1、 6.3 抽样分布抽样分布 总体总体样样本本统计量统计量描述描述作出推断作出推断随机抽样随机抽样复习复习:抽样分布抽样分布统计量既然是依赖于样本的，而后者又统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故是随机变量，故统计量统计量也是随机变量，也是随机变量，它的分布它的分布叫做统计量的叫做统计量的“抽样分布抽样分布”.抽样分布抽样分布精确抽样分布精确抽样分布渐近分布渐近分布统计三大分布统计三大分布)(22n记为记为定义定义:设设 相互独立相互独立,都服从正态都服从正态 分布分布N(0,1),则称随机变量：则称随机变量：nXXX,21所服从的分布为所服从的分布为自由度自由度为为 n 的的 分布分
2、布.2222212nXXX分布22分布的密度函数为分布的密度函数为000)2(21);(2122xxexnnxfxnn来定义来定义.其中伽玛函数其中伽玛函数 通过积分通过积分0,)(01xdttexxt)(x0,)(01xdttexxt2/)1(2)2(531)2(!)1(nnnnnn n=1 =1 时时,其密度函数其密度函数为为0,00,21)(221xxexxfx2468100.20.40.60.811.2n n=2 =2 时时,其密度函数其密度函数为为0,00,21)(2xxexfx为参数为为参数为1/21/2的指数分布的指数分布.2468100.10.20.30.45101520250
3、.10.20.30.4n=2n=3n=5n=10n=15 分布分布密度函数图密度函数图)(2n),(2N1 设设 相互独立相互独立,都服从正态分布都服从正态分布nXXX,21则则)()(121222nXnii 2 (可加性可加性)设设 且且 X1,X2相互独立相互独立，则，则)(21221nnXX),(),(222121nXnX2分布的性质分布的性质则则),(2nX3 若若4 则则),(2nX若若E(X)=n,D(X)=2n)1,0(2NnnXn近似充分大时性质性质3 3的证明：的证明：nXXX,21相互独立相互独立,设设niiiniNXXX12,2,1)1,0(则1)(,1)(,0)(2ii
4、iXEXDXE nXEXEnii123)(4iXE2)()()(2242iiiXEXEXD nXDXDnii212T的密度函数为：的密度函数为：212)1()2(2)1();(nnxnnnnxf记为记为Tt(n).所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n的的 t 分布分布.定义定义:设设XN(0,1),Y ,且且X与与Y相互相互独立独立，则称变量，则称变量nYXT)(2nt 分布分布t 分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=20-3-2-11230.10.20.30.42 当当n充分大充分大时，其图形类似于时，其图形类似于标准正态标准正态 分布分布密度函数的图形密度函数的图形.0
5、);(nxfLimx1 t分布的密度函数分布的密度函数关于关于x=0对称对称，且，且性质性质3 Tt(n)数学期望和方差数学期望和方差为为:E(T)=0;D(T)=n/(n-2),对对n 2 定义定义:设设 X与与Y相互相互独立独立，则称统计量，则称统计量),(),(2212nYnX服从服从自由度为自由度为n1及及 n2 的的F分布，记作分布，记作 FF(n1,n2).21nYnXF 3、F分布分布 0001)()()()(),;(222221212112121212121xxxxnnxfnnnnnnnnnnnnn若若XF(n1,n2)，X的概率密度为的概率密度为1234560.20.40.6
6、0.81234560.20.40.60.8n1=10,n2=4n1=10,n2=10n1=10,n2=15n1=4,n2=10n1=10,n2=10n1=15,n2=10性质性质),(/1),(11221nnFXnnFX则概率分布的上侧分位数概率分布的上侧分位数设随机变量设随机变量x的密度函数为的密度函数为f(x),对给定的对给定的分位点的上为的实数称满足条件XxdxxfxXPx)()(),10(定义定义 xf(x)o1 标准正态分布的上标准正态分布的上 分位数分位数 z 025.0z常用数字c=z/2-2-1120.10.20.30.4 z-2-1120.10.20.30.4/2/2 2/z
7、2/z求求c,使使)|(|cZP zZP定义定义例例645.196.105.0z)(222n分位点分布的上51015200.020.040.060.080.1)(2n定义定义例例)(22nP307.18)10(205.0)(ntTP)10(05.0t-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35t-t的性质的性质分位点分位点分布的上分布的上)(3ntt 定义定义例例求求c,使使)|(|cTP)(2/ntc8125.1例例),(nmFFP1234560.10.20.30.40.50.6F(n,m)的性质分位点分布的上),(4nmFF定义定义)5,4(05.0F19.5当总体
8、为当总体为正态分布正态分布时，我们给出几个重时，我们给出几个重 要的抽样分布定理要的抽样分布定理.几个重要的抽样分布定理几个重要的抽样分布定理正态分布的重要性质正态分布的重要性质则则niiiniiiniiiaaNXa12211,1),(,221niuNXXXXiiin相互独立，且若 定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布)设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本，则有的样本，则有),(2nNX )1,0(NnX n取不同值时样本均值取不同值时样本均值 的分布的分布X 定理定理 2 (样本方差的分布样本方差的分布)1()1()1(222nSn 设设X1,X2,Xn
9、是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为分别为样本均值和样本方差样本均值和样本方差,则有则有.)(相互独立和22SXn取不同值时取不同值时 的分布的分布22)1(Sn 定理定理 3 设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为分别为样本均值和样本方差样本均值和样本方差,则有则有)1(ntnSX),1,0(NnX),1()1(222nSn.2相互独立和且SX证明：由定理证明：由定理1及定理及定理2知知)1()1(/22nSnnX)1(ntnSX所以所以定理定理 4(两总体样本均值差的分布两总体样本均值差的分布)2(112)1
10、()1()(21212122221121nntnnnnSnSnYX ，设),(),(2221 NYNXYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,1nX是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值均值,2221SS 和则有则有Y1,Y2,2nY是是样本样本)2()1()1(21222222211nnSnSnV)2(112)1()1()(21212122221121nntnnnnSnSnYX)11(,(22121nnNYX)1,0(11)(2121NnnYXU)2/(,21 nnVUVU独立，所以已
11、知证明：证明：),(121nNX)1()1(122211nSn)1()1(222222nSn),(222nNY 定理定理 5(两总体样本方差比的分布两总体样本方差比的分布)1,1(2122222121nnFSS ，设),(),(222211NYNXYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,1nX是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值，均值，2221SS 和则有则有Y1,Y2,2nY是是样本样本例例3：设总体设总体 ，为来自为来自总体的样本。令总体的样本。令 试确定试确定C使使CY服从服从
12、分布，并指出其自由度。分布，并指出其自由度。)4,0(NX1021,XXX2106251jjiiXXY2解：由已知条件有解：由已知条件有),20,0(51NXii),20,0(106NXii所以所以),1,0(201511NXYii),1,0(2011062NXYii相互独立且11,YY)2(20122221YYY故例例4 设设X 与与Y 相互独立，相互独立，X N(0,16),Y N(0,9),X1,X2,X9 与与 Y1,Y2,Y16 分别是取自分别是取自 X 与与 Y 的简单随机样本的简单随机样本,求统求统 计量计量2162221921YYYXXX所服从的分布所服从的分布解解)169,0
13、(921NXXX)1,0()(121921NXXXU16,2,1,)1,0(31iNYi)16(3122161iiYV16VU)16(t2162221921YYYXXX从而9.0)(),0(,2432124321cXXXXPcNXXXX使求独立同分布，均服从设例例5作业作业 P147P147 习题习题 1 1，2,3,42,3,4 例例3：总体总体 ，问问 与与 是是否独立？否独立？，服从什么分布？服从什么分布？),0(2NXniX12)(21niXXniX12)(21niXX解：解：,)()(212XnXni21niXX2)1(Sn 易知易知相互独立与又2SXniX12)(21niXX所以所
14、以与与独立独立),1,0(NnXU设),1()1(222nSnV2212)(UnXni则VXXni221)1(22n)1(22n例例5 5 从正态总体),(2NX中，抽取了 n=20的样本2021,XXX(1)求22012276.120137.0iiXXP(2)求22012276.120137.0iiXP解解(1)19(11922012222iiXXS即22012276.120137.0iiXXP故2.3514.720122iiXXP2.3514.712012220122iiiiXXPXXP98.001.099.0查表)1()1(222nSn(2)(2)20(22012iiX22012276.120137.0iiXP故2.354.72012iiXP2.354.720122012iiiiXPXP97.0025.0995.0
