1、绝对误差相对误差绝对误差相对误差不同的置信区间有不同的置信概率不同的置信区间有不同的置信概率 置信区间置信区间的表示的表示或其它误差形式或其它误差形式表达表达平均值的标准偏差平均值的标准偏差平均值的算术平均偏差平均值的算术平均偏差可以用可以用误差误差标准误差标准误差算术平均误差算术平均误差都称为都称为绝对误差绝对误差都称为都称为绝对偏差绝对偏差残差残差标准偏差标准偏差算术平均偏差算术平均偏差平均值的标准差平均值的标准差平均值的算术平均偏差平均值的算术平均偏差由于真值不可知，因此应用中由于真值不可知，因此应用中常把偏差说成是误差常把偏差说成是误差则是则是相对误差相对误差绝对误差与真值的比值绝对误
2、差与真值的比值相对偏差相对偏差绝对偏差与近真值的比值绝对偏差与近真值的比值是是以直观报道测量精度以直观报道测量精度 常用百分数表示常用百分数表示常把相对偏差说成相对误差常把相对偏差说成相对误差 相对误差能直观报道测量精度相对误差能直观报道测量精度举例举例某一物理量的一组测量某一物理量的一组测量结果的绝对误差是结果的绝对误差是0.05mx1=0.05mx2=1m测篮球直径测篮球直径 测地球直径测地球直径 另一物理量的一组测量另一物理量的一组测量结果的绝对误差是结果的绝对误差是1m 但不一定是后者的测量精度低但不一定是后者的测量精度低这要看相对误差情况这要看相对误差情况 因此因此,相对误差也是测量
3、结果相对误差也是测量结果所要报道的一个内容所要报道的一个内容 指测量不计系统误差指测量不计系统误差并且测量数据的误差分布并且测量数据的误差分布符合统计规律符合统计规律我们只要求掌握高斯分布我们只要求掌握高斯分布近真值近真值绝对误差绝对误差相对误差相对误差置信概率置信概率测量次数测量次数因此报道测量的统计结果因此报道测量的统计结果必须包含的相关信息是必须包含的相关信息是测量的统计结果测量的统计结果具体表达形式为具体表达形式为 公认值公认值 or采用不同的绝对偏差报道形式采用不同的绝对偏差报道形式测量的统计结果表示的方法不一样测量的统计结果表示的方法不一样 1.用测量列用测量列平均值的标准偏差平均
4、值的标准偏差作为作为绝对误差报道测量结果的表达形式绝对误差报道测量结果的表达形式意义意义真值落在真值落在 到到的概率为的概率为68.3 注注这种结果表达形式最通用这种结果表达形式最通用置信概率置信概率P0.683可以省略可以省略 即即结果表式中结果表式中没注明置信概率没注明置信概率,则绝对误差则绝对误差 是用平均值的标准差表示的是用平均值的标准差表示的 其中其中2.用测量列用测量列平均值的算术平均偏差平均值的算术平均偏差 作为绝对误差报道测量结果的表达形式作为绝对误差报道测量结果的表达形式 其中其中 意义意义 真值落在真值落在 到到的概率为的概率为57.5 从从置信概率置信概率P0.575可知
5、可知,绝对误差绝对误差是用平均值的算术平均偏差表示的是用平均值的算术平均偏差表示的 注注3.用测量列的用测量列的标准偏差标准偏差 作为绝对误差报道测量结果的表达形式作为绝对误差报道测量结果的表达形式 其中其中 意义意义 n次测量得到次测量得到n个数据个数据,有有68.3落在落在 到到 范围内范围内 有有测量次数和置信概率测量次数和置信概率P0.683，便知便知绝对误差是指测量列的标准偏差绝对误差是指测量列的标准偏差 注注4.用测量列的用测量列的算术平均偏差算术平均偏差 作为绝对误差报道测量结果的表达形式作为绝对误差报道测量结果的表达形式 意义意义其中其中 n次测量得到次测量得到n个数据个数据,
6、有有57.5落在落在 到到 范围内范围内 有有测量次数和置信概率测量次数和置信概率P0.575，便知便知绝对误差是指测量列的算术平均偏差绝对误差是指测量列的算术平均偏差 注注比如比如用极限误差表示置信区间用极限误差表示置信区间除了以上四种表达测量结果的形式外除了以上四种表达测量结果的形式外还有其它多种还有其它多种则则置信概率就应该写为置信概率就应该写为 P0.997以上多种结果表达形式以上多种结果表达形式本质上是一致的本质上是一致的 不管用哪种形式报道测量的统计结果不管用哪种形式报道测量的统计结果都是设想都是设想随机误差分布服从高斯分布随机误差分布服从高斯分布因此因此目前第目前第1种报道方式比
7、较普及种报道方式比较普及即即用平均值的标准偏差用平均值的标准偏差表示绝对误差表示绝对误差置信区间置信区间这样，这样，置信概率置信概率 P=0.683 可以省去可以省去 较普及的较普及的报道方式报道方式 举例举例测量长度测量长度L的原始数据如表的原始数据如表0-2 不计系统误差，对一物理量实现多次等精不计系统误差，对一物理量实现多次等精度测量，应用度测量，应用格罗布斯格罗布斯准则剔除粗差，并准则剔除粗差，并报道测量的报道测量的(统计统计)结果结果结果表式举例近真值近真值 标准偏差标准偏差=98.328cm=0.227 cm 为了应用格罗布斯准则剔除粗差为了应用格罗布斯准则剔除粗差需计算需计算和和
8、nnn格罗布斯格罗布斯系数表系数表GnGnGn3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 22 25 301.15 1.46 1.67 1.82 1.94 2.03 2.11 2.18 2.23 2.28 2.33 2.37 2.41 2.44 2.48 2.50 2.53 2.56 2.60 2.66 2.74 n=10，Gn=2.18 近真值近真值 标准偏差标准偏差 98.328cm 0.227 cm 为了应用格罗布斯准则剔除粗差为了应用格罗布斯准则剔除粗差需计算需计算和和n=10，Gn=2.18=97.833cm=98.823 cm 可见，第
9、可见，第7次测量数据次测量数据超出超出(97.833,98.823)cm 范围范围应当剔除应当剔除98.328cm 0.227 cm n=10，Gn=2.18=97.833cm=98.823 cm 可见，第可见，第7次测量数据次测量数据超出超出(97.833,98.823)cm 范围范围应当剔除应当剔除剔除粗差后剔除粗差后,n9,再计算再计算剔除粗差后剔除粗差后,n9,重新计算重新计算98.257cm 0.029 cm 近真值近真值 标准偏差标准偏差 0.010 cm 0.011 平均值的平均值的标准差标准差相对误差相对误差剔除粗差后剔除粗差后,n9,重新计算重新计算0.029 cm 标准偏差
10、标准偏差 0.011 相对误差相对误差0.010 cm 平均值的平均值的标准差标准差98.257cm 近真值近真值 0.011 0.010 cm 98.257cm 因此因此该组测量的该组测量的(统计统计)结果为结果为 或或省去置信概率省去置信概率 7单次直接测量的误差估算单次直接测量的误差估算 某些物理量的测定某些物理量的测定往往不可能重复进行往往不可能重复进行如测定某物如测定某物在某时在某时某地某地的速度的速度对某物理量对某物理量测一次就够了测一次就够了 另一些实验中另一些实验中精度要求不高精度要求不高单次测量的误差单次测量的误差主要取决于主要取决于仪器的误差仪器的误差实验者感官分辨能力实验
11、者感官分辨能力观察时的具体条件等观察时的具体条件等 因此单次测量的误差主要用因此单次测量的误差主要用仪器误差仪器误差等来表达等来表达仪器误差仪器误差 可由说明书或相关资料查到可由说明书或相关资料查到 因此可用因此可用仪器最小刻度表示仪器精度仪器最小刻度表示仪器精度 查说明书或相关资料查说明书或相关资料由由仪器的精度仪器的精度决定决定一般可用最小刻度表示仪器精度一般可用最小刻度表示仪器精度 如果没有说明书或相关资料如果没有说明书或相关资料 由于仪器精度通常与最小刻度是一致的由于仪器精度通常与最小刻度是一致的 视仪器刻度情况及个人分辨能力而定视仪器刻度情况及个人分辨能力而定 单次测量的绝对偏差单次
12、测量的绝对偏差常取仪器最小刻度值的常取仪器最小刻度值的1/21/10无法估读的仪器取最小刻度无法估读的仪器取最小刻度 作为绝对偏差作为绝对偏差 在结果表达式中要注明绝对误差在结果表达式中要注明绝对误差 取的是什么取的是什么 用米尺测直径用米尺测直径,单次单次,观察值观察值30.02cm测量结果可写成测量结果可写成 举例举例d 取最小取最小刻度的刻度的1/2用精度为用精度为0.02mm的游标卡尺测长度，的游标卡尺测长度，单次，观察读数为单次，观察读数为34.58mm，则则结果可写成：结果可写成：取卡尺的取卡尺的最小刻度最小刻度单次测量值误差大小单次测量值误差大小主要来自于测量仪器的精度主要来自于
13、测量仪器的精度这种误差不服从高斯分布这种误差不服从高斯分布 注意注意单次测量的误差不服从高斯分布单次测量的误差不服从高斯分布 为与随机误差的绝对误差为与随机误差的绝对误差x区分区分用用仪仪或或(仪器仪器)或或表示仪器误差表示仪器误差 仪器误差也称为仪器误差也称为仪器的允许误差仪器的允许误差 或或示值误差示值误差 比如比如 游标卡尺取最小刻度游标卡尺取最小刻度0.02mm表示仪器误差表示仪器误差,则其绝对误差可写为则其绝对误差可写为(仪器仪器)or待测量待测量 N 是是直接测量量直接测量量 A,B,C 的函数的函数可测出可测出 A,B,C 然后求出待测量然后求出待测量N 8 间接测量的误差估算间
14、接测量的误差估算会传递给间接测量值会传递给间接测量值 各直接测量值各直接测量值存在测量误差存在测量误差间接测量的结果也应表达为间接测量的结果也应表达为 间接测量值的误差估算，就是要间接测量值的误差估算，就是要求出上式中的绝对误差求出上式中的绝对误差N间接测量值误差的两种估算方法间接测量值误差的两种估算方法 也称为也称为误差的传递公式误差的传递公式误差的一般传递公式误差的一般传递公式标准误差的传递公式标准误差的传递公式 一一.误差的一般传递公式误差的一般传递公式 误差的传递公式误差的传递公式求全微分求全微分 设各直接测量值的绝对误差分别为设各直接测量值的绝对误差分别为 用用代替代替则间接测量值则
15、间接测量值N的绝对误差的绝对误差 为为 为直接测量量的分误差为直接测量量的分误差 右端各项右端各项最不利情况考虑，认为分误差将累加最不利情况考虑，认为分误差将累加 这会导致间接测量值的误差偏大这会导致间接测量值的误差偏大但不降低其置信概率但不降低其置信概率 近真值近真值 通常取通常取相对误差相对误差 绝对误差绝对误差记录记录误差的传递公式误差的传递公式则则如如一误差的传递公式误差传递公式的两个推论误差传递公式的两个推论 记录记录1.和与差的绝对偏差等于和与差的绝对偏差等于 各直接测量量的绝对偏差之和各直接测量量的绝对偏差之和 即：如果即：如果 则则 2.积与商的相对偏差等于积与商的相对偏差等于
16、 各直接测量量的相对偏差之和各直接测量量的相对偏差之和 即：如果即：如果 则则 误差传递公式的两个推论先算相对偏差，后算绝对偏差先算相对偏差，后算绝对偏差 误差传递公式的应用技巧误差传递公式的应用技巧当被测量为几个直接测量量的当被测量为几个直接测量量的先算绝对偏差，后算相对偏差先算绝对偏差，后算相对偏差和或差和或差乘或除乘或除误差传递公式的应用技巧误差传递公式的应用举例误差传递公式的应用举例因尺子不够长因尺子不够长,分两段测一长度分两段测一长度测得的结果分别为测得的结果分别为 求被测长度求被测长度 故故 误差传递公式的应用举例用天平称得质量为用天平称得质量为 求固体密度求固体密度=?用量筒测得
17、体积为用量筒测得体积为 直接测量量直接测量量 求间接测量量求间接测量量 的的令令则则二标准误差的传递公式二二.标准误差的传递公式标准误差的传递公式 称为称为标准误差的传递公式标准误差的传递公式或称为或称为误差的方和根合成误差的方和根合成 如果如果则则证明证明设在实验中对各直接测量量作了设在实验中对各直接测量量作了n次测量次测量则可算出则可算出n个个N值。值。每次测量每次测量,N 的误差为的误差为 两边平方两边平方 22证明证明22将将 n 次测量的相加次测量的相加+由于由于 A,B,C都是独立变量都是独立变量因此因此dA,dB,dC 可正可负可正可负依据随机误差的公理依据随机误差的公理 大小相
18、等大小相等负号相反负号相反的误差的误差出现的机会相等出现的机会相等 因此上式交叉乘积项的和将等于零因此上式交叉乘积项的和将等于零=0因此因此 两边微分号换为误差两边微分号换为误差(残差残差)符号符号 即即 dxi 换成换成 两边除以两边除以n(n-1)，再开方再开方 此式即为此式即为标准误差的传递公式标准误差的传递公式或称为或称为误差的方和根合成误差的方和根合成 标准误差传递公式的两个推论标准误差传递公式的两个推论记录记录标准误差传递公式的两个推论1.和与差的绝对偏差等于和与差的绝对偏差等于 各直接测量量绝对偏差的各直接测量量绝对偏差的方和根方和根2.积与商的相对偏差等于积与商的相对偏差等于
19、各直接测量量相对偏差的各直接测量量相对偏差的方和根方和根 特别注意特别注意 方和根方和根之前需先对同项合并之前需先对同项合并如果把如果把写成写成则从第二条推论的字面上理解则从第二条推论的字面上理解2.积与商的相对偏差等于积与商的相对偏差等于 各直接测量量相对偏差的各直接测量量相对偏差的方和根方和根 相对偏差的结果似乎应该为相对偏差的结果似乎应该为但这是错误的结果但这是错误的结果 在在方和根方和根的的方方之前之前,需先对同项合并需先对同项合并 各直接测量量的相对偏差有三项各直接测量量的相对偏差有三项 同项合并，则变为两项同项合并，则变为两项 同项合并后才可进行同项合并后才可进行方和根方和根特别注
20、意特别注意 方和根方和根之前需先对同项合并之前需先对同项合并又比如又比如 可写成可写成各直接测量量的绝对偏差为四项各直接测量量的绝对偏差为四项 合并同项后变为两项合并同项后变为两项 同项合并后才可进行方和根同项合并后才可进行方和根 标准误差传递公式的应用技巧标准误差传递公式的应用技巧标准误差传递公式的应用技巧先算相对偏差，后算绝对偏差先算相对偏差，后算绝对偏差 当被测量为几个直接测量量的当被测量为几个直接测量量的先算绝对偏差，后算相对偏差先算绝对偏差，后算相对偏差和或差和或差乘或除乘或除与误差传递公式的应用技巧一致与误差传递公式的应用技巧一致前面给出了前面给出了平均值的标准偏差平均值的标准偏差
21、关系式关系式 (0-15)式式 平均值的标准偏差关系式的证明现在用现在用标准误差的传递公式标准误差的传递公式证明之证明之 证明关系式证明关系式等精度测量列的平均值等精度测量列的平均值 由标准误差传递公式可得由标准误差传递公式可得,恒有恒有 为各个为各个 xi 的函数的函数 一个测量列中一个测量列中,单次观测值单次观测值xi 的平均值就是其本身的平均值就是其本身 就是测量列的标准偏差就是测量列的标准偏差即即 因此因此 因此单次观测值因此单次观测值 xi 的的平均值的标准偏差平均值的标准偏差证毕证毕三三.误差估算的目的误差估算的目的 及其对实验的指导意义及其对实验的指导意义 三.误差估算的目的及其
22、对实验的指导意义估算误差通常可以解决两方面问题估算误差通常可以解决两方面问题 判断实验结果的可靠程度判断实验结果的可靠程度 合理选择仪器、确定实验方案合理选择仪器、确定实验方案举例举例举例举例单摆法测重力加速度单摆法测重力加速度要求要求测量精度达到测量精度达到0.4%试应用间接测量误差传递公式试应用间接测量误差传递公式合理选择测量仪器和测量方法合理选择测量仪器和测量方法 误差传递公式误差传递公式误差均分原则误差均分原则(等精度原则等精度原则)右两项应当具有同样的准确度右两项应当具有同样的准确度 即即各直接测量的物理量的测量精度应该相等的各直接测量的物理量的测量精度应该相等的原则原则,称为称为误
23、差均分原则误差均分原则,也称为也称为等精度原则等精度原则 0.2%根据根据 要求要求,可知可知 0.2%根据根据 要求要求,可知可知 当摆长当摆长 l 在在60100cm以内时以内时用米尺测用米尺测 l 即可达到即可达到 l 0.1cm从而使从而使 El 0.2%0.2%根据根据 要求要求,可知可知 摆长的测量方法摆长的测量方法选用米尺，摆长取选用米尺，摆长取60cm以上以上周期的测量周期的测量方法方法若用最小刻度为若用最小刻度为0.1s的机械秒表测的机械秒表测 秒表一次测量的误差约为秒表一次测量的误差约为0.2s 计时开始到停止计时是一次时间测量计时开始到停止计时是一次时间测量开始揿表和停止
24、计时揿表的误差各为开始揿表和停止计时揿表的误差各为0.1s 摆长在摆长在1m附近时周期约附近时周期约2s 则则 远远不能满足要求远远不能满足要求 解决的办法解决的办法 测量多个周期的时间求周期测量多个周期的时间求周期 例：测例：测100个周期时间个周期时间 若若用精度为用精度为0.001s的数字毫秒计测的数字毫秒计测测一个周期测一个周期 即可即可8 有效数字及其运算有效数字及其运算 8 有效数字及其运算一一.有效数字的概念有效数字的概念 下列数字是几位有效数字？下列数字是几位有效数字？0.0011.00011.000 0.00101.111 1.001 0.111 能够正确而有效地表示测量和实
25、验结果能够正确而有效地表示测量和实验结果的数字，叫做的数字，叫做有效数字有效数字通常由准确数字和通常由准确数字和一位一位欠准数字构成欠准数字构成因此，这个数字因此，这个数字47.3是有效的是有效的 测读数据为测读数据为47.3mm 例例3是估读的是估读的是欠准的是欠准的但毕竟有一定的参考意义但毕竟有一定的参考意义比之不估读要更接近实际情况比之不估读要更接近实际情况二二.测量和数据处理中测量和数据处理中 有效数字处理的基本原则有效数字处理的基本原则 处理有效数字的原则有效数字的位数反映了有效数字的位数反映了测量中仪器的精度情况测量中仪器的精度情况1.有效数字的位数不能任意增减有效数字的位数不能任
26、意增减有效数字的位数是不能任意增减有效数字的位数是不能任意增减 因此因此例例 6.36m6360mm应写成标准式应写成标准式6.36m=6.36103mm测同一长度，量具不同会得到不同结果测同一长度，量具不同会得到不同结果 米尺米尺 L=(7.320.02)cm4位有效数字位有效数字游标尺游标尺 L=(7.3100.006)cm3位有效数字位有效数字千分尺千分尺 L=(7.31020.0002)cm5位有效数字位有效数字可见有效数字反映了仪器的精密程度可见有效数字反映了仪器的精密程度 2.有效数字和小数点的位置无关有效数字和小数点的位置无关最左数字前的零不是有效数字最左数字前的零不是有效数字数
27、字写成标准式，有效数字位数不变数字写成标准式，有效数字位数不变4.18cm=0.0418m=41.8mm300800g=3.00800102 kg都是都是3位有效数字位有效数字都是都是6位有效数位有效数字字一般情况下有效数字中一般情况下有效数字中保存一位欠准数字保存一位欠准数字 若干个有效数字进行运算后若干个有效数字进行运算后不因运算而增加结果的准确度不因运算而增加结果的准确度但又不损害测量的精密度但又不损害测量的精密度总总则则3.有效数字的运算规则有效数字的运算规则(1)四舍五入法则四舍五入法则 3.有效数字的运算规则有效数字的运算规则 舍去多余的欠准数字时舍去多余的欠准数字时大于大于5 进
28、进小于小于5舍舍等于等于5使前位成偶数使前位成偶数记成记成四舍六入五配偶四舍六入五配偶(2)加减运算加减运算结果以参与运算的有效数字结果以参与运算的有效数字小数点后位数最少的为标准小数点后位数最少的为标准多余的四舍五入多余的四舍五入例例 11.111+1.1欠准数欠准数欠准数与准确数相加后的数字为欠准数字欠准数与准确数相加后的数字为欠准数字 11.111+1.10011221.=12.211=12.2又如又如(3)误差的有效数字误差的有效数字一般取一位一般取一位由于误差本身是可疑的数字由于误差本身是可疑的数字所以表示误差所以表示误差一般取一位一般取一位在误差中，对有效数字的取舍在误差中，对有效
29、数字的取舍采用采用进位法进位法，而，而不用四舍五入法不用四舍五入法因为误差是作最坏估计因为误差是作最坏估计，最多取二位最多取二位0.0044=0.004=0.005四舍五入四舍五入进位法进位法多余的采用多余的采用进位法进位法进位引起的进位引起的附加误差附加误差在整个误差中在整个误差中占的百分比过大时占的百分比过大时应多保留一位有效数字应多保留一位有效数字即误差至多取两位有效数字即误差至多取两位有效数字=0.2差不多差不多误差扩大了一倍误差扩大了一倍进位法取一位进位法取一位0.1112宜多取一位：宜多取一位：0.1112=0.122.3 4 12.1 4321284 6+(4)乘除运算乘除运算1
30、614 9.=4.9161=4.9可见可见积或商的有效位数，一般应与参与积或商的有效位数，一般应与参与运算的数中运算的数中有效位数最少的一个相同有效位数最少的一个相同多余的四舍五入多余的四舍五入(5)常数与有效数字运算常数与有效数字运算由参与运算的有效数字位数定结果位数由参与运算的有效数字位数定结果位数 常数常数有效数字有效数字3.14536 结果不能只取结果不能只取 2 位有效数字位有效数字!如常数为无限数如常数为无限数则则 的位数的位数应比参与运算的应比参与运算的有效数字多取一位有效数字多取一位,结果以测量量结果以测量量的有效位数而定的有效位数而定(6)测量结果的表达形式测量结果的表达形式
31、 与与的小数点位数应对齐的小数点位数应对齐 的位数由的位数由 决定决定通常取一位，最多可取通常取一位，最多可取2位位例如，测得近真值例如，测得近真值测量误差计算值测量误差计算值则说明则说明后三位后三位已是欠准数字已是欠准数字所以结果形式所以结果形式应改成应改成或或(8)函数运算函数运算由绝对误差决定测量数据的位数由绝对误差决定测量数据的位数 函数运算有效数字函数运算有效数字取位取位的一般方法的一般方法求出绝对误差求出绝对误差用间接测量误差传递公式求用间接测量误差传递公式求从举例中体会从举例中体会函数运算有效数字函数运算有效数字取位取位的简单近似法的简单近似法通常取一位通常取一位,最多取二位最多
32、取二位(7)相对误差相对误差例：例：测量值测量值1270的对数的对数lg1270应该取几位有效数字？应该取几位有效数字？lg1270lg1271在小数点后第三位出现差别在小数点后第三位出现差别=3.103803721=3.104145551分别计算分别计算因此取小数点后三位因此取小数点后三位=3.104 也可多保留一位也可多保留一位 lg1270=3.1038 例：例：取几位有效数字？取几位有效数字？分别计算分别计算4.402272141 4.403407771 4.402取小数点后三位取小数点后三位也可多保留一位也可多保留一位 4.4023例：例：取几位有效数字？取几位有效数字？=0.872922077=0.873063953=0.873=0.8729
