1、圆锥曲线高频考点突破第4课时 轨迹方程的求法105-5-10-15y-20-101020PONM(1)(1)建系建系:建立直角坐标系；建立直角坐标系；(2)(2)设点设点:设所求动点设所求动点P(x,y);P(x,y);(4)(4)化简化简:化简方程；化简方程；(5)(5)检验检验：检验检验所得方程所得方程的纯粹性和完备性的纯粹性和完备性,多余的点要剔除多余的点要剔除,不足的点要补充。不足的点要补充。(3)(3)列式列式:根据条件列出动点根据条件列出动点P P满足的关系式满足的关系式;求动点轨迹方程的基本步骤是什么？求动点轨迹方程的基本步骤是什么？复习回顾复习回顾题目中的条件有明显的等量关系，
2、或者可以利用平面几何知识推出题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点等量关系，列出含动点P（x,y）的解析式的解析式.一、直接法一、直接法【例题例题1 1】(,),Mx y解：设的坐标为则有,2AMykx3224yyxx 由题意知2234340 xy化 简 得22143xy即(2)x (2)x(2)x 2BMykx2.与圆与圆x2+y2-4x=0外切，且与外切，且与y轴相切的动圆圆心轴相切的动圆圆心 的轨迹方程是的轨迹方程是_.y2=8x(x0)或或y=0(x0)22143xyPABxyo22(2)2|xyx解：设动圆圆心为解：设动圆圆心为P(x,y).由
3、题，得由题，得222(2)(2|)xyx即即 -4x+y2=4|x|得动圆圆心的轨迹方程为得动圆圆心的轨迹方程为 y=0(x0)【练习练习】真题呈现真题呈现二、定义法二、定义法分析题设几何条件，根据分析题设几何条件，根据所学所学曲线的定义，判断轨迹是何种曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程类型的曲线，直接求出该曲线的方程.【例题例题2 2】15105-5-10-30-20-1010PNABM经过思考之后不难发现：经过思考之后不难发现：利用平面解析几何知识，利用平面解析几何知识，PM=PBPM=PB，所以所以PA+PB=PA+PM=MA=PA+PB=PA+PM=MA=半径半
4、径8 8为定值为定值即即PA+PBPA+PB为定值且大于为定值且大于ABAB符合椭圆的符合椭圆的定义定义所以此题可用定义法来解所以此题可用定义法来解轨迹演轨迹演示示如：如：【例题例题2 2】22(3)64,(3,0),.AxyBMAMBAMP NP已知圆 的方程为为一定点为圆 上的一个动点 线段的中垂线和直线的交点为为垂足求动点 的轨迹方程,:PBPM 由由已已知知可可得得解解AMPAPM 且且6,4 ABAM又又ABPBPAPMPA 8为焦点的椭圆为焦点的椭圆的轨迹是以的轨迹是以点点BAP,)0(12222 babyax设设椭椭圆圆的的方方程程为为62,82:ca由由题题意意得得734222
5、 b171622 yxP的的轨轨迹迹方方程程为为点点15105-5-10-30-20-1010PNABM定义法：定义法：如果动点如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程 小结一小结一1.已知圆已知圆A：(x+2)2+y2=1与点与点A（-2，0），），B（2，0），），分别求出满足下列条件的动点分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程的轨迹方程.（1
6、）PAB的周长为的周长为10;练习练习1.已知圆已知圆A：(x+2)2+y2=1与点与点A（-2，0），），B（2，0），），分别求出满足下列条件的动点分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程的轨迹方程.（2）圆）圆P与圆与圆A外切，且点外切，且点B在动圆在动圆P上（上（P为动圆圆心为动圆圆心）;练习练习1.已知圆已知圆A：(x+2)2+y2=1与点与点A（-2，0），），B（2，0），），分别求出满足下列条件的动点分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程的轨迹方程.（3）圆）圆P与圆与圆A外切且与直线外切且与直线x=1相切（相切（P为动圆圆心）为动圆圆心）.练习练习（3）依题意，知动点）依题意，
7、知动点P到定点到定点A的距离等于的距离等于 到定直线到定直线x=2的距离，故其轨迹为的距离，故其轨迹为抛物线抛物线，且开口向左，且开口向左，p=4.方程为方程为y2=-8x.105-5-10-15y-20-101020PONM2.动点动点P到定点到定点(-1，0)的距离与到点的距离与到点(1，0)距离之差为距离之差为2，则则P点的轨迹方程是点的轨迹方程是_.的的轨轨迹迹方方程程是是则则圆圆心心相相内内切切同同时时与与圆圆外外切切与与圆圆一一动动圆圆如如图图PyxNyxMP,100)3(:,4)3(:,2222 3.1362722 yx)1(0 xy圆心的轨迹动画真题呈现真题呈现真题呈现真题呈现
8、三、代入法（相关点法）三、代入法（相关点法）当所求动点当所求动点P P的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点Q Q的运动时，可利用的运动时，可利用代入法代入法，其关键是找出两动点的坐标的关系。，其关键是找出两动点的坐标的关系。设所求动点设所求动点 P P坐标坐标 (x,y)(x,y)，再设与，再设与P P相关的已知点坐标为相关的已知点坐标为Q(xQ(x0 0,y,y0 0)，找出，找出P.QP.Q之间的坐标关系，并表示为之间的坐标关系，并表示为x x0 0=f(x),y=f(x),y0 0=f(y)=f(y)，根据点根据点Q Q的运动规律得出关于的运动规律
9、得出关于x x0 0,y,y0 0的关系式的关系式,把把x x0 0=f(x),y=f(x),y0 0=f(y)=f(y)代代入关系式中入关系式中,即得所求轨迹方程即得所求轨迹方程.思考思考：1 1 点点D D为什么会动？为什么会动？2 2 点点D D的轨迹大致是什么图形？的轨迹大致是什么图形？3 3 点点D D的轨迹方程又该如何求呢？的轨迹方程又该如何求呢？不难想像，点不难想像，点D的运动是由于点的运动是由于点C在圆上运动，而点在圆上运动，而点A的是固定的，的是固定的，A,C,D有坐标关系，所以应该用相关点法来求此轨迹方程有坐标关系，所以应该用相关点法来求此轨迹方程。我们说轨迹方程与轨迹是有
10、区别的：我们说轨迹方程与轨迹是有区别的：轨迹方程是指动点满足条件的方程，轨迹方程是指动点满足条件的方程，而轨迹则需指出所代表的曲线是什么而轨迹则需指出所代表的曲线是什么。而此题的轨迹我们可以用几何画板来而此题的轨迹我们可以用几何画板来演示演示给大家：给大家：相关点法：相关点法：如果动点如果动点P的运动是由另外某一点的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），），用（用（x，y）表示出相关点）表示出相关点P的坐标，然后把的坐标，然后把P的坐标代入已知
11、曲线方的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点程，即可得到动点P的轨迹方程。的轨迹方程。小结二小结二【练习练习】【练习练习】真题呈现真题呈现四、参数法四、参数法如果轨迹动点如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程轨迹方程.参数法中常选角、斜率等为参数参数法中常选角、斜率等为参数.【练习练习】2如图如图,过点过点A(-3,0)的直线的直线l与曲线与曲线C：x2+2y2=4交于交于A,B两点两点.作平行四边形作平行四边形OB
12、PC，求，求点点P的轨迹。的轨迹。AoxyBCPG解法解法：点差法 连PO交CB于G.设P(x,y),G(x0,y0),C(x1,y1),B(x2,y2),则x12+2y12=4x22+2y22=4作差，得(x2-x1)(x2+x1)+(y2-y1)(y2+y1)=0得(x+3)2+y2=9，故所求轨迹为(-3,0)为圆心，3为半径的圆.212121212121212100()()()(),yyyyxxxxyyxxxxyyxky 直接法直接法当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时,可用可用直接法直接法.定义法定义法分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定
13、义，判断轨迹是何种类型的分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程曲线，直接求出该曲线的方程.代入法代入法(相关点法相关点法)当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点的运动时当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点的运动时,可利用可利用代入法代入法,其关键是找出两动点的坐标的关系其关键是找出两动点的坐标的关系,这要充分利用题这要充分利用题中的几何条件中的几何条件.（要有双动点和已知其一动点轨迹方程要有双动点和已知其一动点轨迹方程）参数法参数法如果轨迹动点如果轨迹动点P P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程轨迹方程.参数法参数法中常选角、斜率等为参数中常选角、斜率等为参数.总结总结求动点的轨迹方程的常用方法求动点的轨迹方程的常用方法
