1、中学八年级数学上（第十五单元）分式的运算分式的乘除义务教育数学课程标准（2022年版）微能力2.0认证-中小学作业设计大赛目 录作业设计方案撰写：TFCF优秀获奖作品3初中数学单元作业设计第十五章 分式一、单元信息基本信息学科年级学期教材版本单元名称数学八年级第一学期人教版分式单元组织方式自然单元课时信息序号课时名称对应材料内容1从分数到分式15.1.1(P126-129)2分式的基本性质15.1.2(P129-130)3分式的基本性质通分15.1.2(P130-132)4分式的运算分式的乘除15.2.1(P135-138)5分式的运算分式的乘方15.2.1(P138-139)6分式的运算分式
2、的加减15.2.2(P139-142)7整数指数幂15.2.3(P142-145)8科学记数法15.2.3(P145-146)9分式方程15.3.1(P149-152)10分式方程的应用15.3.2(P152-154)二、单元分析(一)课标要求1.了解分式的概念，分式有意义的条件. 类比分数的基本性质，了解分式的基本性质， 能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念.2.能进行简单的分式加、减、乘、除、乘方运算.既有分式的基本运算，也有指 数概念的扩充以及对指数运算性质的进一步研究.3.能解可化为一元一次方程的分式方程，能根据具体问题中的数量关系列出方程. 并根据具体问题的实际意义
3、， 检验方程的解是否合理.课标在“知识技能”方面指出：类比分数来学习分式的概念及分式的基本性质； 掌握分式乘除、乘方、加减运算.在“数学思考”方面指出：类比和转化的思想.在“问题 解决”方面指出：能建立数学模型，找出等量关系，运用分式来解决实际问题. 在“情感态 度与价值观”方面指出：在生活实例中发现问题，探究问题，解决问题.让学生体会分式与实1际生活的紧密联系.(二)教材分析1.知识网络2.内容分析速度 .本章引言从行程问题入手， 时间=路程 告诉我们将类比分数学习分式， 解一些分式方程， 并利用分式的知识解决一些实际问题.开始学习分式的概念， 是从长方形的宽= 长a ，圆柱形容器的水面高度
4、=底面积S 入手， 类比分数的形式 B 归纳出分面积S 体积V A式的概念.进一步思考分数有意义， 分母不为零； 那么分式有意义， 分母也不能为零. 分式的基本性质是类比分数的基本性质得出的；分式的约分、通分是类比分数的约 分、通分得出的；分式的乘除法法则是类比分数的乘除法法则得出的；分式的加减 法法则是类比分数的加减法法则得出的.所以分式的概念、性质、运算法则都是通过 类比的思想一步步完成.本章教材的重点就是通过类比分数学习分式.分式的乘方是 在学习了乘方的意义和分式的乘法法则基础上得出结论.学习了分式后， 对指数的认 识会有新发展.当指数的取值范围从正整数推广到全体整数， 十四章提到的运算
5、性质 也推广到整数指数幂.那么科学记数法也不再只适用于较大的数， 对于一个小于 1 的 正小数也可以用科学记数法来表示.分式方程就是分母中含有字母的方程， 解分式方 程是通过“去分母”将分式方程转化为整式方程， 是转化的思想.但转化过程中可能2产生增根， 所以分式方程的解要检验.解决实际问题， 有时需要列、解分式方程， 通过分析情景中的数量关系、等量关系，列出分式方程进而求解.(三)学情分析从学生的认知规律看：类比之前学习的分数，能快速让学生掌握分式的概念以及分式 基本性质.但运用分式的基本性质来处理分式乘除、乘方、加减的运算有难度.学生容易在 计算过程中出现错误.从学生的学习习惯、思维规律看
6、：八年级(上) 的学生具有一定的分析和类比的能力， 能体会从数到式的发展过程.但要使学生掌握基本运算法则，并达到比较熟练、灵活的程 度就有一定的困难.特别在混合运算当中，需要有耐心和细心.因此，本单元的学习难点是： 熟练运用计算法则和在实际问题中，建立数学模型，运用分式方程解决问题.三、单元学习与作业目标 1.了解分式的概念、分式有意义的条件，运用分式基本性质进行化简. 2.对分式的乘除、乘方、加减及混合运算能熟练掌握.整数指数幂及科学记数法可以 熟练运用.3.会列出分式方程， 解分式方程.在实际问题中能建立数学模型， 运用分式方程解决 问题.四、单元作业设计思路分层作业设计， 每课时都按照：
7、 基础性作业、发展性作业， 进行分层设计.基础 性作业面向全体学生，按照课标要求设计(4-6 题)；发展性作业体现探究、学科融 合(2-3 题) .五、课时作业第一课时(15.1.1 从分数到分式)作业 1 (基础性作业)1.作业内容(1)下列是分式的式子是( ) .A B C D (2)下列不是分式的是( ) .3A. B. C. D.3x(3)长方形的面积为S ，长为 x1，则宽为 ，O在上述表示面积、长、宽的代数式中，分式有 ； x 的取值范围是 (4)若整数m 使为正整数，则m 的值为 .(5)当x 满足什么条件时，下列分式有意义？4 ； ；2.时间要求(10 分钟) 3.评价设计 2
8、 ； x x 1 (x+1)(x1)作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程 错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评 价 为 B 等其；余情况综合评价为 C 等。4.作业
9、分析与设计意图本课时的主要知识点包括分式的定义、分式有无意义的条件、分式的值为零 的条件.通过第(1)、 (2)两题加强学生对分式定义的掌握，尤其第(1)题中“ ”是干扰选项，实现反例的补正作用，让分式的概念在学生脑海里扎根.第(3)题，从x + 2b同学们熟悉的长方形面积入手，引出宽的表达式，帮助学生更好的认识到我们所 学习的分式与日常生活息息相关.第(4)题主要考查学生正约数， 以分式的形式进 行考察，题目有难度，学生有挑战.第(5)题针对分式有无意义的条件按难度设置 ，层层递进，注重数学思想方法的渗透， 同时也为后期函数的定义域的学习打下 基础.作业 2 (发展性作业)1.作业内容(1)
10、当x 为何值时，下列的分式的值为零？O ； ； (2)已知x = 1时，分式 无意义； x = 4 时，分式的值为0 ，求 a+ b 的值 x a(3)分式不论x 取何实数总有意义，求a 的取值范围. 2.时间要求(10 分钟)3.评价设计作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程 错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有
11、创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评 价 为 B 等其；余情况综合评价为 C 等。54.作业分析与设计意图第(1) 题考察了分式的值为零的条件， 题目难度也是层层递进， 学生做题时既 要考虑分子的值为零， 又需要考虑分母的值不为零.注重数学运算， 数学思想方法的 渗透，培养学生逻辑推理的素养.第(2)题也是综合考察了分式有意义及分式的值 为零的情况，进而进行代数式的求值，出题形式不同，培养了学生分析和解决问题 的能力.第(3)题既考察了分式有意义的条件， 又涉及到完全平方的非负性.
12、既是对旧 知的巩固，也是为解一元二次方程配方法的学习打下基础.第二课时(15.1.2分式的基本性质)作业 1 (基础性作业)1.作业内容(1)下列各式与不一定相等的是( ) .63aA.3ba + 2B.b + 2- a C. 0.25b(m2 +1)aD.(m2 +1)b(2)下列约分中，正确的是( ) .A. = x4 B. = C. = 0 D. = 1(3)不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数不含有负号：O - 2x = ； 2x - 1 = ； - x1 = . y x +1 x 3x+1(4)把下列分式化成最简分式.O ； ； .(5)先化简，再求值:，其中x = 2
13、，y = 3 .x2 2xy + y2y x2.时间要求(10 分钟)3.评价设计作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程 错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评 价 为
14、 B 等其；余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图本节课的主要知识点包括分式的基本性质、分式的符号法则、分式的约分与最 简分式.知识点虽多，但都是围绕分式的基本性质.第(1)、(2) 题主要考查学生对 分式基本性质的掌握.分子分母的形式变化也由单项式变到多项式， 加强学生对分式 性质的理解， 第(3) 题是探究分式变号法则， 涉及到的变换在分子符号、分母符号 和分子分母的符号，从而帮助学生更好的掌握符号法则.第 (4)题考察最简分式的 相关内容， 第(5) 题既考察了上一单元的因式分解相关内容， 又考查了分式分子分 母同除以一个不为零的整式，分式的值不变，化简过后代入求值得解.作业
15、2 (发展性作业)1.作业内容(1)若 = x 1 ,则x 的取值范围是( ) .A.x 0且x 1 B.x 1 C.x 0且x 1 D.x 1(2)阅读材料：7已知x = y = z 0 ，求 x + y 一 z 的值.3 4 5 x 一 y + z3 4 5x+ y 一 z 3k + 4k 一 5k 2k 1解：设 x = y = z = k (k 0) ,则x = 3k, y = 4k, z = 5k.所以 = = =x 一 y + z 3k 一 4k + 5k 4k 2 .模仿材料解题：已知x: y: z = 2 : 3: 4 ,求 的值.2.时间要求(10 分钟)3.评价设计作业评价
16、表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程 错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评 价 为 B 等其；余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图第(1)题既是分式基本性质的运
17、用，也是回顾绝对值相关知识，需要学生挖 掘“ x+1 x 0 ) ,若在分式的分子分母上同时加上一个正数m ,分式 的值会发生变化吗？下面是三位同学的回答：10小明说：根据分式的基本性质，分式的值不变.小李说：在分子分母上同时加上相同的正数m ，分子分母不是扩大相同的倍数，所 以分式的值会发生改变.小兰说： 我们知道， 在水中加入的糖越多， 糖融化后， 糖水就越甜， 将x kg 的糖加入水中配制成y kg 的糖水( y x 0 ),此时糖水的含糖量为 .如果再加入m kg 的 糖( m 0 ) ,糖全部溶解后糖水的含糖量变为 .我们知道，加糖后糖水的含糖量变大，糖水更甜.因此，由生活常识我们知
18、道 x 0 ,m 0 ) .请你判断这三位同学的说法是否正确，并简要说明理由.2.时间要求(10 分钟)3.评价设计作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程 错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；AB
19、B、BBB、AAC 综合评 价 为 B 等其；余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图：第(1)题考查了最简公分母的确定， 本题对第二个分式的转化是解题的关键， 需 要学生细心观察， 仔细分析。第(2)题考查了通分， 用到的知识点是分式的基本性质，11b2 b ab d a db关键是找出分式的最简公分母。第(3)题题设中三位学生的回答是从不同角度来判断 该分式的值是否发生变化.小明、小李利用分式的基本性质进行判断， 小兰则是从生 活常识中得出结论， 有说服力.要分析三位学生回答是否正确， 需要学生熟悉分式的 基本性质，同时也让大家体会数学结论是从生活中来到生活中去.第四课时(15.2
20、.1 分式的运算-分式的乘除) 作业 1 (基础性作业)1. 作业内容(1)计算 4a 的结果是( ) .3b 2aA. B. C. D.2 2 4b 1 3a 3a2 3a 2a(2)计算 x 一 1 的结果是( ) .x x 一 1A. B. C. x 1一 1 D. - x 1一1(3)下列计算正确的是( ) .12A. =a 2 b3 b3b5 . a5 a3B. = c . b ac5b 8a3 4a2a2 5b bC. . 2 = 2b 1 ba . a aD. a . =(4)计算 (a2 + ab) 的结果是( ) .A.a2 + b B.(a + b)2 C.a2 D.a(5
21、)已知 3a 一 b+1+ 2a 一 b = 0 ，求 ( ) 的值.a + b a + b a 一 b2.时间要求(10 分钟)3.评价设计作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程 错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB
22、 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评 价 为 B 等其；余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图本节课的主要知识点包括分式的乘、除法.第(1)题设计先由简单的分子分母 中只含单项式的分式乘法入手，第(2)、(3)题逐步提升难度，扩展到分子分母中 含有多项式的乘、除.题目难度循序渐进， 学生在逐步适应题目难度变化的过程中提 升自己的运算素养和运算能力.第(5)题的设计中加入对前面学的绝对值的非负性 和二次根式的非负性的考察.利用非负性求出a, b 的值，进而带入要化简的式子求值.作业 2 (发展性作业)1.作业内容(1)先化简，再求值. . ，并在 2,3, 3, 4 这
23、四个数中取一个 合适的数作为a 的值带入求值.(2)阅读下面的解题过程：已知： = ，求 的值.解：由 = 知x 0 ，所以 = 4 ，即 x + = 4 .13所以 = x2 + = (1+ )2 一 2 = 42 一 2 = 14 .故 的值为 .该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：已知： x2 一 x +1 = ，求 的值.2.时间要求(10 分钟)3.评价设计作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程 错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案
24、正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评 价 为 B 等其；余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图第(1)题考察了分式的化简及分式有意义的条件.第(2)题学生通过阅读资料了 解倒数法， 然后运用倒数法进行计算.学生运用类比的思想解决问题， 同时也学会了 一种新的解题方法.学生的数学思维能力在潜移默化中得到提升.第五课时(15.
25、2.1 分式的运算-分式的乘方) 作业 1 (基础性作业)1. 作业内容14(1)计算(| - a )|2 的结果是( ) .3b )15a2 A.-9b2a2 B.9b2a2 C.-6b2a2 D.6b2(2) 计算()3 的结果是( ) .A. B. C.- D.-6y3 8y3 6y3 8y3x3 x3 x3 x3 (3)计算 (- )2 的结果是( ) .A. B. C. D.x 2 + y2 x 2 + y2 (x + y)2 (x + y)29x2 6x2 9x2 6x2 (4)下列计算正确的是(A.m 政 n . = mC.m . n 政 m . n = 1) .B. 政 m .
26、 m 政 = 1 3 1 2D.m 政 政 m = 1 m(5)计算 (- )2 政 的结果是( ) .A. B.- C. D.- (6)计算：O()2 . ()3 . (a2 - b2 ) ； (- )2 . (- )3 政 (- )2 .2.时间要求(10 分钟)3.评价设计作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程 错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意
27、和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评 价 为 B 等其；余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图本节课的主要知识点包括分式的乘方，分式的乘、除、乘方混合运算.第(1)、 (2)两题考查分式的乘方及性质符号判断.第(3)题涉及到的知识点是积的乘方， 同时 需要学生正确判断分母中两个单项式之间是加法运算，不属于积的乘方运算.第(4) 题考查乘、除混合运算，掌握运算顺序是关键.第(5)题考查分式乘方运算与分式除 法运算，包括结果需要对分式进
28、行约分，得出最简分式.第(6)题的解决需要学生熟 悉运算法则和运算顺序,是综合能力的体现.作业 2 (发展性作业)1.作业内容(1)先化简，再求值2 政 . , 其中x = 2.(2)在同学们学习了分式以后，老师给出了这样一道题：计算(a+ )(a2 + )(a4 + )(a8 + )(a16 + )(a2 - 1) .同学们感到不知从哪里下 手，小李同学讲a2 - 1 变形为a(a - ) ，然后用平方差公式就可以轻松得出结论.你能得出结论吗？2.时间要求(10 分钟)3.评价设计16x D. x 1D. x +1x 作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。
29、B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程 错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评 价 为 B 等其；余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意第(1)题考查了分式的乘方、乘、除混合运算。通过练习，培养学生运算习惯， 提升运算能力。第(2)题
30、解题的突破口是变形， 怎么变形， 将哪个式子变形， 为什么 要这样变形.这些问题是学生看懂小李同学变形的关键.既是学生对平方差公式的合 理应用，也是学生对因式分解知识的提升.第六课时(15.2.2 分式的运算-分式的加减)17作业 1 (基础性作业)1. 作业内容(1)计算 的结果是( )a 1 1 a 1 aA. B. C.-1 a 1 a 1(2)计算 的结果是( )- 2 x +11 + a a A. 2 B.x1 C. -x 1 x 1(3)计算1 - 的结果是( )1 1x +1 xA.0 B. C.D.2(4)计算 x y+ 的结果是( )A. B. C.x y D.x+ y(5)
31、已知 x3 x 2 = 0 ，求 的值.2.时间要求(10 分钟)3.评价设计作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过 程 错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评 价 为 B
32、 等其；余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图本节课的主要知识点包括同分母分式的加减、异分母分式的加减.第(1)题考 查同分母分式的减法， 运用法则完成计算,同时关注结果是否为最简分式.第(2)题异 分母分式相减， 先通分再计算.而通分需要找到最简公分母.第(3)、(4) 两题也是异 分母分式加、减运算， 难度逐步攀升.学生需要有耐心和细心.第(5)题考查异分母分 式相减，代入求值又需要学生熟练使用整体代入的思想.作业 2 (发展性作业)18a b 4x 1.作业内容(1)化简求值：O如果 + = ，那么 a, b的值分别是多少？2x+ 3y 2x 3y 4x2 9y2已知 + = 5(a b), 求 的值.(2)我们知道， = 1 - ， = - ， = - ， = - ，.那么： 1 = n . (n+1) .利用上面的规律解答下列各题：O
