1、2022年中考数学真题综合练习：最值问题1.（2022黔东南）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离当取得最小值时，的取值范围是（ ）A. B. 或C. D. 2.（2022鄂州）如图，定直线MNPQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC=12，BC在两直线间运动过程中始终有BCQ=60点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AEBCDF，AE=4，DF=8，AD=24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（ ）A. 24B. 24C. 12D. 123.（2022齐齐
2、哈尔）如图，二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：；若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m4；当x4；当x0时，y随x的增大而减小其中正确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】解：二次函数的对称轴为， 故正确；函数图象开口向下，对称轴为，函数最大值为4，函数的顶点坐标为（-1，4）当x=-1时， ，二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，24+a-1时，y随x的增大而减小，故错误所以，正确的结论是，共3个，故选：B4.（2022毕节）如图，在中，点P为边上任意一点，连接，以，为
3、邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_【答案】解：，四边形APCQ是平行四边形，POQO，COAO，PQ最短也就是PO最短，过O作BC的垂线，,，则PQ的最小值为，故答案为：5.（2022铜仁）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将CDE沿CE翻折得CME，点M落在四边形ABCE内点N为线段CE上的动点，过点N作NP/EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为_【答案解：作点P关于CE的对称点P， 由折叠的性质知CE是DCM的平分线，点P在CD上，过点M作MFCD于F，交CE于点G，MN+NP=MN+NPMF，MN+NP的最小值为MF的长， 连接DG，DM，由折叠的性质知C
4、E为线段 DM的垂直平分线，AD=CD=2，DE=1，CE=，CEDO=CDDE， DO=，EO=，MFCD，EDC=90，DEMF，EDO=GMO， CE为线段DM的垂直平分线，DO=OM，DOE=MOG=90，DOEMOG，DE=GM，四边形DEMG为平行四边形， MOG=90，四边形DEMG为菱形，EG=2OE=，GM= DE=1，CG=，DEMF，即DEGF，CFGCDE，即， FG=，MF=1+=，MN+NP的最小值为故答案为：6.（2022龙东地区）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是_【答案】解：如图，
5、作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，菱形ABCD，ACBD，OA=OC，O=OD，AD=AB=3，BAD=60，ABD是等边三角形，BD=AB=3，BAO=30，OB=，OA=，点O关于AB的对称点F，OFAB，OF=2OG=OA=，AOG=60，CEAH于E，OA=OC，OE=OC=OA=，AH平分BAC，CAE=15，AEC=CAE=15，DOE=AEC+CAE=30，DOE+AOG=30+60=90，FOE=90，由勾股定理，得EF=,PO+PE最小值=故答案为：7.（2022遵义）如图，在等腰
6、直角三角形中，点，分别为，上的动点，且，当的值最小时，的长为_【答案】如图，过点作，且，连接，如图1所示，又，当三点共线时，取得最小值，此时如图2所示，在等腰直角三角形中，设，即取得最小值为，故答案为：图1 图28.（2022河北）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为求点移动的最短路程【答案】（1），对称轴为直线，抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4，把代入中得：，解得：或，点在C的对称轴右侧，；（2），是由向左平移3个单位，再
7、向下平移4个单位得到，平移距离为，移动的最短路程为59.（2022河北）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14，点M的俯角为7已知爸爸的身高为1.7m（1）求C的大小及AB的长；（2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）（参考数据：取4，取4.1）【答案】（1）解：水面截线，在中，解得（2）过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MGOB于G，如图所示：水面截线，为最大水深，且，即，即，在中，即，解得，最大水深约为米10.（2022河南）为弘扬民
8、族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目滚铁环器材由铁环和推杆组成小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内当推杆AB与铁环O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果（1）求证：BOCBAD90（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得已知铁环O的半经为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长【答案】（1）证明：O与水平地面相切于点C， ，AB与
9、O相切于点B，过点作，即BOCBAD90（2）如图，过点作的平行线，交于点，交于点，则四边形是矩形， ，在中，（cm)，在中，cm，(cm)，(cm)，(cm)，cm，(cm)11.（2022贵阳）已知二次函数y=ax2+4ax+b（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(1，e)，(3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；（3）点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当2m1时，n的取值范围是1n1，求二次函数的表达式【答案】（1）解：y=ax2+4ax+
10、b=a(x2+4x+4-4)+b= a(x+2)2+b-4a，二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；（2）解：由（1）知二次函数的图象的对称轴为直线x=-2，又二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，当a cd；当a0时，画出草图如图：e=f cd；（3）解：点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当a0时，根据题意：当m=-2时，函数有最小值为-1，当m=1时，函数值为1，即，解得：，二次函数的表达式为y=x2x-综上，二次函数的表达式为y=x2x-或y=x2x+12.（2022绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交
11、于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，K两点，连接，的面积为（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）当时，求x的取值范围；（3）若C为线段上的一个动点，当最小时，求的面积【答案】（1）解：一次函数与坐标轴分别交于，两点，把，代入得，解得，一次函数解析式为过点P作轴于点H，又，在双曲线上，（2）解：联立方程组得，解得， ，根据函数图象可得，反比例函数图象直线上方时，有或，当时，求x的取值范围为或，（3）解：作点K关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，则（1，-2），OM=1，连接交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，设直线的解析式为把代入得，解得，直线的解析式为当时，解得，
12、13.（2022牡丹江、鸡西）如图，已知抛物线（a0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线过点M（2，2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；求出BCE的面积；在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标【答案】解：（1）将M（2，2）代入抛物线解析式得：，解得：a=4（2）由（1）抛物线解析式，当y=0时，得：，解得：点B在点C的左侧，B（4，0），C（2，0）当x=0时，得：y=2，E（0，2）SBCE=62=6，抛物线对称轴为直线x=1连接BE，与对称轴交于点H，即为所求设直线BE解析式为y=kx+b，将B（4，0
13、）与E（0，2）代入得：，解得：直线BE解析式将x=1代入得：，H（1，）14.（2022遵义）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”例如：抛物线的“关联抛物线”为：已知抛物线的“关联抛物线”为（1）写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；（2）若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，当时，求点的坐标；当时，的最大值与最小值的差为，求的值【答案】（1）解：抛物线的“关联抛物线”为，根据题意可得，的解析式顶点为（2）解：设，则，当时，解得，当时，方程无解或的解析式顶点为，对称轴为，当时，即时，函数的最大值为，最小值为的最大值与最小值的差为解得（，舍去）当时，且即时，函数的
14、最大值为，最小值为的最大值与最小值的差为解得（，舍去）当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大，函数的最大值为，最小值为的最大值与最小值的差为即即解得（舍去）综上所述，或15.（2022大庆）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点（1）求反比例函数的关系式；（2）如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由【答案】（1）解：把代入，得，解得，所以反比例函数解析式是；（2）存在点P使ABP周长最小，理由：解和得，和，和，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点、在一条直线上时，线段 的长度最
15、短，所以存在点P使ABP周长最小，ABP的周长= ，16.（2022毕节）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点E（1）求抛物线的表达式；（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值；（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）解：由可知，解得：，（2）分别令中，得，；设BC的表达式为：，将，代入得，解得：；BC的表达式为：；抛物线平移后的表达式为：，根据题
16、意得，即，该抛物线与直线始终有交点，h的最大值为；（3）存在，理由如下：将代入中得，四边形DEMN是平行四边形，设，当时，解得：（舍去），当时，解得：，或，综上，点N的坐标为：或或17.（2022贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究如图，在中，为边上的高，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得（1）问题解决：如图，当，将沿翻折后，使点与点重合，则_；（2）问题探究：如图，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；（3）拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值【答案】（1），是等边三角形，四边形平行四边形，为边
17、上的高，（2），是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，为底边上的高，则点在边上，当时，取得最小值，最小值为；（3）如图，连接，则，设， 则，折叠，在中，延长交于点，如图，在中，18.（2022齐齐哈尔）综合与探究如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5） （1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DEx轴，交线段AB于点E，求线段DE长度最大值；（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的
18、四边形是正方形，请直接写出点N的坐标【答案】（1）解：将A（-1，0），B（4，5）代入得， ，解这个方程组得，抛物线的解析式为：；（2）解：如图，设直线AB的解析式为：，把点 A（-1，0），B（4，5）代入，得，解得 ， 直线AB的解析式为： ，由（1）知抛物线的对称轴为， 点C为抛物线对称轴上一动点， 当点C在AB上时，最小，把x=1代入，得y=2，点C的坐标为（1，2）；（3）解：如图，由（2）知 直线AB的解析式为y=x+1设，则，则，当时，DE有最大值为，（4）解：如图，直线AB的解析式为：y=x+1， 直线与y轴的交点为D（0，1）， ， ，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正
19、方形，分情况讨论：过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作 ，则四边形 为正方形，依题意，知D与F重合，点 的坐标为（1，1）；以为中心分别作点F，点C点的对称点 ，连接，则四边形是正方形，则点的坐标为（-1，2）；延长到使，作于点，则四边形是正方形，则的坐标为（1，4）；取的中点，的中点，则为正方形，则的坐标为， 综上所述，点N的坐标为：19.（2022鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，RtOAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA=6，斜边OB=10，点P为线段AB上一动点 （1）请直接写出点B的坐标；（2）若动点P满足POB=45，求此时点P的坐标；（3）如图2，若点E为线段OB的中
20、点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将APE折叠，点A的对应点为A，当PAOB时，求此时点P的坐标；（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF=2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积【答案】（1）解：在RtOAB中，点B的坐标为（8，6）；（2）解：连接OP，过点P作PQOB于点Q，如图，POB=45，OPQ=45，POB=OPQ，PQ=OQ，设PQ=OQ=x，则BQ=10-x，在RtOAB中，在RtBPQ中，解得，在RtPOQ中，在RtAOP中，点P的坐标为（，6）；（3）解：令PA交OB于点D，
21、如图，点E为线段OB的中点，设，则，由折叠的性质，可得，在Rt中，即，解得，即，点P的坐标为（，6）；（4）解：以点F为圆心，OF的长为半径画圆，与AB的交点即为点P，再将线段FP绕点F顺时针方向旋转60得线段FG，连接OG，此时OG最小，如图，由题可知，在中，是等边三角形，OG的最小值为4，线段FP扫过的面积=20.（2022江汉油田、潜江、天门、仙桃）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点C，线段轴，交该抛物线于另一点B（1）求点B的坐标及直线的解析式：（2）当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，且求m的值：（3）平移抛物线，使其顶点始终在直线上
22、移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围【答案】（1）解：，顶点坐标A（1，-4），对称轴x=1，当x=0时y=-3，即C（0，-3），点B、C关于对称轴x=1对称，则B（2，-3），设直线AC：y=kx+b，由A（1，-4），C（0，-3），可得，解得：直线AC为：y=-x-3；（2）解：当m+21时，即m-1时，x=m时取最大值，x=m+2时取最小值，解得：，不符合题意；当m+21且m1，1-mm+2-1时，即-1m0时，x=m时取最大值，x=1时取最小值，解得：m=，或m=（舍去），当m+21且m1，1-mm+2-1时，即0
23、m1时，x=m+2时取最大值，x=1时取最小值，解得：m=，m=（舍去），当m1时，x=m+2时取最大值，x=m时取最小值，解得：，不符合题意；m=0时，二次函数在0x2上最大值-3，最小值-4，-3-（-4）=1不符合题意；综上所述：m=或m=；（3）解：由题意作图如下，过点A作直线AEBC于E，作直线AFy轴于F，由A（1，-4）、B（2，-3）可得直线AB解析式为：y=x-5，C（0，-3），F（0，-4），E（1，-3），AF=1，AE=1，CF=1，CE=1，AEC=90，四边形AECF是正方形，CAE=CAF=45，根据对顶角相等，可得当点A沿直线AC平移m长度时，横坐标平移mco
24、s45，纵坐标平移mcos45，即点A沿直线AC平移时，横纵坐标平移距离相等，设抛物线向左平移m单位后，与直线AB只有1个交点，则令=0，解得：m=，n=1-=，由图象可得当抛物线由点A向右平移至左半部分过点B时，与射线BA只有一个交点，设抛物线向右平移m单位后，左半部分过点B，则B（2，-3）在抛物线上，解得：m=0（舍去）或m=3，1n4，综上所述n=或1n4；21.（2022恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点（1）直接写出抛物线的解析式（2）如图，将抛物线向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y
25、轴交于点C判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由（3）直线BC与抛物线交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由（4）若将抛物线进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标【答案】（1）解：抛物线与y轴交于点抛物线解析式为（2）以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：的顶点坐标为依题意得，平移后的抛物线解析式为令，解得令，则，即以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形（3）存在，或，理由如下，是等腰直角三角形设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，联立解得，是等腰直角三角形，设直线的解析式为,直线的解析式为当时， 设的解析式为，由NT过点则解得的解析式为，令解得，当时，则即解得综上所述，或（4）如图，作，交轴于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，作于直线的解析式为设与平行的且与只有一个公共点的直线解析式为则整理得：则解得直线的解析式为，即拋物线平移的最短距离为，方向为方向把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标平移后的顶点坐标为，即
