1、2022-8-161.超静定梁的解法 解超静定梁的基本思路与解拉压超静定问题相同。求解图a所示一次超静定梁时可以铰支座B为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力。解除“多余”约束后的基本静定系为A端固定的悬臂梁。基本静定系6-4 6-4 简单超静定梁简单超静定梁2022-8-1620BBBqww基本静定系在原有均布荷载q和“多余”未知力FB作用下(图b)当满足位移相容条件(参见图c,d)时该系统即为原超静定梁的相当系统。若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见教材中的附录)所得的补充方程为03834EIlFEIqlB2022-8-163从而解得“多余”未知力qlFB83所得FB
2、为正值表示原来假设的指向(向上)正确。固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡条件求得为 28185qlMqlFAA，2022-8-164该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得，如图所示。思考思考 1.该梁的反弯点(弯矩变换正负号的点)距梁的左端的距离为多少？2.该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？2022-8-165 例题例题1 试求图a所示系统中钢杆AD内的拉力FN。钢梁和钢杆的材料相同，弹性模量E已知；钢杆的横截面积A和钢梁横截面对中性轴的惯性矩I 亦为已知。2022-8-166 解解:1.该系统共有三个未知力(图b)FN,FB,FC，但平面平行力系仅有两个独立的平
3、衡方程，故为一次超静定问题。2.取杆和梁在点A处的连接铰为“多余”约束，相应的“多余”未知力为FN。位移(变形)相容条件(参见图b)为wA=DlDA。2022-8-1673.物理关系(参见图c,d)为EAlFlEIaFEIqawwwDAAFAqAN3N4 127D，需要注意，因DlDA亦即图b中的 是向下的，故上式中wAF为负的。1AA2022-8-1684.于是根据位移(变形)相容条件得补充方程：由此求得EAlFEIaFEIqaN3N412734N 127AalIAqaF2022-8-169 例题例题2 试求图a所示等截面连续梁的约束力FA,FB,FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯
4、曲刚度EI=5106 Nm2。2022-8-1610 解解:1.两端铰支的连续梁其超静定次数就等于中间支座的数目。此梁为一次超静定梁。2022-8-1611 2.为便于求解，对于连续梁常取中间支座截面处阻止左,右两侧梁相对转动的内部角约束为“多余”约束，从而以梁的中间支座截面上的弯矩作为“多余”未知力，如图b。BB 此时基本静定系为两跨相邻的简支梁，它们除承受原超静定梁上的荷载外，在中间支座B处的梁端还分别作用有等值反向的“多余”未知力矩 弯矩MB，图b中的“多余”未知力矩为一对正弯矩。位移相容条件(参见图b)为2022-8-16123.利用教材中的附录可得物理关系为EIMEIBB3m424m
5、4N/m102033EIMEIBB3m5m56m2m5m2m3N10303 应该注意，在列出转角 的算式时每一项的正负号都必须按同一规定(例如顺时针为正，逆时针为负)确定。BB 和2022-8-1613 4.将物理关系代入位移相容条件补充方程，从而解得 这里的负号表示实际的中间支座处梁截面上的弯矩与图b中所设相反，即为负弯矩。mkN80.31BM5.利用图b可得约束力：kN64.11kN66kN05.32CBAFFF，2022-8-1614(c)(d)然后绘出剪力图和弯矩图如图c,d。2022-8-1615(二)梁的上,下表面温度差异的影响 图a所示两端固定的梁AB在温度为 t0 时安装就位，
6、其后，由于梁的顶面温度升高至 t1，底面温度升高至 t2，且 t2t1，从而产生约束力如图中所示。由于未知的约束力有6个，而独立的平衡方程只有3个，故为三次超静定问题。l(a)2022-8-1616 现将右边的固定端B处的3个约束作为“多余”约束，则解除“多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。它在上,下表面有温差的情况下，右端产生转角Bt和挠度wBt(见图c)以及轴向位移DBt。l(a)(b)(c)2022-8-1617 如果忽略“多余”未知力FBx对挠度和转角的影响，则由上,下表面温差和“多余”未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：0BxBF
7、BtBxl0BMBFBtBwwwwBy0BByBMBFBtB2022-8-1618式中一些符号的意义见图c,d,e。0BxBFBtBx0BMBFBtBwwwwBy0BByBMBFBtB(c)(d)(e)2022-8-1619 现在先来求Bt和wBt与梁的上,下表面温差(t2-t1)之间的物理关系。从上面所示的图a中取出的微段dx,当其下表面和上表面的温度由t0分别升高至t2和t1时，右侧截面相对于左侧截面的转角d 由图b可知为xhtthmmnnhnnldd120 上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角 d 为负。2022-8-1620将此式积分，并利用边界条件0|0|dd|000 xxxw
8、xw，得212122 xhttwxhttll，根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分方程为httxxwl1222dddd2022-8-1621从而有hlttwwhlttllxBtllxBt2|21212，至于温差引起轴向位移DBt则为ltttlBt02122022-8-1622 位移相容条件表达式中由“多余”未知力引起的位移所对应的物理关系显然为EAlFBxBFBx 33EIlFwByBFBy 22EIlFByBFByEIlMwBBMB22EIlMBBMB2022-8-1623EAlFBxBFBx 33EIlFwByBFBy 22EIlFByBFByEIlMwBBMB22EIlMBBMB 12hlttlBtltttlBt0212hlttwlBt22120BByBMBFBtBwwww0BByBMBFBtB0BxBFBtBx位移相容条件已得出的物理关系2022-8-1624 将以上所有物理关系代入三个位移相容条件的表达式即可解得l02021BylBxFtttEAF，12httEIMlB
