1、12第三章第三章 空间力系空间力系 31 空间汇交力系空间汇交力系 32 力对点的矩与力对轴的矩力对点的矩与力对轴的矩 33 空间力偶空间力偶 34 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主矩主矢和主矩 35 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程 36 重心重心3第三章第三章 空间力系空间力系第三章第三章 空间力系空间力系空间力系：空间力系：本章将研究空间本章将研究空间力系的简化力系的简化和和平衡平衡问题。问题。与平面力系一样，空间力系分为：与平面力系一样，空间力系分为：空间汇交力系；空间汇交力系；空间力偶系；空间力偶系；空间任意力系。空间任意力系。迎迎 面面风风 力力
2、侧侧 面面风风 力力b是指力系的各力的作用线不在同一平面内的力是指力系的各力的作用线不在同一平面内的力系。空间力系是最一般的力系。系。空间力系是最一般的力系。(a)图为空间汇交力系；图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系图为空间任意力系(b)图中去了风力为空间平行力系。图中去了风力为空间平行力系。4 力在空间的表示：力在空间的表示：力的三要素：力的三要素：大小、方向、作用点大小、方向、作用点(线线)大小大小：作用点作用点：在物体的哪点就是哪点：在物体的哪点就是哪点 方向方向：由由、g g三个方向角确三个方向角确,定由仰角定由仰角 与俯角与俯角 来确定。来确定。gFxyOFF 3-1 空间汇交
3、力系空间汇交力系由仰角由仰角 与俯角与俯角 来确定。来确定。53-1 空间汇交力系空间汇交力系1.1.力在直角坐标轴上的投影力在直角坐标轴上的投影1）一次投影法（直接投一次投影法（直接投影法）影法）则由力在轴上的投影定义，可直接将力则由力在轴上的投影定义，可直接将力F投影在投影在正交正交坐标系坐标系Oxyz三轴上。在各轴上的投影为三轴上。在各轴上的投影为coscoscos(3 1),xyzFFFFFF第三章第三章 空间力系空间力系 如图，若已知如图，若已知力与正交力与正交坐标系坐标系OxyzOxyz三轴正向间三轴正向间的夹角的夹角、。63-1 空间汇交力系空间汇交力系第三章第三章 空间力系空间
4、力系2）二次投影法（间接投影法）二次投影法（间接投影法）当力与轴当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定正向夹角不易确定时，可先将时，可先将 F 投影到坐标平面投影到坐标平面xy上，得上，得Fxy，再将，再将Fxy投影到投影到x,y轴上，于是投影轴上，于是投影的大小为：的大小为：g g g g g g cosFFsinsinFsinFFcossinFcosFFZxyyxyx )23(注意：注意：空间力在轴上的投影是代数量，而在平面上的投空间力在轴上的投影是代数量，而在平面上的投影则是矢量影则是矢量。所以，。所以，Fxy是矢量。是矢量。7FFFFFFzyxgcos;cos;cos222zyxFFFF已
5、知坐标轴上的投影求合力已知坐标轴上的投影求合力其中其中、分别为分别为F与三个坐标轴的夹角与三个坐标轴的夹角大小大小方向方向第三章第三章 空间力系空间力系8力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分解 若以若以 表示力沿直角表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：坐标轴的正交分量，则：zyxFFF,zyxFFFFkFFjFFiFFzzyyxx,kFjFiFFzyxFxFyFz第三章第三章 空间力系空间力系91）空间汇交力系的合力）空间汇交力系的合力第三章第三章 空间力系空间力系1 几何法：几何法：合力为空间力多边形的封闭边；作用点过汇交点。合力为空间力多边形的封闭边；作用点过汇交点。2 解析法：解析法：各力在三个
6、正交坐标轴上的投影，再计算合力。各力在三个正交坐标轴上的投影，再计算合力。RxixxFFFRyiyyFFFRzizzFFFRiFF空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力 大小：大小：222()()()RxyzFFFFcos(,)xRRFF iF 方向：方向：cos(,)yRRFF jF cos(,)zRRFF kF2.空间汇空间汇交力系的合力与平衡条件系的合力与平衡条件10第三章第三章 空间力系空间力系2）空间汇交力系的平衡条件）空间汇交力系的平衡条件平衡方程平衡方程2 解析解析条件：1 几何几何条件：为该力系的力多边形自行封闭。力多边形自行封闭。0iRFF充要条件：充要条件：力系的合力为零，力
7、系的合力为零，即：即：Fx=0 Fy =0 Fz =0 说明：说明：1）当空间汇交力系平衡时，该力系在任何平面上的投影得到的平 面汇交力系也一定平衡。2）投影轴可以任意选取，但三个轴不能共面，三个轴中的任意 两个也不能相互平行。三个未知量三个未知量2.空间汇空间汇交力系的合力与平衡条件系的合力与平衡条件11例例 3-1:已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受的已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受的力力F 的三个正交分量的三个正交分量 Fx，Fy，Fz的大小各为的大小各为4.5 kN，6.3 kN，18 kN，试求力试求力F 的大小和方向的大小和方向.23,919.06.1918F
8、Fcos1.71,322.06.193.6FFcos7.76220.06.195.4FFcoszyxg gg g ，力力F 的方向余弦，及与坐标轴的夹角为的方向余弦，及与坐标轴的夹角为第三章第三章 空间力系空间力系kN 6.19FFFF2z2y2x 力力F 的大小的大小解：由题知：解：由题知：kN18F;kN3.6F;kN5.4Fzyx 12kN 25FFFF2z2y2x 1)力力 F 的大小为的大小为3F(i4j5k)kN例例 3-2:已知力沿直角坐标轴的解析式为已知力沿直角坐标轴的解析式为 ,试求这个力的大小和方向，并作图表示。试求这个力的大小和方向，并作图表示。2)力力 F 的方向余弦以
9、及与坐标轴的夹角为的方向余弦以及与坐标轴的夹角为;3cos F,i0.424F,i64.95 24cos F,j0.566 F,j55.555 25cos F,k0.707;F,k180451355 2 第三章第三章 空间力系空间力系3)F的图形：的图形：如图所示，力如图所示，力F是是以以Fx=3kN;Fy=3kN;FZ=3kN为楞的为楞的长方体的对角线。长方体的对角线。解：解：由已知条件，和力的解析式由已知条件，和力的解析式xyzF iF jF k FxyzF3 kN,F4 kN,F5 kN 得，得，13例例 3-3:在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投影在刚体上作用着四个汇交力，它
10、们在坐标轴上的投影如下表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。如下表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。12025,101551030,34126 kN kN kN kN kN kN kN kN kN kN kN kN kN kN kNxyzFFF由上表得由上表得解解：F1F2F3F4单位Fx1202kNFy1015510kNFz3412kN静力学静力学第三章第三章 空间力系空间力系14kN 31kN 6305222RF所以合力的大小为所以合力的大小为RRR5306cos,cos,cos,313131FiFjFk RRR,83.7,14.6,78.8F iFjFk 合力的方向余弦为合力的方向
11、余弦为合力合力FR 与与x，y，z 轴间夹角轴间夹角kN 6kN 2kN 1kN 4kN 3,kN 30kN 10kN 5kN 15kN 10,kN 5kN 2kN 0kN 2kN 1zyxFFF静力学静力学第三章第三章 空间力系空间力系15例例 3-4直杆直杆OA、OB、OC用光滑球铰链连接成支架，如图所示。用光滑球铰链连接成支架，如图所示。平面平面ABC和平面和平面AOD都是铅直的，而且相互垂直。在球铰链都是铅直的，而且相互垂直。在球铰链O上上挂有重量挂有重量G=5kN的重物，略去杆重。求三根杆所受力的大小，并的重物，略去杆重。求三根杆所受力的大小，并说明其受拉或受压。说明其受拉或受压。解
12、：分析解：分析O点，受力如图点，受力如图 Fz=0 Fx=0G +FOAsin =0FOBsin -FOCsin =0FOA=-6.25kN(压压)FOB=FOCABCDOG240320320320FOBFOAFOCGzyx 16 Fy=0-2FOBcos -FOAcos =0 cos =cos FOB=-FOA/2=3.125 kN(拉拉)ABCDOG240320320320FOBFOCzyx FOA17第三章第三章 空间力系空间力系183-2 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩1.力对点的矩以矢量表示力对点的矩以矢量表示力矩矢力矩矢 如图，如图，以以 r 表示表示O力力F作用点的
13、矢径，则力作用点的矢径，则力F对点对点O的矩可以写为的矩可以写为)83(Fr)F(MO 第三章第三章 空间力系空间力系1）19第三章第三章 空间力系空间力系 sin2oABDMFrFFrFdS 20第三章第三章 空间力系空间力系2）式中：式中：单位矢量前面单位矢量前面的系数的系数就是就是 MO（F）在在x,y,z轴上的投影轴上的投影，所以所以由矢径和力的解析表达式由矢径和力的解析表达式kjiFkjirzyxFFFzyx可得力矩矢的解析形式可得力矩矢的解析形式kjikjiFrFM)()()()(xyzxyzzyxOyFxFxFzFzFyFFFFzyxxyzOzxyOyzxOyFxFxFzFzFy
14、F)()()(FMFMFM21第三章第三章 空间力系空间力系FxFyFz xyZF iFjF kFrx iy jzkzdxyABrF OMFMO(F)=r F=(yFz-z Fy)i+(zFx-x Fz)j+(xFy-y Fx)k22第三章第三章 空间力系空间力系2.力对轴的矩力对轴的矩FOxyFzF力对轴之矩等于此力在垂直于轴的平面上的投影力对轴之矩等于此力在垂直于轴的平面上的投影矢量对轴与这平面的交点的距矢量对轴与这平面的交点的距。力对物体绕轴转动效果的度量力对物体绕轴转动效果的度量空间力对轴之矩空间力对轴之矩=平面力对点之矩平面力对点之矩23第三章第三章 空间力系空间力系z2zoxyxy
15、OABMFMFFdS FMz24 2）力沿作用线移动，则力对某轴矩不变。）力沿作用线移动，则力对某轴矩不变。1）力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零轴的矩为零。()()zOxyxyM FM FFh25空间力系合力对某一轴之矩等于力系中各力系各分力对同一空间力系合力对某一轴之矩等于力系中各力系各分力对同一轴之矩的代数和。轴之矩的代数和。)()(izRzFMFM应用：应用：将力将力 沿空间轴分解沿空间轴分解 再计算各分力对轴之矩，进再计算各分力对轴之矩，进而得到该力对各轴之矩。而得到该力对各轴之矩。FzyxFFF26()()
16、()()xxxxyxzzyMFMFMFMFFyFz()()()()yyxyyyzxzMFMFMFMFFzFx 3.力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 ()zyxMFFxFy()()OzyxxMFyFzFMF()()OxzyyMFzFxFMF()()OyxzzMFxFyFMF 力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影(如：如：Mo(F)x)，等于此力对该轴的矩等于此力对该轴的矩(如如：Mx(F)。27第三章第三章 空间力系空间力系)(222143|)F(M|)F(M)k,M,cos(|)F(M|)F(M)j,M,cos(|)F
17、(M|)F(M)i,Mcos()F(M)F(M)F(M(F)MOxOOxOOxOzyxO 如果已知力对通过点如果已知力对通过点O直角坐标轴直角坐标轴x,y,z的矩：的矩：Mx,My,Mz，则可求得过点则可求得过点O的力矩的力矩MO的大小，方向。的大小，方向。力对点的矩的大小，方向力对点的矩的大小，方向28教材教材P85，例，例3-4:手柄手柄ABCE在平面在平面Axy内，在内，在D处作用一个力处作用一个力F，如图所示，它在垂，如图所示，它在垂直于直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为轴的平面内，偏离铅直线的角度为。如果。如果CD=a，杆杆BC平行于平行于x轴，杆轴，杆CE平平行于行于y轴，轴，A
18、B和和BC的长度都等于的长度都等于l。试求力。试求力F 对对x，y和和z三轴的矩。三轴的矩。解解1 解析法解析法：根据式根据式(3-12)求解求解 cosFF;0F;sinFF0z;aly;lxzyx 由式由式(3-12)得得第三章第三章 空间力系空间力系allxyzzxyyzxyFxF)F(M123xFzF)F(MzFyF)F(M )(力力F 作用点坐标，沿坐标轴投影分别为：作用点坐标，沿坐标轴投影分别为：cos)al(F00)cosF)(al(zFyF)F(Myzx cosFl)cosF()l(sinF0 xFzF)F(Mzxy sin)al(FsinF)al(0lyFxF)F(Mxyz
19、29解解2：合力矩定理合力矩定理，即 zcosFF;0F;sinFF1yx ）各分力大小：第三章第三章 空间力系空间力系2)根据合力矩定理，右手螺旋法则根据合力矩定理，右手螺旋法则确定正负号确定正负号，得得 )(cosFllcosF00)F(M)F(M)F(M)F(Mzyyyxyy sin)al(F00)al(sinF)F(M)F(M)F(M)F(Mzzyzxzz Fz与z轴平行，力矩为零。cosalFalcosF00)F(M)F(M)F(M)F(Mzxyxxxx 注意到：注意到：Fx与与y轴相交，力矩为零。轴相交，力矩为零。教材教材P85，例，例3-4:手柄手柄ABCE在平面在平面Axy内，
20、在内，在D处作用一个力处作用一个力F，如图所示，它在垂，如图所示，它在垂直于直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为轴的平面内，偏离铅直线的角度为。如果。如果CD=a，杆杆BC平行于平行于x轴，杆轴，杆CE平平行于行于y轴，轴，AB和和BC的长度都等于的长度都等于l。试求力。试求力F 对对x，y和和z三轴的矩。三轴的矩。all)F(M)F(M)F(M)F(Mzyyyxyy 30第三章第三章 空间力系空间力系习题习题1 1如图所示，长方体边长分别为如图所示，长方体边长分别为a a，b b，c c，沿其对角线作用一，沿其对角线作用一力力F F，试求该力分别对，试求该力分别对x x，y y1 1，z z
21、轴的矩。轴的矩。AzxDFxy1yzBcabOFFzFy解：解：1 1、将力分解为三个分力、将力分解为三个分力 FcbacFFcbabFFcbaaFzyx22222222231第三章第三章 空间力系空间力系2 2、根据合力矩定理计算、根据合力矩定理计算222)()(cbabcyFzFyFFMzyzxAzxDFxy1yzBcabOFFzFy 222)()(cbaabyFyFzFFMxxyz2221111)()(cbaacxFxFzFFMzzxy 323 33 3 空间力偶空间力偶1.1.力偶矩以矢量表示力偶矩以矢量表示,力偶矩矢力偶矩矢1212FFFF空间力偶的三要素空间力偶的三要素（1 1）大
22、小：力与力偶臂的乘积；大小：力与力偶臂的乘积；（3 3）作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。（2 2）方向：转动方向；方向：转动方向；33BAMrF342.2.空间力偶的等效定理空间力偶的等效定理 空间力偶的等效定理空间力偶的等效定理：作用在同一刚体上的两个力偶，：作用在同一刚体上的两个力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。实例实例35 空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不改变力偶对刚体的作用效果改变力偶对刚体的作用效果.只要保持力偶矩矢不变，力偶只要保持力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任意
23、移转，且可可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果偶臂的长短，对刚体的作用效果不变不变.力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量36三力偶系的合成与平衡条件三力偶系的合成与平衡条件111222,.,nnnMrF MrFMrF=iMMM为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.37222()()()xyzMMMM合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦,xxyyzzMMMMMM-称为空间力偶系的平衡方程称为空间力偶系的平衡方程.000 xyzMMM0M 空间力偶系平衡的充分必要条件
24、是空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即合力偶矩矢等于零，即 cosxMMcosyMMcoszMMg38已知：在工件四个面上同时钻已知：在工件四个面上同时钻5 5个孔，每个孔所受切削力偶矩均个孔，每个孔所受切削力偶矩均为为80N80Nm m。求工件所受合力偶的矩在求工件所受合力偶的矩在x x，y y，z z轴上的投影轴上的投影MxMx，MyMy，MzMz，并求合力偶矩矢的大小和方向。，并求合力偶矩矢的大小和方向。把力偶用力偶矩矢把力偶用力偶矩矢表示，平行移到点表示，平行移到点A.mN1.19345cos45cos543MMMMMixxmN802MMMiyymN1.19345co
25、s45cos541MMMMMizz例例3-53-5解：解：39mN 6.284222zyxMMMM所以合力偶矩矢的大小所以合力偶矩矢的大小6786.0cos2811.0,cos6786.0,coskMjMiM,合力偶矩矢的方向余弦合力偶矩矢的方向余弦40求求:轴承轴承A,B处的约束力处的约束力.例例3-63-6已知：两圆盘半径均为已知：两圆盘半径均为200mm，AB=800mm，圆盘面圆盘面O1垂直于垂直于z轴，圆盘面轴，圆盘面O2垂直于垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N，F2=5N，构件自重不计，构件自重不计.取整体，受力图如图所示取整体，受力图如图所示.0
26、xM0zMN5.1BxAxFFN5.2BzAzFF08004002BzFF08004001BxFF解：解：413 34 4 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主矩主矢和主矩一一.空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化iiFF()iOiMMF空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系.42RixyzFFF iF jF k 主矩主矩()OiOiMMMF()()()OxyzMMF iMFjMF k主矢主矢空间力偶系的合力偶矩空间力偶系的合力偶矩由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有空间汇交力
27、系的合力空间汇交力系的合力43 有效推进力有效推进力RxF飞机向前飞行飞机向前飞行RyF 有效升力有效升力飞机上升飞机上升RzF 侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移OxM 滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕x x轴滚转轴滚转OyM 偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯OzM 俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头44 合力合力ROdMF合力合力.合力作用线距简化中心为合力作用线距简化中心为二空间任意力系的简化结果分析（最后结果）二空间任意力系的简化结果分析（最后结果）RR0,0,OOFMFMR0,0OFM 过简化中心合力过简化中心合力RR()()OOOMdFMFMF合力矩定理：合力对某点合力矩定理：合力对某点(轴）
28、之矩等于各分力对同一点（轴）轴）之矩等于各分力对同一点（轴）之矩的矢量和之矩的矢量和.45合力偶合力偶一个合一个合力偶力偶，此时与简化中心无关。，此时与简化中心无关。R0,0OFM 力螺旋力螺旋中心轴过简化中心的力螺旋中心轴过简化中心的力螺旋OOMFMF/,0,0RR46474849既不平行也不垂直既不平行也不垂直RR0,0,OOFMF M力螺旋中心轴距简化中心为力螺旋中心轴距简化中心为RsinOMdF平衡平衡平衡平衡R0,0OFM 503 35 5 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件：空间任意力系平衡的充要条件：一一.空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平
29、衡方程000 xyzFFF000 xyzMMM 空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零个坐标轴的矩的代数和也等于零.该力系的主矢、主矩分别为零该力系的主矢、主矩分别为零.51三三.空间约束类型举例空间约束类型举例000zxyFMM二二.空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程52静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系53静力学静力学第四章第四章 空间力系空间力系54静力学静力学第四章第四章 空间力系
30、空间力系空间固定端约束55例例3-83-8 已知：已知：P=8kN,110kN,P 各尺寸如图各尺寸如图求：求：A、B、C 处约束力处约束力研究对象：小车研究对象：小车列列平衡方程平衡方程0zF01DBAFFFPP 0FMx10.21.220DPPF 0FMy06.02.16.08.01DBFFPP5.8kN,7.777kN,4.423kNDBAFFF解：解：56例例3-93-9已知：已知：2000N,F,212FF,60,30各尺寸如图各尺寸如图求：求：21,FF及及A、B处约束力处约束力研究对象，曲轴研究对象，曲轴列平衡方程列平衡方程0 xF 060sin30sin21BxAxFFFF 0
31、yF00 解：解：57 0zF060cos30cos21BzAzFFFFF 0FMx040020020060cos20030cos21BxFFFF 0FMy0212FFDRF 0FMz12(sin30sin60)2004000BxFFF58123000N,6000N,FF1004N,9397N,AxAzFF 3348N,1799N,BxBzFF 5960例例3-103-10已知：已知：4.25N,xF 6.8N,yF 17N,zF,36.0FFr50mm,R 30mmr 各尺寸如图各尺寸如图求：求：（2 2）A、B处约束力处约束力（3 3）O 处约束力处约束力,rF F(1)(1)610 xF
32、0txAxBxFFFF0yF0yByFF0zF0rzAzBzFFFF 0FMx 0FMy0trFRFz研究对象研究对象1 1：主轴及工件，受力图如图：主轴及工件，受力图如图03038876)76488(tyxBxFFFF038876)76488(rzBzFFF 0FMz又：又：,36.0trFF kN2.10tFkN67.3rFkN64.15AxFkN19.1BxFkN8.6ByFkN2.11BzF解：解：62研究对象研究对象2 2：工件受力图如图：工件受力图如图,列平衡方程列平衡方程0 xF0 xOxFF0yF0yOyFF0zF0zOzFF 0FMx0100 xZMF 0FMy030yZMF
33、 0FMz030100zyxMFF4.25kN,6.8kN,17kNOxOyOzFFF 1.7kN m,0.51kN m,0.22kN mxyzMMM 63例例3-113-11已知：已知：F、P及各尺寸及各尺寸求：求：杆内力杆内力研究对象，长方板研究对象，长方板,列平衡方程列平衡方程 0ABMF 026PaaF62PF 0AEMF 05F 0ACMF 04F 0EFMF 022216baabFPaaF01F 0FGMF 022bFPbFbPF5.12 0BCMF 045cos232bFPbbFPF223解：解：643 36 6 重重 心心1.1.平行力系中心平行力系中心1）概念概念：平行力系的
34、中心是平行力系的平行力系的中心是平行力系的合力合力FR作用点。如图所示的点作用点。如图所示的点C C。2211CFrFrFr R如果令如果令F0是力作用线方向的单位矢量，则是力作用线方向的单位矢量，则上式可改写为上式可改写为2）合力作用点的矢径）合力作用点的矢径0220110CFFrFFrFFr R于是可得于是可得212211R2211CFFrFrFFrFrFr 取各力的矢径，由合力矩定理取各力的矢径，由合力矩定理iiiORROFr)F(MFr)F(M 得得65)273(FrFFrFrFrFriiiRnn2211C 将此结果推广到任意多个平行力系的情形将此结果推广到任意多个平行力系的情形，得，
35、得3）投影式）投影式：将上式投影到直角坐标系得)283(FzFz,FyFy,FxFxiiCiiCiiC RRR 显然，显然，合力作用点的矢径 ，仅与各平行力系的大小和作用点的位置有关，而与平行力的方向无关。Crr662.2.重心重心1)重心的概念重心的概念 地球的半径很大，地球表面的物体的的重力可以看成为平行力系，所以，此平地球的半径很大，地球表面的物体的的重力可以看成为平行力系，所以，此平行力系的中心就是行力系的中心就是物体的重心物体的重心。物体的重心有确定的位置，与其空间位置无关。物体的重心有确定的位置，与其空间位置无关。均质物体的重心坐标公式均质物体的重心坐标公式：由式：由式(3-29)
36、得得2)重心的坐标公式重心的坐标公式根据式根据式(3-28)，将物体分为若干部分，设，将物体分为若干部分，设i部分的重力为部分的重力为Pi，中心为（，中心为（xi,yi,zi）,带带入得入得)293(PZPz,PyPy,PxPxiiiCiiiCiiiC ,i iVi iVCCiixdVydVVxVyxyVVVV(3 30),i iVCiizdVVzzVVVV67ddd,iiliili ilCCCx ly lz ll xl yl zxyzllllll均质物体的重心就是几何中心均质物体的重心就是几何中心,即即形心形心。均质等截面细长杆的重心坐标公式均质等截面细长杆的重心坐标公式ddd,i ii i
37、i iAAACCCix Ay Az AAxAyAzxyzAAAAAA均质等厚薄板（壳）的重心坐标公式均质等厚薄板（壳）的重心坐标公式：683.3.确定物体重心的方法确定物体重心的方法1）简单几何形体的重心）简单几何形体的重心具有对称面，轴和中心的物体具有对称面，轴和中心的物体：重心就在对称面，轴：重心就在对称面，轴上，或对称中心上上，或对称中心上。对于常见简单几何形体，重心位置可以直接查表，无需计对于常见简单几何形体，重心位置可以直接查表，无需计算。算。见教材见教材P100表表3-2。2)组合法求重心组合法求重心如果一物体由几个重心位置已知的物体组合，则可用组合法如果一物体由几个重心位置已知的
38、物体组合，则可用组合法求该物体的重心。求该物体的重心。求组合体重心的方法有：分割法；负面积（体积）法。求组合体重心的方法有：分割法；负面积（体积）法。69例例3-123-12求：其重心坐标求：其重心坐标已知：均质等厚已知：均质等厚Z Z字型薄板尺寸如图所示字型薄板尺寸如图所示.则则用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与坐标分别为用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与坐标分别为厚度方向重心坐标已确定，只求重心的厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x,y坐标即可坐标即可.115mmx 145mmy21300mmA25mmx230mmy22400mmA315mmx35mmy23300mmA112233
39、1232mmiiCAxAxA xA xxAAAA 11223312327mmiiCA yA yA yA yyAAAA 解解:7012344(),033Rrbyyy 由由iiCAyyA222123,(),22AR Ar bAr0Cx由对称性，有由对称性，有用负面积法，为三部分组成用负面积法，为三部分组成.例例3-133-13求：其重心坐标求：其重心坐标.已知：等厚均质偏心块的已知：等厚均质偏心块的100mm,17mm,13mmRrb得得11223312340.01mmCA yA yA yyAAA解：解：71a)悬挂法悬挂法b)称重法称重法3)实验法：实验法：72称重法称重法1CP xF l1CF
40、xlP则则有有2CFxlP22211CFFzrlHPH cosllcossinCCxxhsinHl22coslHl73例如例如：如图，求：如图，求L形截面的重心坐标。形截面的重心坐标。)mm(7.19107012010)3510()1070(5)12010(AAzAzAAzAz212c21c1ciic 解解1：分割法：分割法：由式（3-30a）得得801201010zyoA1A2)mm(7.391070120105)1070(60)12010(AAyAyAAyAy212c21c1ciic 74解解2：负面积法：负面积法112212(80 120)40(70 110)(10 35)19.7()80 120 70 110i cicccAzAzA zzAAAmm 112212(80 120)60(70 110)(10 110/2)39.7()80 12070 110icicccA yA yA yyAAAmm zy2C1C0C801201010A1A275祝大家学习愉快！祝大家学习愉快！
