1、第4章 矩阵方法及其应用 4.1 矩阵概念 4.1.1 矩阵的由来 引例1 某地区设有三个不同的商场S1，S2，S3，它们都出售四种物品F1，F2，F3，F4这四种物品在不同商场有不同的价格，如表4.1所示 譬如：物品F2在商场S3的价格是8元，在商场S1购买每种物品各一件的总费用是17元7元11元21元56元 类似地，在商场S2购买每种物品各一件的总费用是56元，在S3则是60元表6.中的长方形数组称为三行四列的矩阵，记为 引例2 在物资管理工作中，常常要编制调拨计划，如表4.2所示.这里的长方形数组称为m行n列矩阵，记为 4.1.2 矩阵的定义 定义4.1 由mn个数(或元素)按确定位置排
2、成m行n列的矩形表，形如 叫做一个mn阶矩阵，其中横排叫矩阵的行，竖排叫矩阵的列，aij叫矩阵第i行第j列上的元素，mn叫矩阵的阶通常，用大写英文字母A，B，C,表示矩阵，有时为了表明一个矩阵的行数和列数，又用Amn或A=(aij)mn表示一个m行n列的矩阵 4.1.3 几种特殊矩阵(1)行矩阵 1行n列的矩阵即n阶矩阵，称为行矩阵，如 (a1 a2 an)(2)列矩阵 m行1列的矩阵即m1阶矩阵,称为列矩阵,如(3)零矩阵 所有元素均为0的矩阵,称为零矩阵,记为0或0m n即 (4)方阵 行数与列数相等的矩阵，即mn阶矩阵若mn时，则称为n阶方阵或称nn阶矩阵，即 (5)对称矩阵 在n阶方阵
3、Aaij中，若它的第i行第j列上的元素aij与第j行第i列上的元素aij相等，即aij=aij(i，j，n)，则称A为对称矩阵，简称对称阵，如 都是对称阵(6)三角矩阵 主对角线下方的元素全为零的n阶方阵，称为n阶上三角矩阵，即 主对角线上方的元素全为零的n阶方阵，称为n阶下三角矩阵，即 上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵.(7)对角矩阵 如果方阵除主对角线上的元素以外，其余元素全为零，即 这种矩阵叫对角矩阵，简称对角阵显然，对角矩阵既是上三角矩阵又是下三角矩阵(8)单位矩阵 主对角线上元素全为的n阶对角阵，叫n阶单位矩阵，简称单位阵记为E或En，即4.2 矩阵的运算 4.2.1 矩阵相等
4、设A，B是两个同阶(即有相同的行数和列数)矩阵，若A中的每个元素与B中的每个元素对应相等，则称矩阵A与B相等，记为AB，也就是在 中，若aijbij(i1,2,m；j1,2,，n)，则有AB 4.2.2 矩阵加法 设 称A，B所有对应元素的和(或差)构成的mn阶矩阵 为A，B的和(或差)，记为CAB(或CA-B)例 设 求 AB，A-B 解 4.2.3 数乘矩阵 设k是一个常数,A=,称矩阵 为数k与矩阵A的乘积，记为kA，(-1)A记为-A 4.2.4 矩阵乘法 设A是m行s列矩阵，B是s行n列矩阵 则由元素 所构成的m行n列矩阵 叫矩阵A与B的乘积，记为CAB 例 设A=求AB与BA 解
5、由已知有 4.2.5 矩阵的转置（或转置矩阵）设矩阵 规定AT=称其为A的转置矩阵 矩阵的转置满足如下运算规则：1）(A T)TA;）(AB)T A T B T;）(kA)T kAT;）(A B)T B TAT 例 设矩阵A=求解矩阵方程(AB)T 3X2B TAT 3E2.解 因 而 (AB)T3X2BTAT3E2可化为 所以 4.2.6 逆矩阵 定义4.2 设A是阶方阵，E是阶单位阵，如存在阶方阵B，使得 ABBAE 则称B是A的逆矩阵，简称逆阵，记为A-1，即BA-1 4.3 行 列 式 4.3.1 行列式概念(1)行列式的概念 一般地，设二阶方阵 则A的行列式记作|A|，它的值定义为(
6、2)行列式按一行(列)展开拉普拉斯展开式 现讨论三阶或三阶以上的行列式的值，即要为高于二阶的行列式赋值，采用拉普拉斯(Laplace)展开法对于给定的三阶矩阵 其行列式 的值定义为 一般地，对n阶行列式|A|按第i(in)行的拉普拉斯展开式为 而按第j(jn)列的拉普拉斯展开式为(4.2)(4.3)4.3.2 行列式的性质 性质1 矩阵A的行列式|A|和它的转置矩阵的行列式|AT|相等，即 亦即 性质2 对调行列式的两行(或两列)行列式的值仅改变符号 性质3 若行列式某两行(或两列)的对应元素相同，则此行列式的值为零 性质4 行列式某行(或某列)所有元素的公因子可以提到行列式外面 推论1 若行
7、列式两行(或两列)的对应元素成比例，则此行列式的值为零 推论2 若行列式有一行(或一列)的所有元素全为零，则此行列式的值为零 性质5 行列式某一行(或某一列)各元素同乘以k(k)加到另一行(或另一列)各对应元素上，所得的行列式值不变 性质6 行列式中某一行(或某一列)的各元素与另一行(或另一列)对应元素的代数余子式的乘积之和必为零 4.3.3 行列式的计算 例 计算四阶行列式 解 拉氏展开法 其中 同理得 所以 D-(-)40 4.3.4 行列式在矩阵中的应用（1）行列式求逆矩阵）伴随矩阵 对n阶方阵Aaij，由其元素aij的代数余子式Aij按如下形式构成的矩阵A*叫方阵A的伴随矩阵(简称伴随
8、阵)(4.4)例 求矩阵A 的伴随阵A*，并计算AA*解 所以 可以证明，n阶方阵A的伴随矩阵A*具有如下性质：AA*A*A|A|E （4.5）2)逆矩阵的求法 定理4.1 设Aaij为n阶方阵，则 1)A的逆矩阵A-1存在的充分必要条件为|A|；2)（4.6）其中A*为A的伴随矩阵.例 求A 的逆矩阵A-1 解 因为 所以A-1存在，又由例26知 由定理4.1得(2)矩阵的秩 定义4.3 若A有一个r阶子式，其值不为零，而所有(r)阶子式的值均为零，或无(r)阶子式，则称矩阵A的秩为r，记为R(A)r，即矩阵A的秩就是矩阵A的不等于零的子式的最大阶数(3)非奇异方阵 定义4.4 设A是n阶方
9、阵，若矩阵A的行列式|A|，称A是非奇异方阵；若|A|，称A是奇异方阵 定理4.2 设A为n阶方阵，则以下命题等价：A可逆；A为非奇异矩阵(|A|)；A为满秩矩阵(R(A)n)4.4 矩阵的初等变换及其应用 4.4.1 矩阵的初等变换 性质1 初等变换不改变矩阵的秩.性质2 任何n阶非奇异方阵只用初等行变换就可化为n阶单位阵 性质3 任何一个矩阵Aaij mn经过若干次初等行变换总可以化为阶梯形矩阵，进而一般可以化为简化阶梯形矩阵（左上角为单位阵）4.4.2 利用初等变换求矩阵的秩 由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩这一性质，因此可借助初等变换把一个矩阵化为易于求秩的矩阵（如梯形阵）来决定原矩阵
10、的秩，举例说明.例 求下列矩阵的秩 解 为了加强对矩阵化为简化梯形阵的训练，我们均将矩阵的梯形阵进一步化为简化梯形阵.因为 R（A）=2，所以矩阵A的秩R（A）=R（A）=2.4.4.3 利用初等变换求逆矩阵 要求n阶方阵A的逆矩阵A-1，当|A|0时，只需在矩阵A右边并列排放一个与A同阶单位阵En，然后对AE仅施行初等行变换，若A已变为单位阵，则它右边就是A所要求的逆矩阵A-1，即 例 用初等变换求下列矩阵的逆矩阵(4.8)解 4.4.4 利用初等变换解矩阵方程 对矩阵方程AXB，当|A|时，其解为X=A-1B要求AXB的解XA-1B，只需对矩阵A|B施行初等行变换即可，当左半部的矩阵A化为
11、单位阵E时，右半部的矩阵B即化为要求的 A-1B，即(4.9)4.5 线性方程组解法 定理4.3 (线性方程组AX=B解的判定定理)设线性方程组AX=B，R（A）=r 1)当R（A）=R A|B时，则AX=B有解，且r=n(未知数个数).AX=B有唯一解 rn AX=B有无穷多组解.2)当R（A）R A|B时，则AX=B无解.4.5.1 当m=n时，即AnnXn1=Bn1 例 求解线性方程组 解 由解的判定定理，因本线性方程组的系数矩阵A的秩R（A）=3=n，故该线性方程有唯一解.这里采用三种方法求解.行列式法（或克莱姆法）第一步 求系数行列式值 第二步 将系数行列式D中的三个列分别用常数项代
12、替，算出下面三个行列式值 第三步 将D1，D2，D3分别除以D即得解 4.5.2 当mn时，AmnXn1=Bm1(1)若B=O，即求解齐次线性方程组AX=O，AX=O一定有零解.当R（A）=rn（未知数个数）时，则AX=O有非零解.且这无穷多组非零解，可以通过（n-r）组有限组线性无关非零解就可表出.例 求解下列齐次线性方程组 解 1）先将方程组的系数矩阵A化为简化梯形阵 将此简化梯形阵左边单位阵右边元素构成的矩阵，记为 再作新矩阵W=由W矩阵的行写成：它们就是原方程1）的两组线性无关的解，并把它们称为一个基础解系（注意：基础解系中的解组个数，刚好是方程组未知数个数n减去系数矩阵的秩R（A），
13、本例即：R（A）=4-2=2).最后，方程组1）的通解为 V=k1X1+k2X2，即 亦即 其中k1，k2为任意常数.定理4.4 (齐次方程组解的结构）设X1，X2，Xt是齐次方程组AX=O的一个基础解系，则其通解为 (4.10)其中，ki(i=1，2，,t)为任意常数.(2)当BO，即求解非齐次线性方程组AX=B AX=B的通解X为其对应齐次方程组AX=O的通解V，加上本身AX=B的任一特解U0，即 X=U0+V 例 求下列非齐次线性方程组的通解.解 方程组1）第一步 判解 先将增广矩阵化为简化梯形阵.知R（A）=R（A|B）=2，r=24=n 即rn，故方程组1）有无穷多组解.第二步 求齐
14、次方程组通解V 将简化梯形矩阵全为零的行的上方，左上角单位阵的右方，最后一列（即虚线）左方的元素构成 的矩阵记为H，即H=作出新矩阵得基础解系 于是齐次方程组通解V=k1X1+k2X2 第三步 求非齐次线性方程特解U0 由同解原理，简化梯形阵所对应的线性方程组应该与原方程组1）同解.而简化梯形阵所对应的方程组 是两个方程4个变量的方程组，其中两个变量可以任意取值，称这种变量叫独立（或自由）变量，此处，可以取x3，x4为独立变量，不妨设x3=x4=0，于是可得 从而得方程组1）的一个特解U0=第四步 得出非齐次方程组1）的通解（或称一般解）X=U0+V 即 亦即 其中，k1，k2为任意常数.4.
15、6 矩阵方法在经济分析中应用实例 4.6.1 线性规划（实例）例36 某厂下属两个车间，生产甲、乙两种产品，每种产品都必须经过第一、第二车间加工，第一车间生产每件甲、乙产品所需时间分别为8，4小时；第二车间生产每件甲、乙产品所需时间分别为2，6小时；每生产一件甲、乙产品可获得利润3 000，4 000元，现该厂一、二车间可供占用时间分别为160，60小时，如表4.4所示.试问:应如何安排生产(即生产两种产品各多少件),才能使该厂获得最大利润.解 首先,建立数学模型 设该厂生产甲、乙两种产品的产量分别为x1,x2且称x1,x2为决策变量,则问题的数学模型为 求一组变量x1,x2的值，使其满足 约
16、束条件 即 并使目标函数（即该厂所获总利润）Z=3x1+4x2 达到最大值 即该厂获得最大利润函数为 max Z=3x1+4x2 由于该类问题中的目标函数、约束条件均为决策变量x1,x2的线性等式，或线性不等式.它要求求一组决策变量，使其满足一组线性约束条件，并使一线性目标函数达到最值（最大值或最小值）.在数学中称这类问题为线性规划问题.简称线性规划（Linear Programming,简记为LP），其特定的 数学模式（表达式）称为线性数学模型，简称线性规划模型，于是本问题的形式 LP 由以上分析看出，这类线性规划问题实质是最优化问题.其次，求解线性规划 这里，只介绍用图解法来求解这一线性规
17、划问题.第一步：定出可行解域K：以x1为横坐标，x2为纵坐标，作成一平面直角坐标系，以四个约束条件的四条直线构成的凸四边形OCEB（即图中的阴影部分）叫LP的可行解域，记为K，在此K域中（含边界）任意一点所对应的坐标，均为此LP的一个解.第二步：作出目标直线并定其指向：令目标函数 中Z=0，即3 x1+4 x2=0,解出x2=-x1,即为目标直 线l0:x2=-x1,欲使目标函数Z=3x1+4x4达到最大 值，必须使目标直线l0的指向为右向上走，这样，才能使目标函数为增函数.第三步：将目标直线l0按右向上在可行解域K中平行移动到E点时，对应的Z值也就是目标函数Z=3x1+4x2在可行解域K上的
18、最大值.因而E点的坐标（x1,x2)也就是该线性规划的最优解，由图可知E点就是直线2x1+x2=40与x1+3x2=30的交点，即求解线性方程组 亦即求解矩阵方程AX=B 其中*最优解为(x1,x2)=(18,4)因此,该厂应安排甲、乙两种产品各为18件，4件时，所得利润最大.第四步：求最优值.将最优解代入目标函数Z=3x1+4x2，得最优值Z*=318+44=70（千元）.*4.6.2 投入产出法（实例）投入产出 （Input-Output）法又称部门联系平衡法，或产业间分析（Inter Industry Analysis）法，这是一种通过编制投入产出表，建立投入产出数学模型，以便研究国民经
19、济各部门，再生产各环节间数量关系的方法.所谓投入，就是指生产过程中的各种消耗（如原材料、燃料、动力和劳动力等），所谓产出，就是指生产出来的各种成果.投入产出表实质上是一张综合的棋盘式 平衡表（即矩阵表），该表可以综合反映国民经济各部门（各类产品）的投入来源与产出分配使用的去向.投入产出模型则是按照投入产出表中所反映的经济内容与经济现象间的直接联系，利用矩阵方法这一工具而建立的一个联立方程组，通过投入产出模型的运算，能反映揭示出国民经济中各部门、各方面的内在联系.由于部门繁多且各部门间产品流量相互制约，相互依赖，部门之间就形成了错综复杂的网络系统，为了便于研究其间的关系，把系统中每个部门按投入与
20、产出两个方向，并以一定的次序排成表4.5.表4.5中各量的经济意义：xi:第i部门的总产品量；yi:第i部门的最终产品量；vi:第j个消耗部门的劳动者付出必要劳动而收入的价值（工资）；mi:第j个消耗部门的劳动者的劳动为社会创造的价值（利润、税金等）；zi:第j个消耗部门的劳动者创造价值总和；xij:第j部门所消耗第i部门的产品量，或第i部门分配给第j部门的产品量，称为部门间流量.投入产出法，是以最终产品yi为经济活动目标，从经济系统的整体出发，分析各部门之间产品流入与输出的数量关系，以及再生产的综合比例，从而确定达到平衡状态的条件.从投入产出表横行来看，这个行模型它反映各部门生产和分配使用间
21、的平衡关系，即：中间产品+最终产品=总产品，从而有线性方程组 引入直接消耗系数aij,它表示第j部门生产单位产品所消耗第i部门的中间产品量，计算公式为 并称4.12 为直接消耗系数矩阵.从而有 写成矩阵形式为：AX+Y=X，合并同类项有 （En-A）X=Y （4.13）其中，（En-A）称为投入产出矩阵.在直接消耗系数aij已知的条件下，当已知各部门总产品时，由（En-A）X即可得到各部门最终产品Y.En-A的逆矩阵（En-A）-1称为列昂节夫矩阵.由（En-A）X=Y,有 X=（En-A）-1Y (4.14)当已知各部门最终产品Y时，由（En-A）-1Y,即可得出各部门总产品X.从投入产出表直列来看，这个列模型它反映的是各部门在生产中的各种消耗与总投入的平衡关系，即：物质消耗+非物质消耗=总投入（总产品）从而有线性方程组 因xij=aijxj 亦可 在直接消耗系数aij已知条件下 当已知xj时，则 (4.15)当已知zj时，则 (4.16)
