()()(2YEXEXEYEYEXEXYE )()()(2YEXEXYE )()()(YDXDYXD 4.2.2 4.2.2 方差的性质方差
11、的性质 性质性质(4)证明从略证明从略.由性质由性质(2)和和(3)容易推广得到，若容易推广得到，若X1，X2，Xn是相互独立的随机变量，是相互独立的随机变量，为常数，则为常数，则 前面例前面例4-3中已经用定义求出了二项分布的数学中已经用定义求出了二项分布的数学期望，现在再用数学期望和方差的性质来求它的期期望，现在再用数学期望和方差的性质来求它的期望和方差。望和方差。nccc,21 niiiniiiXDcXcD121)()(4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质【例【例4.19】设随机变量设随机变量X服从二项分布服从二项分布B(n，p)，求，求E(X)和和D(X)解：解：X可视为可视为
12、n重伯努利试验中某个事件重伯努利试验中某个事件A发生的发生的次数，次数，p为每次试验中为每次试验中A发生的概率发生的概率引入随机变量引入随机变量Xi（i=1，2，n）：）：则则又又 不不发发生生次次试试验验中中第第发发生生次次试试验验中中第第AiAiXi,0,1nipXPpXPii,.,2,1,10,1 nXXXX 21),(pnB4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质因为因为X1，X2，Xn相互独立，且相互独立，且由数学期望和方差的性质可得由数学期望和方差的性质可得)1()1(01)()()(22222pppppXEXEXDiii niinpXEXE1)()().1()()(1pnpX
13、DXDnii pppXEi )1(01)(4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质【例【例4.20】一机场班车载有一机场班车载有20名乘客自机场开出，名乘客自机场开出，途中有途中有10个车站可以下车，如果到达一个车站没人个车站可以下车，如果到达一个车站没人下车则不停车，用下车则不停车，用X表示班车的停车次数，求表示班车的停车次数，求X的的数学期望数学期望E(X)及标准差（设每位乘客在各个车站及标准差（设每位乘客在各个车站下车是等可能的，且各位乘客是否下车相互独立）下车是等可能的，且各位乘客是否下车相互独立）解：解：依题意，每位乘客在第依题意，每位乘客在第i个车站下车的概率个车站下车的概率均
14、为均为1/10，不下车的概率均为，不下车的概率均为9/10,则班车在第则班车在第i个个车站不停车的概率为车站不停车的概率为 所以所以.)109(20)10,2,1(i)109(1,10(20 BX4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质从而，从而，),(784.8)109(1(10)(20次次 XE2020)109)()109(1(10)(XD次次）(0512.1)109)()109(1(10)(2020 XD4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质【例【例4.21】设随机变量设随机变量X服从正态分布服从正态分布 求求D(X)解：解：设设 ，由于，由于 所以所以ZN(0，1)，从而，从
15、而又又E(Z)=0，所以，所以故故),(2 N XZ)(2ZE dzzz)(2 dzezz2222 dzezezz 22222121 110 ),(2 NX101)()()(22 ZEZEZD22)()()(ZDZDXD【实验【实验4-1】用用Excel计算例计算例4-2中随机变量中随机变量的数学的数学期望与方差期望与方差实验准备：实验准备：函数函数SUMPRODUCT的使用格式：的使用格式：SUMPRODUCT(array1,array2,array3,.)功能功能：返回多个区域返回多个区域array1,array2,array3,.对对应数值乘积之和应数值乘积之和X X1000010000
16、500050001000100010010010100 0p pi i1/101/105 52/102/105 510/1010/105 5100/10100/105 51000/101000/105 5p p0 0 实验步骤：实验步骤：(1)整理数据如图整理数据如图4-2左所示左所示 图图4-2 计算数学期望计算数学期望 (2)计算计算E(X)，在单元格，在单元格B8中输入公式：中输入公式：=SUMPRODUCT(A2:A7,B2:B7)得到期望得到期望E(X)如图如图4-2右所示右所示 (3)为了计算方差，首先计算为了计算方差，首先计算xi E(X)2，在单元格，在单元格C2中输入公式：中
17、输入公式：=(A2-B$8)2并将公式复制到单元格区域并将公式复制到单元格区域C3:C7中，如图中，如图4-3左所示左所示 图图4-3 计算方差计算方差 (4)计 算 方 差，在 单 元 格计 算 方 差，在 单 元 格 B 9 中 输 入 公 式：中 输 入 公 式：=SUMPRODUCT(C2:C7,B2:B7)即得计算结果如图即得计算结果如图4-3右所示右所示).,(?,)(,.,.,均均为为已已知知设设应应生生产产多多少少件件产产品品最最大大要要获获得得利利润润的的数数学学期期望望问问若若的的指指数数分分布布服服从从参参数数为为件件预预测测销销售售量量他他们们再再者者元元的的损损失失而
18、而积积压压一一件件产产品品导导致致元元可可获获利利他他们们估估计计出出售售一一件件产产品品定定该该产产品品的的产产量量并并试试图图确确产产品品市市场场某某公公司司计计划划开开发发一一种种新新nmYnm 【建模实例【建模实例】解解:的函数的函数是销售量是销售量件时获利件时获利生产生产YQx .,),()(xYmxxYYxnmYYQQ若若若若(1)建立概率模型建立概率模型yyfyQQEYd)()()(ymxyyxnmyyxyxde1de1)(0 ,e)()(nxnmnmx 因为因为的概率密度为的概率密度为,0.0,0,0,e1)(yyyfyYyeyQxd1)(0 .,),()(xYmxxYYxnm
19、YYQQ若若若若所以所以).ln(nmnx 得得,0e)()(dd22 xnmQEx又又.)(,)ln(,取得最大值取得最大值时时当当因此因此QEnmnx ,0e)()(dd nnmQExx令令(2)模型求解模型求解,e)()()(的函数的函数是是xnxnmnmQEx .利利润润件件产产品品时时能能够够得得到到最最大大故故生生产产x10 pp)1(pp 10,1 pnnp)1(pnp 0 ba 2)(ba 12)(2ab 0 2分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布 B(n,p)泊松分布泊松分布()均匀分布均匀分布 U(a,b)指数分布指数分布 Exp()正态分布正态分布 N(,2)0,2 重要分布的期望和方差重要分布的期望和方差
