1、第四章第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 主要内容主要内容 1、柱面、柱面 2、锥面、锥面 3、旋转曲面、旋转曲面 4、椭球面、椭球面 5、双曲面、双曲面 6、抛物面、抛物面第一节第一节 柱面柱面定义定义平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 L 叫叫柱面的柱面的母线母线.设柱面的准线为设柱面的准线为)1(0),(0),(21zyxFzyxF母线的方向数为母线的方向数为X,Y,Z。如果。如果M1(x1,y1,z1)为准线
2、为准线上一点，则过点上一点，则过点M1的母线方程为的母线方程为)2(111ZzzYyyXxx且有且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3)从（从（2）（）（3）中消去）中消去x1,y1,z1得得F(x,y,z)=0这就是以这就是以（1 1）为准线，母线的方向数为为准线，母线的方向数为X，Y，Z的的柱面的方程。柱面的方程。柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 母线母线/轴轴x12222 byax双曲柱面母线双曲柱面母线
3、/轴轴zpzx22 抛物柱面母线抛物柱面母线/轴轴y 只含只含yx,而缺而缺z的方程的方程0),(yxF，在，在空间直角坐标系中表示母线平行于空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱轴的柱面，其准线为面，其准线为xoy面上曲线面上曲线C.例例1、柱面的准线方程为、柱面的准线方程为2221222222zyxzyx而母线的方向数为而母线的方向数为-1-1，0 0，1 1，求这柱面的方程。，求这柱面的方程。例例2、已知圆柱面的轴为、已知圆柱面的轴为21211zyx点点（1,-2,1)1,-2,1)在此在此圆柱面上，求这个柱面的方程圆柱面上，求这个柱面的方程。第二节第二节 锥面锥面)1(0),(0),(
4、21zyxFzyxF一、锥面一、锥面1、定义、定义 在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。2 2、锥面的方程、锥面的方程设锥面的准线为设锥面的准线为顶点为顶点为A(x0,y0,z0)，如果，如果M1(x1,y1,z1)为准线上任一点，为准线上任一点，则锥面过点则锥面过点M1的母线为：的母线为：)2(010010010zzzzyyyyxxxx且有且有F1(x1,y1,z1)
5、=0F2(x1,y1,z1)=0 （3）从（从（2）（）（3）中消去参数）中消去参数x1,y1,z1得三元方程得三元方程F(x,y,z)=0这就是以（这就是以（1）为准线，以）为准线，以A为顶点的锥面方程。为顶点的锥面方程。例例1、求顶点在原点，准线为、求顶点在原点，准线为czbyax12222的锥面的方程。的锥面的方程。答：答：0222222czbyax（二次锥面）（二次锥面）定理定理 一个关于一个关于x,y,z的齐次方程总表示顶点在坐标的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面。原点的锥面。齐次方程齐次方程：设设为实数，对于函数为实数，对于函数f(x,y,zf(x,y,z)，如果有，如果有f(t
6、x,ty,tz)=tf(x,y,z)则称则称f(x,y,z)为为的的齐次函数，齐次函数，f(x,y,z)=0称为齐次称为齐次方程。方程。例如，方程例如，方程 x2+y2-z2=0圆锥面圆锥面又如，方程又如，方程 x2+y2+z2=0原点（虚锥面）原点（虚锥面）第三节第三节 旋转曲面旋转曲面一、一、.旋转曲面旋转曲面1、定义定义:以一条平面曲线以一条平面曲线C绕其平面上的一绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做条直线旋转一周所成的曲面叫做旋旋转曲面转曲面,这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴.曲线曲线C称为放置曲面的称为放置曲面的母线母线oC纬线纬线经线经线二、旋转曲面的方程二、
7、旋转曲面的方程在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：)1(0),(0),(:21zyxFzyxFC旋转直线为：)2(:000ZzzYyyXxxL其中P0(x0,y0,z0)为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴L的方向数。设M1(x1,y1,z1)为母线C上的任意点，则M1的纬圆总可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中心，|P0M1|为半径的球面的交线。所以过M1的纬圆的方程为：201201201202020000)()()()()()()3(0)()()(zzyyxxzzyyxxzzZyyYxxX 当点M1跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆，这些纬圆就生成旋转曲面。又由于M1在母线上，
8、所以又有：)4(0),(0),(:11121111zyxFzyxFC从（3）（4）的四个等式中消去参数x1,y1,z1,得到一个三元方程：F(x,y,z)=0这就是以C为母线，L为旋转轴的旋转曲面的方程。例1、求直线0112zyx绕直线x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。解：设M1(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过M1的纬圆方程是：2121212221110)()()(zyxzyxzzyyxx又由于M1在母线上，所以又有：0112111zyx即 x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+
9、y+z)-7=0。三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：已知yoz面上一条曲线C,方程为f(y,z)=0,曲线C绕 z 轴旋转一周就得一个旋转曲面.设M1(0,y1,z1)是C上任意一点,则有f(y1,z1)=0当C绕 z 轴旋转而M1随之转到M(x,y,z)时,有|1221yyxzz221yxy将z1=z,代入方程F(y1,z1)=0,xozy0),(zyf),0(111zyM Mdyoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线0),(zyf绕绕z轴旋轴旋转一周的转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程.同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线
10、线0),(zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 .0,22 zxyf得旋转曲面的方程:0),(22zyxF即规律：规律：当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。xozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ),0(111zyM),(zyxM圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 例2:求直线 z=ay 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程.zxyz=ay解:将 y 用 代入直线方程,得22yx)(22yxaz
11、平方得:z2=a2(x2+y2)该旋转曲面叫做圆锥面,其顶点在原点.例例3 3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面（单叶）（单叶）（双叶）（双叶）例4、将圆0)0()(222xabazby绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。解：所求旋转曲面的方程为：22222)(azbyx即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)该曲面称为圆环面。绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222
12、 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面（长形）（长形）（短形）（短形）第四节第四节 二次曲面二次曲面二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程三元二次方程相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的平面截痕法平面截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面一、基本内容、基本内容所表示的曲面称之为
13、二次曲面所表示的曲面称之为二次曲面ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0zoxyO2 用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆kzckbyax2222221当|k|c 时,|k|越大,椭圆越小;当|k|=c 时,椭圆退缩成点.二二.几种常见二次曲面几种常见二次曲面.（一）椭球面1 用平面z=0去截割,得椭圆012222zbyax1222222Czbyax3 类似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得椭圆:,012222xczby.012222yczax特别:当a=b=c时,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原点o,半径为a的球面.（二）双曲面（二）双曲
14、面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0(zxoy截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.)0,0,0(O 012222zbyax与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz 122122221zzczbyax（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0(yxoz截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线.012222yczax实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.xz 122122221yybyczax双曲线的双曲线的中心
15、中心都在都在 轴上轴上.y与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线.1yy )(1by ,)1(221by x实轴与实轴与 轴平行轴平行,z虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)2(221by z实轴与实轴与 轴平行轴平行,x虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)3(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0,0(b,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0,0(b,0 byczax.0 byczax（3）用坐标面）用坐标面 ，与曲面相截与曲面相截)0(xyoz1xx 均可得双曲线均可得双曲线.单叶双曲面图形单叶双曲
16、面图形 xyoz平面平面 的截痕是的截痕是两对相交直线两对相交直线.ax 双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyaxxyo（三）抛物面（三）抛物面zqypx 2222（与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0(zxoy截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点)0,0,0(O设设0,0 qp原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 11212122zzqzypzx当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz)0(1 z与平面
17、与平面 不相交不相交.1zz )0(1 z（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0(yxoz 022ypzx截得抛物线截得抛物线与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.1yy 121222yyqyzpx它的轴平行于它的轴平行于 轴轴z顶点顶点 qyy2,0211（3）用坐标面）用坐标面 ，与曲面相截与曲面相截)0(xyoz1xx 均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.0,0 qpzxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：0,0 qp0,0 qp特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0(p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）xozpzx22 11222zzpzyx与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )0(1 z当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.1zzzqypx 2222（与与 同号）同号）pq双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设0,0 qp图形如下：图形如下：xyzo
