1、第四章第四章 扭扭 转转4-1 概述概述1受力特征受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。向相反的外力偶。2变形特征变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。轴轴：以扭转为主要变形的构件称为轴：以扭转为主要变形的构件称为轴。机器中的传动轴工作时受扭。钻井中的钻杆工作时受扭。Mm受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴扭转。4-2 外力偶矩、扭矩外力偶矩、扭矩直接计算直接计算1 1外力偶矩外力偶矩电机每秒输入功：电机每秒
2、输入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：)N.m(1000kPW602nMWe已知已知轴转速轴转速n n 转转/分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me e9549(N m)Pmn按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算例例4-1 传动轴如图所示，主动轮传动轴如图所示，主动轮A输入功率输入功率PA=50kW，从动轮，从动轮B、C、D输出功率分别为输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速，轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。，计算各轮上所受的外力偶矩。MAMBMCBCADMD解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩95491592N m
3、9549477.5N m9549637N mAABBCDDPMnPMMnPMn2 2扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图,0 xM由0eMTeMT得内力内力T称为截面称为截面n-n上的扭矩。上的扭矩。MeMeMeTx扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断按右手螺旋法则判断。右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向其矢量方向与截面的外法线方向相同与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为，则扭矩规定为正值，反之为负值。负值。T+T-扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。：表示沿杆件轴线各横截面
4、上扭矩变化规律的图线。目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正，为正，如果由平衡方程得到如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如为正，则说明是正的扭矩，如果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭正的扭矩画在矩画在x x轴上方，负的扭矩画在轴上方，负的扭矩画在x x轴下方。轴下方。例例 1 一传动轴如图，转速一传动轴如图，转速n=300r/min；主动轮输入的功主动轮输入的功率率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：，三个
5、从动轮输出的功率分别为：N2=150kW，N3=150kW，N4=200kW。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。扭矩图扭矩图作法：同轴力图：作法：同轴力图：一、计算作用在各轮上的外力偶矩mkN9.15mN)3005001055.9(31MmkN78.4mN)1001501055.9(332 MMmkN37.6mN)3002001055.9(34M解：解：M1 M2 M3 M4 ABCD二、分别计算各段的扭矩二、分别计算各段的扭矩mkN78.421MTm9.56kN322MMTmkN37.643 MT221133M1 M2 M3 M4 ABCDT111xM2AT2AM2 BM3 22xT333DM
6、4 x扭矩图扭矩图Tmax=9.56 kNm 在在BC段内段内M1 M2 M3 M4 ABCD4.789.566.37T 图(kNm)mkN78.41Tm9.56kN2TmkN37.63T4-3 薄壁圆筒扭转薄壁圆筒扭转薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚110R（R：为平均半径）实验：实验：实验前实验前：绘纵向线，横向线绘纵向线，横向线(圆圆周线周线)；施加一对外力偶施加一对外力偶 m。一、薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力一、薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力 实验后：实验后：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相
7、对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。结论：结论：,0000横截面上横截面上可认为切应力沿壁厚均匀分布可认为切应力沿壁厚均匀分布,且方向垂直于其半径方向。且方向垂直于其半径方向。根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；,Dt Dt acddxbdy 无正应力无正应力横截面上各点处，只产生垂横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。该截面的扭矩方向一
8、致。5 与与 的关系：的关系：LRRL 微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示：根据精确的理论分析根据精确的理论分析,当当tR/10时时,上式的误差不超过上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。是足够精确的。TARAddAdATARAdTRR222 RTR切应力的计算公式：切应力的计算公式：二、切应力互等定理：二、切应力互等定理：0 zMt dxdyt dxdy 故上式称为上式称为切应力互等定理切应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面
9、的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb dy z三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。l为扭转角为扭转角lR即lR由薄壁圆筒的扭转试验可得T22 RTlRTO 从从 T 与与 之间的线性关系，可推出之间的线性关系，可推出 与与 间间的线性关系的线性关系.该式称为材料的该式称为材料的剪切胡克定律剪切胡克定律应用条件：切应力不超过剪切比例极限应用条件：切应力不超过剪切比例极限 G 式中：式中：G是材
10、料的一个弹性常数，称为是材料的一个弹性常数，称为切变模量切变模量，因，因 无量无量纲，故纲，故G的量纲与的量纲与 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通过实验确定，值可通过实验确定，钢材的钢材的G值约为值约为80GPa。切变模量切变模量、弹性模量弹性模量和和泊松比泊松比是表明材料弹性性质的三是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。就可以推算出来。
11、)1(2EG一、圆轴扭转时横截面上的应力一、圆轴扭转时横截面上的应力几何关系：由实验通过变形规律应变的变化规律物理关系：由应变的变化规律应力的分布规律静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算公式。一）、几何关系一）、几何关系：1 1、实验、实验：4.4 圆轴扭转时的应力、强度计算圆轴扭转时的应力、强度计算2 2、变形规律：、变形规律：圆轴线圆轴线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。3 3、平面假设、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小、间距不变，半径仍为直线。4 4、定性分析横截面上的应力
12、、定性分析横截面上的应力00（1）00（2）因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。O1A25 5、切应变的变化规律、切应变的变化规律：dxddxRddxbbdxbbtg11bb1axdxGGxGGdddtg11dxRddxDDtgtgxdddxdd取楔形体取楔形体O1O2ABCD 为为研究对象研究对象微段扭转微段扭转变形变形 d D二）物理关系二）物理关系：由应变的变化规律由应变的变化规律应力的分布规律应力的分布规律PmaxG GdxdG方向垂直于半径。方向垂直于半径。弹性范围内弹性范围内三）静力学关系：三）静力学关系：dAdAdAAOdAAAxGA
13、xGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd 代入物理关系式 得：xGdd pITpGITx dd pIT横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。处任一点切应力计算公式。公式讨论：公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。面直杆。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。确定最大切应力：确定最大切应力：pIT由知：当max ,
14、2dR)2(22 maxdIWWTdITIdTpPPpp令PWTmaxWP 抗扭截面系数（抗扭截面模量），纯几何量Ip,Wp 的确定的确定：1 1、实心圆截面、实心圆截面22342012232dPAAIdAddd 3max1162PPpIIWddddOAIApd22 2、空心圆截面、空心圆截面)1(321)(321244442232DdDddAIDdAP)1(161243DDIWPpDddDOd应力分布对比：应力分布对比：（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。结构轻便，应用广泛。二、圆
15、轴扭转强度条件二、圆轴扭转强度条件强度条件强度条件：，许用切应力许用切应力；pmaxmaWTx 理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力 与许用正应力与许用正应力之间存在下述关系：之间存在下述关系：对于塑性材料对于塑性材料 (0.5一一0.577)对于脆性材料，对于脆性材料，(0.81.0)强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：设计截面尺寸：计算许可载荷：maxmaxPWTmaxTWPmaxPWT）（空：实：433116 16 DDWt例例4.2 4.2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm。扭转力偶
16、矩 MA=22 kNm，MB=36 kNm，MC=14 kNm。材料的许用切应力t =80MPa，试校核该轴的强度。解解：1、求内力，作出轴的扭矩图、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kNm）MA MBMC ACBBC段段MPa3.71mm10016mmN1014362p2max,2WTAB段段1p1max,1WT2 2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度MPa8.64mm12016mmN102236MPa80即该轴满足强度条件。即该轴满足强度条件。2214T图（kNm）例例 已知 T=1.5 kN.m，t =50 MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与
17、 a =0.9 的空心圆轴。解：解：1.确定确定实心圆轴直径实心圆轴直径 316dT 316 Td mm 54 d取取：m 5350.0Pa)10(50)mN101.5(16363 max 163maxdT 2.确定空心圆轴内、外径确定空心圆轴内、外径)1(161643DT mm 3.76)1(1634TDmm7.68 Dd mm 68 mm 76 dD，取：取：3.重量比较重量比较%5.394)(4222ddD结论：空心轴远比实结论：空心轴远比实心轴轻心轴轻43p116DW一、圆轴扭转变形：（相对扭转角）一、圆轴扭转变形：（相对扭转角）dxGITdGITdxddxdGITPPP4.5 圆轴扭
18、转时的变形及刚度计算圆轴扭转时的变形及刚度计算LPGITdx知：长为知：长为 l一段杆两截面间一段杆两截面间相对扭转角相对扭转角 为0d d lppTTlxGIGI 对于阶梯轴，两端面间相对扭转角对于阶梯轴，两端面间相对扭转角 为为 1nipiiiGIlT扭转角：单位：弧度（扭转角：单位：弧度（radrad）。）。GIGIP P抗扭刚度。表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。抗扭刚度。表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。注意：注意：“T”T”代入其代入其“、”号号单位扭转角单位扭转角 ：d (rad/m)dpT xGId180 (/m)dpTxGI或二、刚度条件：二、刚度条件：PGITmaxmax 0max
19、max180PGITm0三、刚度计算：三、刚度计算：1、校核刚度；2、设计截面尺寸；3、确定外荷载。max max GT Ip max Mpe TGI-许可单位长度扭转角，可以参考机械设计手册许可单位长度扭转角，可以参考机械设计手册精密机器轴：精密机器轴：=0.15=0.150.30.3（o o）/m/m一般传动轴：一般传动轴：=1=1o/mo/m 例例 传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率P1=400kW，从动轮B，C 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。(1)试确定AB 段的直径d1 和BC 段的直径d2；(2)若A
20、B和BC 两段选同一直径，试确定直径d；(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?1eMACB2eM3eM1d2dnPMe119549mN76405004009549mN306040016012eeMMmN458040024013eeMM解：解：1.1.外力外力 2.2.扭矩图扭矩图 mm2.82m102.821070764016 1633631Td按刚度条件按刚度条件 mm4.86m104.8611080180764032180323429421GTd3.3.直径直径d d1 1的选取的选取 按强度条件按强度条件 mN7640mN4580 mm4.861d1eMACB2eM3eM1d2d 3
21、1max16dT1803241maxdGT 按刚度条件按刚度条件 4.4.直径直径d d2 2的选取的选取 按强度条件按强度条件 1eMACB2eM3eM1d2dmN7640mN4580 mm3.69m103.6910704580161633632Tdmm76m107611080180458032180323429422GTdmm762d 5.5.选同一直径时选同一直径时mm4.861 dd 6.6.将主动轮装在两从将主动轮装在两从动轮之间动轮之间1eMACB2eM3eM1d2dmN7640mN4580 2eMBCA1eM3eM1d2d受力合理受力合理mN3060mN4580 解扭转超静定问题
22、的步骤：解扭转超静定问题的步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：把物理方程（力与变形的关系）代入几何方程补充方程：把物理方程（力与变形的关系）代入几何方程得；得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。4.6 简单超静定轴简单超静定轴超静定轴超静定轴：轴的未知力偶矩的数目多于有效平衡方程的数目：轴的未知力偶矩的数目多于有效平衡方程的数目 例例 长为 L=2 m 的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，外径 D=0.0226 m，G=80 GPa，试求：固定端的反力偶。解：杆的受力图
23、如图示，杆的受力图如图示，这是一次超静定问题。这是一次超静定问题。平衡方程为：02mmmBA几何方程：0BA 力的补充方程力的补充方程：040220)(200PAPALPBAGImdxGIxmdxGIxTmN 20 Am 由平衡方程得由平衡方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。mN 20Bmx4-7 非圆截面杆的扭转非圆截面杆的扭转非圆截面等直杆：非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲成空间曲面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。非圆截面杆扭转的研究方法：弹性力学的方法研究弹性力学的方法研究非圆截面杆扭转的分类：1 1、自由扭转（纯扭转），、自
24、由扭转（纯扭转），2 2、约束扭转、约束扭转。自由扭转自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸），：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸），任意两相邻截面翘曲程度相同。任意两相邻截面翘曲程度相同。约束扭转约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘 曲程度不同。曲程度不同。bhT3tIhb maxmax tmaxWT tGITl max 2thbW 3t31 hI 2t31 hW h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.00.2080.2190.2310.2460.2560.2670.2820.2990.30
25、70.3130.3330.1410.1660.1960.2290.2490.2630.2810.2990.3070.3130.3331.0000.9300.8580.7960.7670.7530.7450.7430.7430.7430.743一、切应力流的方向与扭矩的方向一致。一、切应力流的方向与扭矩的方向一致。二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（a），厚），厚 度中点处，应力为零。度中点处，应力为零。4.8 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（b b），同），同 一厚度处，应力均匀分布。一厚度处，应力均匀分布。四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的切应力计算，在（四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的切应力计算，在（c c）图上取）图上取 单元体如图（单元体如图（d d）。）。图（c）d x 2 1 1 2图（d）2211 d d ;0 xxX常量2211 minmax2T22)(ddsT积。为厚度中线所包围的面 21dds
