1、2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系1线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性输入量状态变量输出量能控性输入量输出量G(s)能观性状态方程输出方程2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系2第三章第三章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性 能控性与能观性问题的提出；能控性与能观性问题的提出；线性定常系统的能控性及其判据；线性定常系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性系统的能观性及其判据；线性系统的能观性及其判据；对偶系统与对偶原理；对偶系统与对偶原理；能控与能观规范型；能控与能观规范型；线性定常系统的结
2、构分解；线性定常系统的结构分解；传递函数矩阵的实现。传递函数矩阵的实现。2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系3线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-问题的提出问题的提出例例1dttduCdttduCdttduRCtutuRdttduCdttduCdttduRCtutuRcccccccc)()()()()(1)()()()()(1)(121222111求系统状态空间表达式2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系4线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-问题的提出问题的提出dttduRCtutudttduRCdttduRCtutudttduRCcccc
3、cc)(2)()()()(2)()()(221112uuudtduRCuuudtduRCcccccc2122112323)()()()(2121tutxtutxcc取：xyuxx10112112系统状态空间表达式2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系5线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-问题的提出问题的提出3,10342112det)det()(2212AI求系统状态转移矩阵tttttteeeeeett333121212121233111)()(化有限项ttttttttAteeeeeeeettttttAtIte33332111212121)(2)()()()(2)()
4、()(ttttAAtduedbuexetxtxt00)(000)(11)()(0)(,0的解：时状态方程求2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系6线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-问题的提出问题的提出 结果：无论结果：无论u(tu(t)是什么，都会有是什么，都会有x x1 1(t)=x(t)=x2 2(t)(t)；提出问题：提出问题：系统是否可以在控制的作用下从任意状态出发到达系统是否可以在控制的作用下从任意状态出发到达 任意指定的状态？任意指定的状态？如果有这样的系统，如何描述？如果有这样的系统，如何描述？如果有这样的系统，如何判断？如果有这样的系统，如何判断？不
5、能任意控制的系统是否部分能控？不能任意控制的系统是否部分能控？2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系7线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-问题的提出问题的提出2121LLixix取：例例2xyuxx110121122022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系8线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-问题的提出问题的提出ttttttttAteeeeeeeee333321)0()(0 xetxuAt 时，当tttttttttttexxxeexeeeeeeeetcxty32103303333)0()0(2111)()(2022-8-15北京科技大学信息工程学
6、院自动化系9线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-问题的提出问题的提出 结果：结果：只要只要x x1 1(0)-x(0)-x2 2(0)=a(0)=a(常数常数)，系统的输出，系统的输出y(ty(t)相同；相同；提出问题：提出问题：是否可以通过系统的输出确定系统的初始状态？是否可以通过系统的输出确定系统的初始状态？如果有这样的系统，如何描述？如果有这样的系统，如何描述？如果有这样的系统，如何判断？如果有这样的系统，如何判断？是否可以通过系统的输出确定系统部分状态？是否可以通过系统的输出确定系统部分状态？2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系10第四章第四章 线性系统的能
7、控性与能观性线性系统的能控性与能观性 能控性与能观性问题的提出；能控性与能观性问题的提出；线性定常系统的能控性及其判据；线性定常系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性系统的能观性及其判据；线性系统的能观性及其判据；对偶系统与对偶原理；对偶系统与对偶原理；能控与能观规范型；能控与能观规范型；线性定常系统的结构分解；线性定常系统的结构分解；传递函数矩阵的实现。传递函数矩阵的实现。2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系11线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性定常系统的能控性),.(.:BAorBuAxxCxyB
8、uAxx能控性讨论系统不能控。否则称系统转移到内从使得系统在有限时间都存在输入，及任意的终点状态任意的初始状态能控，如果状态空间中：称线性定常系统定义),()(,)0(),(100BAxxtuxxxBAff能控。的状态，称状态转移到任意指定使系统能在有限时间内如果存在：对某一个态轨线也不唯一；几乎没有限制，系统状：对输入量能达；意非零状态的系统称为到达任；而从零状态出发可以义中：一般教材的能控性定注：00,3201xuxuxf一、线性定常系统能控性定义一、线性定常系统能控性定义2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系12线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控
9、性定常系统的能控性二、能控性判别二、能控性判别ttAtAtAAcfcfcdeBBedeBBetwtWtGramtWBA0)(T)(0TTT)()(0)()(nn),(1是非奇异的。使得，矩阵矩阵定义的能控的充要条件是如下：系统结论)()(),()(101)(0fAtfcttATfcxxetWeBtuxxBAtwffT取：和对任意的能控非奇异证明：ffAtAtftAtfctATtAAtttAAtfxxxexedxxetweBBexedBuexetxfffTfffff00001)()(00)(011)()()(2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系13线性系统的能控性与能观性线性系统的
10、能控性与能观性-定常系统的能控性定常系统的能控性 0.00)(0)(.,0),()()(),(2)()(02)(0)()(BeoreBdeBdeBBetWntWsttBAtWBAffTffTffTftATtATttATttATtATfcTfcfc使得：量维列向的奇异。则存在不全为零能控，但设反证法非奇异能控矛盾与使得：则必存在能控，取000)()()(0)(,0,),(0)(0)(0)(0TttATttAttAffAtfffffffdBuedBuedBuextuxexBA2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系14线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性定常
11、系统的能控性,npn),()(21BAABBUUBAncc行满秩。能控矩阵定义的能控的充要条件是如下系统秩判据：结论 1,1,0,0,0n)(),(11niBABAABBUUUnRankUBAiTnTcTccc，使得：维非零列向量行线性相关，即存在不满秩，则若反证法能控证明：,1,0,0-iBAiT哈密尔顿定理有：由凯莱0,1,0,0!BeiiBtAAtTiiT0)(tATAtTTAtTAtTTeBBeBeBe0)(00fcTttATAtTttATAtTtWdteBBedteBBefTfT矛盾奇异)(fctW2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系15线性系统的能控性与能观性线性系统
12、的能控性与能观性-定常系统的能控性定常系统的能控性 为奇异的不能控，则必有：若反证法能控fTttATAtfcfcdteBBetWtBABAnRankU0)(0),()(),(20)(0n0BedteBBetWAtTttATAtTfcTfT，使得：维非零列向量存在BAeABeBetnAtTAtTAtT100微分有：此式对矛盾,0,01nRankUBAABBtcnTuxx102171160241。，试判断系统的能控性设系统的状态方程如下例例3 32022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系16线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性定常系统的能控性127611417
13、1160241,114102171160241,1022BAABBUc解：求系统能控072det1211710642ccUU秩。的所有特征根都是行满，对维矩阵能控的充要条件是系统秩判据：结论ABIABAPHBi,p)n(n),()(3矛盾，使得：维非零列向量及不满秩，则存在。反证法满秩能控证明：,0,0,0,n,)(,),(11BBBBAABBBABIABIABIABATnTTnTTTTTii2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系17线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性定常系统的能控性没有全为零的行。中的的约当标准型件是：经线性变换导出，则系统能控的充
14、要条两两互异的特征根中阶系统约当标准型判据：结论BBAABAn),(,),()(5n21nnbbbBIAPHB2121,秩判据有证明：，系统的能控性不变。：状态空间线性变换下结论4,111BAABBPBABABUBAABBUnncPxxnc 证明：0,2,1,iibnBIARankni必有都有对2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系18线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性定常系统的能控性的末行线性无关。末行对应能控的充要条件是与系统标准型经线性变换导出的约当阶系统约当标准型判据：结论ijijiiiijpiiiiiiiipnrnnrBJBAJBBBBJJ
15、JJBBBBJJJABABAniiiii),(11,),(),()(6212121212022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系19例例4 4线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性定常系统的能控性 uxxuxxuxxuxx9121000400044940100040014350174010005000729021000500071，性。试判断下列系统的能控 系统不能控，系统能控。能控没有全为零的行，系统系统不能控。解：40032,01322bbb2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系20线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-定常系统的
16、能控性定常系统的能控性1(,)nnp ,nccA BUUB ABAB秩判据:系统能控的充要条件是如下定义的能控矩阵行满秩。n-n-表示状态的维数，表示状态的维数，p-p-表示输入量的维数表示输入量的维数问题：问题：U Uc c中的中的n-1n-1是否可以减小以减低是否可以减小以减低U Uc c的维数？的维数？能控性指数定义：对完全能控的连续时间线性时不变能控性指数定义：对完全能控的连续时间线性时不变系统使系统使 rankUrankUckck=rankB=rankB，AB,AB,A,Ak-1k-1B=n B=n 成立的最成立的最小正整数小正整数k k称为系统的能控性指数，一般记为称为系统的能控性
17、指数，一般记为。三、能控性指数和能控性判据的简化三、能控性指数和能控性判据的简化2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系21线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性定常系统的能控性 结论结论1：单输入完全能控的连续时间线性时不变系统的：单输入完全能控的连续时间线性时不变系统的状态维数为状态维数为n，则系统的能控性指数，则系统的能控性指数=n。结论结论2：多输入完全能控的连续时间线性时不变系统的：多输入完全能控的连续时间线性时不变系统的状态维数为状态维数为n，输入维数为，输入维数为p，且，且rankB=r。则系统的。则系统的能控性指数满足：能控性指数满足：n/
18、pn-r+1。证明：证明：rankUrankUcc=rankB=rankB，AB,AB,A,A-1-1B=nB=n 若保证上式成立，必须保证若保证上式成立，必须保证U Uckck的列数大于的列数大于n，即即 n p 所以有所以有 n/p rankB+-1 n 所以所以 r+-1 n n-r+12022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系22线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性定常系统的能控性 结论结论3：多输入完全能控的连续时间线性时不变系统的：多输入完全能控的连续时间线性时不变系统的状态维数为状态维数为n，输入维数为，输入维数为p，且，且rankB=r。则
19、系统的能。则系统的能控的充要条件为：控的充要条件为：rankUrankUcn-r+1cn-r+1=rankB=rankB，AB,AB,A,An-rn-rB B=n=n例：给定系统状态方程如下，判断系统的能控性：例：给定系统状态方程如下，判断系统的能控性：14220 x061 x01 u1711 12022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系23线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性定常系统的能控性204*rank(B,AB)rank 011*31 11*所以系统能控所以系统能控解：解：rankUrankUc c=rankB=rankB，AB,AB,A,An-r
20、n-rB=rankBB=rankB，ABAB2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系24第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性 能控性与能观性问题的提出；能控性与能观性问题的提出；线性定常系统的能控性及其判据；线性定常系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性系统的能观性及其判据；线性系统的能观性及其判据；对偶系统与对偶原理；对偶系统与对偶原理；能控与能观规范型；能控与能观规范型；线性定常系统的结构分解；线性定常系统的结构分解；传递函数矩阵的实现。传递函数矩阵的实现。2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系
21、25线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-离散系统的能控性离散系统的能控性)(),()()()()()()()()1(kHkGkxkCkykukHkxkGkx能控性：讨论系统时刻完全能控。在时刻能控，称系统所有状态都在空间中时刻能控，进一步状态在，则称状态时刻到达出发，使系统由和输入序列，存在一个有限时刻态，及任意给定的状的一个初始状态刻：如果对给定的初始时定义kkHkGkkkxxlkxlukukuklxkxkff)(),()()()(,),1(),()(3一、离散系统能控性定义一、离散系统能控性定义二、离散系统能控性判据二、离散系统能控性判据lhkTckhkHkHkhlhWhkH
22、kGGramhl)1,()()()1,(),()(),(8时刻完全能控。在是系统矩阵非奇异的充要条件使如下定义的：存在结论2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系26线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-离散系统的能控性离散系统的能控性,npn),()(91HGGHGUUHGncc行满秩。能控矩阵定义的能控的充要条件是如下线性定常离散系统秩判据：结论10()(,)SISOG hn结论：定义 线性定常离散的系统能控，则系统的任意非零状态一定可以在 步内转移到状态空间的原点。0)0(,)0()1()1()0(,)0()()0()()0(,)1()1()0(,),(121212
23、11011211xGGhGhGGhGhGxGnuuuGhGhGxGjhuGxGnxxGGhGhGnuuuhGGhGhGnnnnnnnnnnjjnnnnnn可逆；能控，则证明：2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系27能控性小结能控性小结能控性定义：定常系统与时变系统是有区别的，能控和能达对能控性定义：定常系统与时变系统是有区别的，能控和能达对定常系统来说是等价的，对时变系统是非等价的。定常系统来说是等价的，对时变系统是非等价的。系统的不完全能控是一种奇异的情况，系统中有部件的参数值系统的不完全能控是一种奇异的情况，系统中有部件的参数值在很小的变化就可能使系统由不能控变为能控。在很小
24、的变化就可能使系统由不能控变为能控。f f0 0t tt t0 00 0)d)d)u()u()B()B(,(t(tx xfttfffduBtxtttx0)()(),(),()(0u(t)00，使得和能控，则必存在能控状态：若状态f0tx 。、。能控能控，若状态2能控是常数则必有能控，若状态12121xxxxxx00则状态aa系统能控状系统能控状态构成一个态构成一个子空间子空间2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系28第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性 能控性与能观性问题的提出；能控性与能观性问题的提出；线性定常系统的能控性及其判据；线性定常系统的能控性及
25、其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性系统的能观性及其判据；线性系统的能观性及其判据；对偶系统与对偶原理；对偶系统与对偶原理；能控与能观规范型；能控与能观规范型；线性定常系统的结构分解；线性定常系统的结构分解；传递函数矩阵的实现。传递函数矩阵的实现。2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系29线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-系统的能观性及判别系统的能观性及判别)C,.(.Cxy:AorAxxCxyBuAxx能观性讨论系统一、系统能观性定义一、系统能观性定义定义定义4 4：线性定常系统在任意给定输入：线性定常系统在任意给定输入u(tu
26、(t)时，能根据输出时，能根据输出量量y(ty(t)在有限时间区间在有限时间区间 tt0 0,t,tf f 的量测值唯一确定系统在的量测值唯一确定系统在t t0 0时刻的初始状态时刻的初始状态x(x(t t0 0),),则称系统是能观测的。则称系统是能观测的。二、系统能观性的判据二、系统能观性的判据ttttATttAofofodtCeCettwttWttttWCAT000)()(0000),(),(,),(nn),(11是非奇异的。对矩阵定义的能观的充要条件是如下：系统结论2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系30线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-系统的能观性及判别
27、系统的能观性及判别:,00)(0上积分并在在上式两边同乘fTttAttxCeTdBuCeCedttyCedtxCeCetAttttTttATttttAttATttttAfTfTfT)()()()()(0)()(00000000 dBuCeCedttyCeXdtCeCettWtAttttTttATttttAttATttttAfofTfTfT)()(),()()()()()(000000000 记：XxttWfo00),(是否存在唯一。是否奇异决定了00),(xttWfo)(,),(00txttttyf可以求得由系统能观dBuexetxtttAttA)()(00)(0)(由状态方程的解：dBuCe
28、xCetCxtytttAttA)()()(00)(0)(2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系31线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-系统的能观性及判别系统的能观性及判别TTnTTTTnooCACACCACACUUCA11)(nnq),(12满秩。矩阵定义的能观的充要条件是如下：系统结论110000001101:()0()()()()()()nnAtiiiiiinnu ty tCe xCt A xt CA xCCAt It It IxCA简证 设2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系32线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-系统的能观性及判别系
29、统的能观性及判别xyuxx30115004的能观性。式为下式，试判断系统设系统的状态空间表达例例5 5系统不能观。不满秩解：求系统的能观矩阵oooUCACUCACU15030150,302022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系33线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-系统的能观性及判别系统的能观性及判别。的所有特征根都是满秩对，维矩阵能观的充要条件是系统秩判据：结论ACIACAPHBinp)n(),()(31的首列线性无关。首列对应能观的充要条件是与系统标准型经线性变换导出的约当阶系统约当标准型判据：结论ijijiiiijpiiiiiiiinqnnnrCJCAJCCCCJ
30、JJJCCCCJJJACACAniiiii),(11,),(),()(14212121212022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系34xyxx010000312030500000004331322212的能观性。式为下式，试判断系统设系统的状态空间表达例例3 3线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-系统的能观性及判别系统的能观性及判别解：解：C C的第一列、的第一列、第三列、第四列第三列、第四列线性无关，第五线性无关，第五列、第七列线性列、第七列线性无关，故系统能无关，故系统能观。观。2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系35线性系统的能控性与能观性线性系统的
31、能控性与能观性-系统离散对能控能观的影响系统离散对能控能观的影响011(1)()()100()01()x kx ku ky kx k 设离散系统的状态空间表达式为判别系统的能控性与能观性。10011,0110cocUh AhUcA解：满秩，系统能控。满秩，系统能观。例例6 6oo115()(,)nq nnG CCCGUUCG结论：秩判据 线性定常离散系统能控的充要条件是如下定义的能观矩阵满秩。2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系36第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性 能控性与能观性问题的提出；能控性与能观性问题的提出；线性定常系统的能控性及其判据；线性
32、定常系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性系统的能观性及其判据；线性系统的能观性及其判据；对偶系统与对偶原理；对偶系统与对偶原理；能控与能观规范型；能控与能观规范型；线性定常系统的结构分解；线性定常系统的结构分解；传递函数矩阵的实现。传递函数矩阵的实现。2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系37线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-对偶原理对偶原理qpnRyRuRxCxyBuAxx,其中：讨论系统能控性能控性x与与u的关系的关系 能观性能观性x与与y的关系的关系 Uc=B,AB,An-1B Uo=CT,ATCT,(AT)n
33、-1CTTTTpqnBCARRR:,输出变量输入变量状态变量设概念，卡尔曼提出对偶系统的一、对偶系统的定义一、对偶系统的定义2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系38线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-对偶原理对偶原理 BCAuyx BTCTAT称系统称系统与系统与系统互为对偶系统互为对偶系统2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系39二、对偶系统的关系二、对偶系统的关系线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-对偶原理对偶原理 111)()det()()()det(1)()()(1GCAsIBCAsIAsIAdjBCAsIAdjAsIBCAsIBB
34、AsICsGTTTTTTTTTTTTTTT置。的传递函数矩阵互为转与其对偶系统系统)(det)(det2TAIAI的特征根相同。与其对偶系统系统2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系40线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-对偶原理对偶原理 onTTTTTTcnccRankUABABBRanknRankUnBAAbBRankRankUU11)(,3满秩，即：能控，则能控性矩阵系统cTnTTTTTonooRankUCACACRanknRankUnCACACRankRankUU11)(满秩，即：能观，则能观性矩阵系统能控。对偶系统观的充要条件是其能能观；系统条件是其对偶系统
35、能控的充要系统对偶原理：结论)(202022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系41线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-对偶原理对偶原理 。系统的能控性与能观性判别两个态空间表达式；写出系统对偶系统的状式为设系统的状态空间表达21100001010001100:xyuxx 例例7 7 0011000011000101TTTBCA的对偶系统为解：2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系42线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-对偶原理对偶原理能观。系统满秩，能控。系统满秩，100010001CACAC001010100,:22ocUBAABBU能观。系统
36、满秩，能控。系统满秩，001010100)(BBB100010001)(,:2TTT2TToTTTTTcAAUCACACU2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系43第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性 能控性与能观性问题的提出；能控性与能观性问题的提出；线性定常系统的能控性及其判据；线性定常系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性系统的能观性及其判据；线性系统的能观性及其判据；对偶系统与对偶原理；对偶系统与对偶原理；能控与能观规范型；能控与能观规范型；线性定常系统的结构分解；线性定常系统的结构分解；传递函数矩阵
37、的实现。传递函数矩阵的实现。2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系44线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-能控规范型能控规范型RyRuRxcxybuAxxn,其中：讨论系统1101110,:det()nnnnnbAbAba aaIAaa若系统能控，则方阵可逆。设系统矩阵的特征多项式的系数为，即11111121211nnnnnaaabbAbAeeeP取一、一、SISO定常系统的能控规范型定常系统的能控规范型bebabAabAebabAabAennnnnnn23122121112022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系45线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与
38、能观性-能控规范型能控规范型bababaAbabAabAAbabAabAAennnnnn0001111111baebabaAbabAabAAbabAabAAennnnnn1111221122112baebabaAbabAAbabAAennnnnnn222212121baebabaAbAennnnn11111101111102111010nnnnaaaPbaebaebaeeeAAP11011010naaaPAP2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系46线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-能控规范型能控规范型10010021Pbbeeeennnneeec212111101
39、111211201117(,)01010110,11,nnnnnnnSISOA b cPxxuaPAbbaaaaayxcPa aa 结论：线性定常系统能控，必存在可逆方阵，使系统经坐标变换后状态空间表达式化为如下的标准形式：其中为系统A矩阵 的特征多项式的系数。2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系47xyuxx110121201112201型。求如下系统的能控规范例例8 8线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-能控规范型能控规范型 判断系统的能控性解：1满秩系统能控。,51110521312bAAbbUc 45201112201det)det(23AI求系统的特征多项
40、式 7571072710281714111025013410501000111525101311010013212211paaabAbbAPPP 和求变换矩阵2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系48线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-能控规范型能控规范型 0541000101102501342011122017571072710281714141PAPA求系统的能控规范型10012175710727102817141Pbbxyuxx340,1000541000103401102501341101cPc2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系49线性系统的能
41、控性与能观性线性系统的能控性与能观性-能控规范型能控规范型111221011,()nnnnPbAbAbAPAbA bA bAbA ba Ia AaAb具体方法为：取则：0111101011100,00nnaaAPAPabAbAbbbPb nnbAAbbccPc2111xyuxaaaxnn211100011010式：能控规范型的另一种形01110101nnaabAbA ba 2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系50线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-能观规范型能观规范型1101110,:det()nnnnnccAcAa aaIAaa证：如果系统能观，则方阵可逆。设系统
42、矩阵的特征多项式的系数为，即二、二、SISO定常系统的能观规范型定常系统的能观规范型011111221118(,)01101,11001nnnnnnSISOA b cQaaacaxxucAQaacAyx 结论：线性定常系统能观的，必存在可逆方阵，使系统经坐标变换后状态空间表达式化为如下的标准形式：其中011,nQba aaA为系统矩阵 的特征多项式的系数。2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系51cacacacAacAacAcAacAacAAennnnnn0001111111caecacacAacAacAcAacAacAAennnnnn1111221122112caecacacAa
43、cAcAacAAennnnnnn222212121caecacacAAennnnn1111线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-能观规范型能观规范型1111221111nnnnneaacAecAQaec取cecacAacAecacAacAennnnnnn2312212111110-0nnnAaAa I根据凯莱 哈米尔顿定理：可以得到如下结果。2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系52线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-能观规范型能观规范型01110101naaAQAQa 1122nneebQbbe1001001cQccQnnnnnnnneeeaaaeaee
44、aeeaAeeeQA2111011110211010 能控能观规范型的优点是将能控能观规范型的优点是将反映系统特征的特征多项式以反映系统特征的特征多项式以显示的形式在状态空间表达式显示的形式在状态空间表达式中表现出来。这有利于我们讨中表现出来。这有利于我们讨论系统的综合问题。论系统的综合问题。代数等价的能控能观系统具代数等价的能控能观系统具有相同的规范形。有相同的规范形。2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系53第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性 能控性与能观性问题的提出；能控性与能观性问题的提出；线性定常系统的能控性及其判据；线性定常系统的能控性及其判
45、据；线性离散系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性系统的能观性及其判据；线性系统的能观性及其判据；对偶系统与对偶原理；对偶系统与对偶原理；能控与能观规范型；能控与能观规范型；线性定常系统的结构分解；线性定常系统的结构分解；传递函数矩阵的实现。传递函数矩阵的实现。2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系541217(,),00cccccccccccA B CkPxxAABxu yCCxxAxkxnk结论：不完全能控系统的能控性矩阵的秩为则存在非奇异矩阵 使得系统在线性变换后的状态空间表达式有如下形式：其中 是 维能控状态向量，是维不能控状态向量。线性系统的能控性与能观
46、性线性系统的能控性与能观性-结构分解结构分解1 1、线性定常系统、线性定常系统按能控性分解按能控性分解,npqxAxBuxR uRyRyCx对于系统：其中121k1,cckknRankUknUkq qqn kqqqq若系统不能控，必有，中必有 个线性无关的列向量，记为。另选个与线性无关的列向量。2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系55112nPQqqq设线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-结构分解结构分解1120ccAAAPAPA则：0cBBPB1ccCCPCC1200cccccAABxAxBuxuAyCxCCx变换后系统的状态空间表达式为：cncccccncccc
47、nccBABABRankBABABRankBAABBRankkBA11100的能控性：讨论系统kmAAkkAkiicmimcc,10哈密尔顿定理的方阵，由凯莱是组合表示的线性可以由矩阵1,kccmcAAIkmA能控系统ccckccccBAkBABABRank11k 1,kncccccccccA BABBA BAB可用的线性组合来表达。2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系56线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-结构分解结构分解ccccccccccccxCyxAxxCyxAuBxAx2112,表达为如下两个系统：经能控分解后系统可以 cAcCcx2y cAcBcC12A
48、cx1yyu式是有可能不同的。达唯一的，但状态空间表是解后两个子系统的阶次分的选择的任意性，结构由于nkkqqqqq,1212022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系57xyuxx111100341010121。的状态方程。解，并写出能控子系统将如下系统按能控性分例例9 9线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-结构分解结构分解 判断系统的能控性解：1系统不能控,2,8310004102ccRankUbAAbbU 010001103,0311000102111QQPQPQ和求 cccccccccxuxxxxyuxxxxCPPBPAP2201414012100110024124
49、0121001,100241240311分解系统2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系582 2、线性定常系统、线性定常系统按能观性分解按能观性分解线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-结构分解结构分解,npqxAxBuxR uRyRyCx对于系统：其中。记为个线性无关的行向量，中必有不妨设，若系统不能观，必有kcoorrrkUnkRankUnRankU,21线性无关。使得个行向量选择nnkkrrrrrrkn,2121nnqqqQrrrQR21211设并记njijiqrqrIqqqrrrRQjiiinn,2,1,012121的线性组合。一行都是中任何并且线性无关kokr
50、rrUrrr,2121kjnikAqrkidrdArjijkjjji1,1,0,1。是常数，2022-8-15北京科技大学信息工程学院自动化系592 2、线性定常系统、线性定常系统按能观性分解按能观性分解线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性-结构分解结构分解2118(,),0,0oooooooooooA B CkRxxBAxu yCxxBAAxkxnk结论：不完全能观系统的能观性矩阵的秩为则存在非奇异矩阵 使得系统在线性变换后的状态空间表达式有如下形式：其中 是 维能观状态向量，是维不能观状态向量。,npqxAxBuxRuRyRyCx对于系统：其中o121k1,okknRankUk
