1、 教学目的：教学目的：通过本节的教学使学生理解矩阵初等变通过本节的教学使学生理解矩阵初等变换和初等方阵的概念换和初等方阵的概念,掌握矩阵初等变换、初等方阵的性掌握矩阵初等变换、初等方阵的性质，会用矩阵的初等变换化矩阵为阶梯型、最简型和标准质，会用矩阵的初等变换化矩阵为阶梯型、最简型和标准形形.教学要求教学要求：理解矩阵初等变换和初等方阵的概念理解矩阵初等变换和初等方阵的概念,掌掌握矩阵初等变换、初等方阵的性质，会用矩阵的初等变握矩阵初等变换、初等方阵的性质，会用矩阵的初等变换化矩阵为阶梯型、最简型和标准形换化矩阵为阶梯型、最简型和标准形.教学重点：矩阵的初等变换和初等方阵的理论，矩阵的初等变换
2、和初等方阵的理论，会用会用矩阵的初等变换化矩阵为阶梯型、最简型和标准形矩阵的初等变换化矩阵为阶梯型、最简型和标准形.教学难点：矩阵初等变换的理论和初等方阵的关系矩阵初等变换的理论和初等方阵的关系.5 5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是矩阵论中最重要的矩阵的初等变换是矩阵论中最重要的变换手段，也是线性代数的一个重要工具，变换手段，也是线性代数的一个重要工具，在求矩阵的秩、解线性方程组、求向量组在求矩阵的秩、解线性方程组、求向量组的极大无关组及各向量间的线性关系、求的极大无关组及各向量间的线性关系、求逆矩阵以及化二次型为标准形等方面有着逆矩阵以及化二次型为标准形等方面有着极其重要的
3、应用。极其重要的应用。引例引例)1(求解线性方程组求解线性方程组 ,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程2 解解)(1B)1()(2B2 132 ,97963,232,22,424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 ,3433,6355,0222,424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342)(3B)(4B ,3,62,0,42444324321xxxxxxxxx13425 221 3
4、3 422 ,00,3,0,4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：于是解得于是解得 33443231xxxxx.3为任意取值为任意取值其中其中x方程组的解可记作方程组的解可记作或令或令,3cx ,3344321 cccxxxxx.为任意常数为任意常数其中其中c 30340111cx即即（2）小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换用到如下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数
5、乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍ij（与与 相互替换）相互替换）（以替换）（以替换）ik ij（以替换）（以替换）ik i3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换的故这三种变换是同解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik)(A若若),(Bji)(A若若),(Bik)(B则则);(Aik)(B则则).(Ak ji因为在上述变换过程中，仅仅只对方因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和
6、常数进行运算，未知量并未程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算参与运算若记若记 97963422644121121112)(bAB则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（方程组（1）的）的增广矩阵增广矩阵）的变换）的变换定义定义5 下面的三种变换称为矩阵的下面的三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换：(i).对调两行（对调对调两行（对调i、j行，记作行，记作rirj）（换法变换换法变换）(ii).以以非非0数数k乘以某一行的所有元素；乘以某一行的所有元素；（第（第i行乘行乘k，记作，记作kri）（）（倍法变换倍法变换）(iii).把某一行所有元
7、素的把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元倍加到另一行对应的元素上素上 去（第去（第i行的行的k倍加到第倍加到第j行上，记作行上，记作rj+kri）（消法变换消法变换）二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换 把定义中的把定义中的“行行”换成换成“列列”，即得矩，即得矩阵的初等列变换的定义阵的初等列变换的定义（所用的记号分别为（所用的记号分别为 ）。）。矩阵的初等行变换和初等列变换，统称矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为为初等变换初等变换。显然，每一种初等变换都是可逆的，并且显然，每一种初等变换都是可逆的，并且其逆变换也是同一种初等变换。其逆变换也是同一种初等变换。ijijikcckccc,初
8、等变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换同一类型的初等变换)(ccrrjiji)(ccrrjiji)(kckrii )0)(1(1 kkkcrii)(ckcrkrjiji )()(ckcrkrjiji 定义定义 如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等变换经过有限次初等变换变成矩阵变成矩阵B，则称，则称矩阵矩阵A与矩阵与矩阵B等价等价(Equivalent)，记为，记为A B。矩阵矩阵A A与矩阵与矩阵B B等价等价根据定义不难证明，矩阵的等价满足下述根据定义不难证明，矩阵的等价满足下述性质：性质：a)反身性反身性：A A；b)对称性对称性
9、：若：若A B，则，则B A；c)传递性传递性：若：若A B，而，而B C，则，则A C。(取取k=1 作倍法初等变换即可作倍法初等变换即可)(初等变换都是可逆的初等变换都是可逆的)(将两次的初等变换合并到一起对将两次的初等变换合并到一起对A作用即可作用即可)具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价.,),(,数数梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行的的行行就就是是行行阶阶其其中中三三个个数数完完全全确确定定此此标标准准形形由由化化为为标标准准形形行行变变换换和和列列变变换换换换
10、变变总总可可以以经经过过有有限限次次初初等等矩矩阵阵任任何何一一个个rrnmrnmOOOEGnm ),min(0nmr 定理定理5.1(证明过程见教材证明过程见教材28页页)注注:任一个矩阵任一个矩阵 都有标准形、且唯一都有标准形、且唯一（m,n,r三个数唯一确定，其中三个数唯一确定，其中r就是行阶梯形就是行阶梯形 矩阵中非零行的行数）矩阵中非零行的行数）nmA 例例5.15.1 求矩阵求矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵.解解 对矩阵对矩阵A施初等行变换施初等行变换21112112144622436979B 21112112144622436979B 11214211122311236979 11
11、214022200553603343 11214011100001300000 10104011030001300000 11214011100002600013 10000010000010000000EOOO 为A的标准形矩阵.在例在例1的计算中，我们既使用了初等行变换，也的计算中，我们既使用了初等行变换，也是用了初等列变换是用了初等列变换.但在某些场合只允许使用初等行但在某些场合只允许使用初等行变换变换.例如，引例中求解方程组的过程对应到相应的例如，引例中求解方程组的过程对应到相应的矩阵上来，即有矩阵上来，即有21112112144622436979B 11214211122311236
12、979 11214022200553603343 1121401110.0001300000 1)行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵的特点是：行阶梯形矩阵的特点是：1）矩阵的所有元素全为矩阵的所有元素全为0的行（如果存在的话）都集的行（如果存在的话）都集中在矩阵的最下面；中在矩阵的最下面；2）每行左起第一非零元素（称为首非零元）的下方元）每行左起第一非零元素（称为首非零元）的下方元素全为素全为0.形象地说，可以在该矩阵中画一条阶梯线，线的下方形象地说，可以在该矩阵中画一条阶梯线，线的下方元素全为元素全为0；每个阶梯仅有一行，阶梯数即是非零行的行；每个阶梯仅有一行，阶梯数即是非零行的行数；阶梯线的竖线后
13、面的第数；阶梯线的竖线后面的第1个元素即为首非零元个元素即为首非零元.11214011100001300000 2)行最简形矩阵：一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的.要解线性方程要解线性方程组组,只须把增广矩阵化为行最简形矩阵只须把增广矩阵化为行最简形矩阵.结论结论 设设A为为mn矩阵，则矩阵，则A必可用初等必可用初等行变换行变换化为化为行阶梯形行阶梯形矩阵矩阵.行最简形矩阵的特点是：行最简形矩阵的特点是：非零行的首非零元为非零行的首非零元为1，且这些首非零元所在的列的其，且这些首非零元所在的列的其它元素全为它元素全为0.1010401103.0001300000 对
14、行最简形矩阵再进行初等列变换，可得到对行最简形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为阵，其余元素都为0 0例如例如 00000310003011040101ccccccccc214433215334 00000001000001000001矩阵的标准形矩阵的标准形 请大家思考一下：矩阵请大家思考一下：矩阵A的行阶梯形、行的行阶梯形、行最简形是否唯一？为什么？最简形是否唯一？为什么？定理定理5.2 化化为为行行阶阶梯梯形形。必必可可用用初初等等行行变变换换矩矩阵阵，则则为为设设AnmA(请大家自证之请大家自
15、证之.)1 1、初等矩阵的概念、初等矩阵的概念 定义定义5.25.2由单位矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩经过一次初等变换得到的矩阵称为阵称为初等矩阵初等矩阵.1）初等换法矩阵：对调两行（列）初等换法矩阵：对调两行（列）第i行第行11011(,)11011P i j 2）初等倍法初等倍法 矩阵：以数矩阵：以数k乘以某行（列）乘以某行（列）第第i行行11()11kkP i 3）初等消法矩阵：以数）初等消法矩阵：以数k乘以某行（列）加到另一乘以某行（列）加到另一行（列）上去行（列）上去第第 i 行行第第行行11(,)11ki j kP 例例5.2 设设求求P(1,3)A；A P(1,3)；P
16、(2k)A；AP(1,3k).解解 将矩阵将矩阵A按行分块按行分块得123,AAAA 按列分块得按列分块得11121314(,).AAAAA 111213142122232431323334.aaaaaaaaaaaaA 由矩阵的分块乘法运算有由矩阵的分块乘法运算有132231001(1,3)010,100AAPAAAAA1112131400100100(1,3)(,)10000001APAAAA 13121114(,).AAAA 112233100(2)00,001kkkAAPAAAAA111213141000100(1,3)(,)00100001kkAPAAAA 1112111314(,).
17、kAAAAA 可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵；为同类型的初等矩阵；初等矩阵均可逆且其逆阵任为同类型的初等矩阵均可逆且其逆阵任为同类型的初等矩阵（初等矩阵（详见第三章详见第三章）矩阵初等变换与初等矩阵有着非常密切矩阵初等变换与初等矩阵有着非常密切的关系，容易证明下述定理的关系，容易证明下述定理5.3成立。成立。2.2.初等矩阵的性质初等矩阵的性质说明说明:对矩阵对矩阵A A施行一次初等行（列）变换与用施行一次初等行（列）变换与用相应的初等矩阵左（右）乘相应的初等矩阵左（右）乘A A是等价的。是等价的。值得注意的是：值得注意的是：左乘消法矩阵
18、左乘消法矩阵 时变化时变化A A的第的第i i行，行，右乘消法矩阵右乘消法矩阵 时变化时变化A A的第的第j j列列.),(kjiP),(kjiP3.初等矩阵的有关定理初等矩阵的有关定理定理定理5.35.3 用初等矩阵左乘用初等矩阵左乘A，相当于对，相当于对A进行相应的初进行相应的初等行变换；用初等矩阵右乘等行变换；用初等矩阵右乘A，相当于对，相当于对A进行相应的进行相应的初等列变换初等列变换.小结：1 1、深刻理解矩阵初等变换和初等方阵的概念、深刻理解矩阵初等变换和初等方阵的概念.2 2、会用矩阵的初等变换将矩阵化成阶梯形、会用矩阵的初等变换将矩阵化成阶梯形、最简形和标准形最简形和标准形.矩
19、阵的初等变换是矩阵论中最重要的变换手矩阵的初等变换是矩阵论中最重要的变换手段，也是线性代数的一个重要工具，在求矩阵的段，也是线性代数的一个重要工具，在求矩阵的秩、解线性方程组、求向量组的极大无关组及各秩、解线性方程组、求向量组的极大无关组及各向量间的线性关系、求逆矩阵以及化二次型为标向量间的线性关系、求逆矩阵以及化二次型为标准形等方面有着极其重要的应用。准形等方面有着极其重要的应用。1.求求A的标准形的标准形101211232246A21312101 2101 211 2301 3122460262r rrrA 解解:课堂练习：课堂练习：322101201310000rr 2101201310
20、000r Gcccccccc 00000010000124431431,32G就是所求的标准形形矩阵就是所求的标准形形矩阵（只需对行最简形（只需对行最简形作适当的初等列变换，就能化为标准形）作适当的初等列变换，就能化为标准形）2.,001010100,110010001,2121333231232221131211APPPPaaaaaaaaaA求求设设 解解不必直接作矩阵乘法，由性质知不必直接作矩阵乘法，由性质知AP1相当于相当于把把A 的第的第 2 行加到第行加到第 3 行，行，即有即有 3323322231212322211312111aaaaaaaaaaaaAP,0010101002 P
21、因为因为即将单位矩阵的第即将单位矩阵的第 1、3 行交行交换后即得到换后即得到P2，2121)(PAPAPP 而而AP1相当于把相当于把的第的第 1 列与第列与第 3列进行交换，列进行交换，从而得从而得.31213222332321222311121321 aaaaaaaaaaaaAPP解：解：可以看成是由可以看成是由3阶单位矩阵阶单位矩阵 经经4次初等变换次初等变换,AE 3331321,1,2,crccrr 而得而得.而这而这4次初等变换所对应的初等方阵为次初等变换所对应的初等方阵为:,0101000011 P,1020100012 P.010102001的乘积的乘积表示成有限个初等方阵表示成有限个初等方阵将矩阵将矩阵 A3.1000100014 P由初等方阵的性质得由初等方阵的性质得4213PEPPPA .4213PPPP,1000100013 P
