1、1第二节 线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质映射二、线性空间的简单性质映射2 2009,Henan Polytechnic University2线性空间是线性代数最基本的概线性空间是线性代数最基本的概念之一。念之一。这一节我们来介绍它的定义，这一节我们来介绍它的定义，并讨论它的一些并讨论它的一些线性空间也是我们碰到的第一线性空间也是我们碰到的第一在引入定义在引入定义先看几个熟知的例子。先看几个熟知的例子。一、引例一、引例最简单的性质。最简单的性质。个抽象的概念。个抽象的概念。为了说明它的来源，为了说明它的来源，之前，之前，例例1 1 在第三
2、章在第三章2中，我们讨论了数域中，我们讨论了数域P上的上的n维维向量空间向量空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：，定义了两个向量的加法和数量乘法：3 2009,Henan Polytechnic University312121122(,)(,)(,)nnnna aab bbab abab 1212(,)(,)nnk a aakakkakaP 而且这两种运算满足一些重要的规律而且这两种运算满足一些重要的规律,如如 ,nPk lP ()kkk()()0()0 1()klkl()()k lkl 4 2009,Henan Polytechnic University4这两种运算这两种运算同样满
3、足上述这些重要的规律，即同样满足上述这些重要的规律，即例例2 2数域数域P上的一元多项式环上的一元多项式环Px中，定义了中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且()()0f xf x ()()()()f xg xg xf x()()()()()()f xg xh xf xg xh x ()0()f xf x 1()()f xf x()()()k lf xkl f x()()()()k l f xkf xlf x ()()()()k f xg xkf xkg x (),(),(),f xg xh xP xk lP 5 2009,Henan Pol
4、ytechnic University5例例3全体正实数全体正实数R，加法与数量乘法定义为：加法与数量乘法定义为：,a bRkR kk aa 首先，首先，R ，其次，加法和数量乘法满足其次，加法和数量乘法满足上述这些运上述这些运算规律算规律 ()()()()()()abcabcab ca bcabcabc ababbaba,，a bRababR且且 ab 唯一确定；唯一确定；且且,kaRkR k aaR ,且且 ak 唯一确定唯一确定,abab6 2009,Henan Polytechnic University6 R，111,aaa a R，即即1 1是零元；是零元；a R，1a R，且，且
5、 111aaaa 即即a 的负元素是的负元素是 ；1a 11 aaa ;a R；()()()llklkklkl ak aaaakla ;()()()k lk lklk l a aa aaak al a ()()()kkkkkkabkababa bab ;()()k ak b7 2009,Henan Polytechnic University7一.线性空间的定义 设设V是一个非空集合，是一个非空集合，P是一个数域，在集合是一个数域，在集合V中中定义了一种代数运算，叫做定义了一种代数运算，叫做加法加法：即：即对，对，,V 在在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为中都存在唯一的一个元素与它们对
6、应，称为 的的和和，记为，记为 ；在；在P与与V的元素之间还的元素之间还与定义了一种运算，叫做定义了一种运算，叫做数量乘法数量乘法：即：即,VkP 在在V中都存在唯一的一个元素中都存在唯一的一个元素与它们对应，称与它们对应，称为为 的的数量乘积数量乘积，记为，记为 如果加法和数量乘如果加法和数量乘k与.k法还满足下述规则，则称法还满足下述规则，则称V为数域为数域P上的上的线性空间线性空间：8 2009,Henan Polytechnic University8加法满足下列四条规则：加法满足下列四条规则：对对,V都有都有V中的一个元素中的一个元素，使得，使得 1 ()()k lkl 数量乘法与加
7、法满足下列两条规则：数量乘法与加法满足下列两条规则：()klkl 在在V中有一个元素中有一个元素0，对，对,0V有有（具有这个性质的元素（具有这个性质的元素0称为称为V的的零元素零元素）数量乘法满足下列两条规则数量乘法满足下列两条规则:;（称为称为 的的负元素负元素）0 ()(),V ()kkk9 2009,Henan Polytechnic University9注：注：1 满足以上八条规则的加法及数量乘法也满足以上八条规则的加法及数量乘法也称称2线性空间的元素也称为线性空间的元素也称为向量向量，线性空间也称，线性空间也称向量空间向量空间但这里的向量不一定是有序数组但这里的向量不一定是有序数
8、组为为线性运算线性运算由定义知，例由定义知，例1，2，3给定给定数域数域 上的线性空间上的线性空间mn 的加法和数量乘法，构成数域的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间，上的一个线性空间，用用 表示表示m nP 例例4数域数域 P上上 矩阵的全体作成的集合矩阵的全体作成的集合,按矩阵按矩阵mn 10 2009,Henan Polytechnic University10例例5数域数域 P上的次数小于上的次数小于 n 的多项式的全体，的多项式的全体，和数量乘法构成数域和数量乘法构成数域 P上的一个线性空间，上的一个线性空间，再添上零多项式作成的集合，按多项式的加法再添上零多项式作成的集合
9、，按多项式的加法1110110 ()|,nnnnP xf xaxa xaaa aP 常用常用 表示表示 nP x即即例例6任一数域任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个按照本身的加法与乘法构成一个数域数域P上的线性空间上的线性空间11 2009,Henan Polytechnic University11例例7全体正实数全体正实数R，,kk aa 判断判断 R是否构成实数域是否构成实数域 R上的线性空间上的线性空间.加法与数量乘法定义为：加法与数量乘法定义为：,a bRkR log,aabb 解解 R不构成实数域不构成实数域R上的线性空间上的线性空间.不封闭，如不封闭，如 2112log1
10、22R 12 2009,Henan Polytechnic University12二、线性空间的简单性质 利用负元素，定义利用负元素，定义减法减法：01010202证明：证明：假设线性空间假设线性空间V V有两个零元素有两个零元素0 01 1、0 02 2，则有，则有0()()()0 0,0()的负元素是唯一的，记为的负元素是唯一的，记为 ,V 2、证明：证明：假设假设 有两个负元素有两个负元素 ，则有，则有,1 1、零元素是唯一的零元素是唯一的.13 2009,Henan Polytechnic University13两边加上两边加上 即得即得 0 0 0；(0)0kkkk 两边加上两边
11、加上 k ；即得；即得k 00;(1)1(1)(11)00 两边加上两边加上 即得即得 (1);()()kkkk 即得即得 两边加上两边加上 k ().kkk 00,00,(1),()kkkk 3、0(01),证明：证明：14 2009,Henan Polytechnic University144、如果如果k 0，那么，那么k0或或 0.111()()00.k kkkk证明：证明：假若则假若则0,k 例例8 8 证明：数域证明：数域P上的线性空间上的线性空间V若含有一个非零若含有一个非零向量，则向量，则V一定含有无穷多个向量一定含有无穷多个向量.证：证：设设,0V且且121212,有k kPkkkkV1212()0kkkk又又15 2009,Henan Polytechnic University1512.kk而数域而数域P中有无限多个不同的数，中有无限多个不同的数，无限无限多个不同的向量多个不同的向量.只含一个向量只含一个向量零向量的线性空间称为零向量的线性空间称为零空间零空间.所以所以V中有中有注：注：
