1、大家好大家好1.5 函数的极限():nxf n,n ()?nxf nA(),“”()?f xxf x函数极限的一般概念：定义在区间上的函数当自变量在区间上 连续地 变化时，函数是否无限接近某一常数1).自变量趋于无穷大时函数的极限；2).自变量趋于有限值时函数的极限。函数极限讨论的两类问题：1.自变量趋向无穷大时函数的极限1).x .xx沿 轴正向趋于无穷大x自变量 趋于无穷大包括三种情况：2).x 3).x .xx沿 轴负向趋于无穷大.xx沿 轴正向和负向都趋于无穷大1（）x时,函数极限的定义：x 当时，()f xA函数无限接近某个常数，().Af xx 称 为函数在时的极限1.(),).y
2、f xaA定义 设是区间上的函数，是一个常数lim(),()()xf xAf xAx 记作 或 0,若对于任意给定的|()-|f xA恒有：成立，XxX存在一个正数，使得当时，()Ayf xx 则称常数 为函数当时的极限.lim()0,xf xA 0,XxX当时，|()|.f xA恒有X定 义:()yf x几何解释:AX,(),2.xXyfxyA当时函 数图 形 完 全 落 在 以直 线为 中 心 线宽 为的 带 形 区 域 内Olim()xfxA 的几何意义：AxyA+11.lim0.xx例 证 明0,证 明：1X取，xX则 当时 恒 有10,x+1lim0.xx故0,0,XxX当时，1|0
3、|.x恒有11|0|,xx要使，即1x只要即可。1X因此，取。+sin(1)lim0.xxx+(2)lim0.xxe+(3)lim arctan.2xx2（）x时,函数极限的定义：x 当时，()f xA函数无限接近某个常数，().Af xx 称 为函数在时的极限2.()(,.yf xbA定义 设是区间上的函数，是一个常数lim(),()()xf xAf xAx 记作 或 0,若对于任意给定的|()|f xA恒有：成立，XxX 存在一个正数，使得当时，()Ayf xx 则称常数 为函数当时的极限.()yf x几何解释:AX,(),2.xXyfxyA 当时函 数图 形 完 全 落 在 以直 线为
4、中 心 线宽 为的 带 形 区 域 内Olim()xfxA 的几何意义：AxyAsin(1)lim0.xxx(2)lim0.xxe(3)lim arctan.2xx 3x （）时,函数极限的定义：x 当时，()f xA函数无限接近某个常数，().Af xx 称 为函数在时的极限3.()(,).yf xbaA定义 设是区间上的函数，是一常数lim(),()()xf xAf xAx 记作 或 0,若对于任意给定的|()|f xA恒有：成立，X存在一个正数，()Ayf xx 则称常数 为函数当时的极限.|xX使得当时，()yf x几何解释:AX|,xX当时Olim()xfxA 的 几 何 意 义：A
5、xyAX(),2.yfxyA函 数图 形 完 全 落 在 以直 线为 中 心 线宽 为的 带 形 区 域 内lim()lim()lim().xxxfxAfxAfxA 当且仅当且lim()xfxA 若，Ay()yAyfx则是的水平渐近线.1(1)lim0.xx sin(2)lim0.xxx(3)lim arctan.xx 不 存 在01).xx 00.xxx趋于正（或加）0 xx自变量趋于有限值包括三种情况：02).xx 03).xx 00.xxx趋于 负（或减）0.xx趋于01x（）x时,函数极限的定义：0 xx当时，()f xA函数无限接近某个常数，0().Af xxx称 为函数在时的极限2
6、.自变量趋于有限值时函数的极限0lim().xxf xA记作：21lim2xx考察极限211lim=22xxxyo122xy 1212121-1+0|1|x04()()yf xxA定义定义：设函数在点的某去心邻域内有定义，是常数，0,若0,|()|f xA恒有成立，0()Af xxx则称 为函数当 趋于的极限，0lim()xxf xA记作0()().f xAxx或00|xx使得当时,xyo0 x()yf xAAA0 x0+x00|xx04()()yf xxA定义定义：设函数在点的某去心邻域内有定义，是常数，0,若0,|()|f xA恒有成立，0()Af xxx则称 为函数当 趋于的极限，0li
7、m()xxf xA记作0()().f xAxx或00|xx使得当时,2112.lim2.1xxx例 用 定 义 验 证0,证 明：210,0,0|1|,|2|.1xxx使得当时 恒有222112221|2|1|111xxxxxxxxx,=.取=,取0|1|x则当时，21|2|1|1xxx恒有：，211lim2.1xxx因 此223.lim4.xx例 用 定 义 验 证0,证 明：20,0,0|2|,|4|.xx使得当时 恒有2|4|(2)|(2)|xxx,=min1,.5取m in1,5取0|2|x则当时，2|4|2|-2|2|5xxxx 恒有：，22lim4.xx因此|2|1,x 限定13x
8、|2|5.x|(2)|5x.|2|.5x0(1)lim sin0.xx0(2)lim cos1.xx0(3)lim1.xxe33(4)lim.xaxa(5)lim(0).xaxaa004 lim()0,0,0|()|xxf xAxxf xA 定义：使得当时,恒有成立.0 xx00|xx0 xx00 xx0 xx00 xx05()yf xxA定义：设函数在点的某左邻域内有定义，是常数，0,若0,|()|f xA恒有成立，0()Af xx则称 为函数在点的左极限，0lim()xxf xA记作0()()f xAxx或00 xx使得当时,0()f xA或0(0)f xA或06()yf xxA定义：设函
9、数在点的某右邻域内有定义，是常数，0,若0,|()|f xA恒有成立，0()Af xx则称 为函数在点的右极限，+0lim()xxf xA记作+0()()f xAxx或00 xx使得当时,+0()f xA或0(+0)f xA或+04.lim1.xxe例 用 定 义 验 证0|1|1,xxxee证明因为当时，1xe 由ln(1),x0ln(1),因此，取00 xx则当时，|1|1.xxee总有+0lim1.xxe所 以，0001lim()lim()lim()xxxxxxf xAf xAf xA定理的充要条件是且00(1)(),()f xxAf xxA若在点 处极限存在，等于则在 的左、右极限都存
10、在且都等于；00(2)()()f xxf xx若在点 处的左、右极限有一个不存在，或者都存在，但不相等，则在 处无极限.,05.()0,0 xxf xxxx例 ，讨论时，函数极限的存在性.00.lim()lim()0,xxf xx解 00lim()lim0,xxf xx0lim()0,xf x因此，06.lim.xxx例 讨 论的 存 在 性yx11 o00limlimxxxxxx解左右极限存在但不相等,0|lim.xxx所 以，不 存 在0lim(1)1x 00limlimxxxxxx0lim 11x21,17.(),lim().,1xxxfxfxxx例 已 知求1lim()xfx解左右极限
11、存在且相等,1lim()1xfx所 以，1lim()xfx1lim1xx21lim1xx3.函数极限的性质2lim()f x定理（极限的唯一性）若存在，则极限值唯一。003()()()0,|()xxf xf xxxf xXxXf x 定理（局部有界性）若当时，有极限，则在点 的某去心邻域内有界；若当时，有极限，则存在 当时，函数有界。3.函数极限的性质004lim(),0(0),()0()0);xxf xAAAxf xf x定理（保号性）设若或则在 的某去心邻域内，有或005()0()0);lim(),0(0).xxxf xf xf xAAA定理（保序性）若在 的某去心邻域内，有或且则或000
12、06()()()lim()lim(),lim().xxxxxxxg xf xh xg xh xAf xA定理（夹逼定理）若在 的某去心邻域内，有:且则8.01lim0.xxaa 例 证 明：当时，nx证 明设+101,nxnaaaa因 为有1nxn则，+xn 由 于1limlim0nnnnaa 且1limlim0 xxxxaa 即lim0.xxa 由 夹 逼 定 理，所 以子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)000121.(,)(),.(),(),(),(),().nnnnxa axxxxanxafxfxfxfxfxxa 定 义设 在 过 程可 以 是或中，有 数 列使 得时则 称 数 列即
13、为 函 数当时 的 子 列7.lim(),()(),lim().nxannfxAfxfxxafxA 定 理若数 列是当时 的 一 个 子 列 则 有0lim sin0,xx已 知函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.100,nnxnxn 取，满 足时，sin()sin0,nxxx 则 数 列就 是 函 数当时 的 一 个 子 列1lim sin()0.nn 即，xy1sin 01lim sin.xx例 9.证 明不 存 在1,nxn证 明：取lim0nnx，0nx且；1122nxn取，lim0,0;nnnxx 且1lim sinlim sin0,nnnnx 而11lim sinlim sin(2)12nnnnx 01lim sin.xx二 者 不 相 等，故不 存 在
