1、第8章1第8章 混杂控制系统第8章2第8章 混杂控制系统混杂系统涵盖的系统范围极广，目前似乎还没有一个明确的定义，较为广泛的一类混杂系统是指由事件-时间或者时间-事件驱动的一类动态系统。这类系统具有很强的物理背景，如太阳能接收器、飞行目标跟踪、航天飞行器的容错控制以及制造系统中的最优控制等。其研究成果与控制工程中的实际问题密切相关，引起了国内外科学家的广泛兴趣，虽然已有大量的研究工作，但仍是一个较新的科学前沿，它的系统理论（尤其是在混合非线性系统方面）和有效方法尚待完善和发展。第8章3了解混杂系统产生背景、概念、特点、分类以及基本结构的基础上，学习掌握目前常用的几种建模方法以及几种典型的混杂系
2、统模型的等价性，着重分析混杂系统的稳定性和优化控制。第8章4 8.1.1混杂系统的基本概念及特点混杂系统是由连续变量动态系统和离散变量动态系统相互混杂、相互作用而形成的统一的动态系统。系统中既包含了符合牛顿力学因果律的连续动态系统，又包含了遵从优化决策信息逻辑原则的离散事件动态系统，而且两者之间处在一种强相互作用的制约机制中。一般而言，混杂系统主要具有以下特点：8.1 混杂系统概论 第8章5(1)系统内存在性质不同的两类变量，一类是离散事件状态变量，它是符号变量，其演化由事件驱动；另一类是连续时间或离散时间状态变量，它是数值变量，其演化由时间驱动。(2)整个系统的状态演化由时间和事件共同驱动，
3、动态特征显著。(3)连续时间或离散时间变量穿越阈值触发离散事件的产生。(4)离散事件的发生使离散事件状态使能或失能。(5)离散事件状态的变化改变连续时间或离散时间变量演化的动态行为模式。(6)离散事件发生在离散时刻，具有顺序、选择、并发等特色。(7)对系统的控制表现为对离散事件状态和连续时间或离散时间状态的集成控制。(8)对系统的优化表现为在定性和定量双重指标下的集成优化。第8章68.1.2混杂系统模型分类从不同的角度，混杂系统有下面几种分类方法。1）按照混杂系统所包含的时间状态变量类型）按照混杂系统所包含的时间状态变量类型 (1)连续混杂系统，它是指由离散事件系统与连续时间系统构成的混杂系统
4、。(2)离散混杂系统，它是指由离散事件系统与离散时间系统构成的混杂系统。2）按照混杂系统是否包含非线性连续时间）按照混杂系统是否包含非线性连续时间(或离散时间或离散时间)动态动态 (1)线性混杂系统，它是指由离散事件系统和线性连续时间(或离散时间)系统构成的混杂系统。(2)非线性混杂系统，它是指由离散事件系统和非线性连续时间(或离散时间)系统构成的混杂系统。第8章73）按照离散事件状态转移时连续时间）按照离散事件状态转移时连续时间(或离散时间或离散时间)状态是否状态是否发生变化发生变化 (1)含状态跳变的混杂系统。这类混杂系统在离散事件状态转移时，不仅其连续时间(或离散时间)动态行为模式会发生
5、改变，其连续时间(或离散时间)状态也会按照一定规律发生跳变，而且时间状态的跳变与离散事件状态的转移同步。对于含状态跳变的连续混杂系统来说，其连续时间状态轨迹在离散事件状态切换时刻不连续。(2)不含状态跳变的混杂系统。这类混杂系统在离散事件状态转移时，只有其连续时间(或离散时间)动态行为模式会发生改变，而连续时间(或离散时间)状态在离散事件状态转移的时刻不会发生变化。对于不含状态跳变的连续混杂系统来说，其连续时间状态轨迹在离散事件状态切换时刻连续。第8章8 4）按照混杂系统是否包含不确定性）按照混杂系统是否包含不确定性 分为确定性混杂系统和不确定混杂系统。不确定混杂系统是混杂系统鲁棒控制理论的研
6、究对象。如果一个混杂系统的连续时间(或离散时间)子系统的参数是不确定的，那么该混杂系统称为参数不确定混杂系统。5）按离散事件和连续变量相互作用的类型）按离散事件和连续变量相互作用的类型 可把混杂系统分为切换型、水箱型、集中控制型、旅行商型（TSP）、递阶型、仿真语言型和混杂自动机或混杂Petri网等多种类型。(1)切换型：切换型混杂系统是按离散事件机制选择连续变量部分模型的一类混杂系统，切换机制可有不同形式，切换前后系统服从不同的微分方程或差分方程，但状态始终为连续。研究重点涉及切换系统的稳定性，研究的基本手段是李亚普诺夫方法。第8章9 (2)水箱型：水箱型混杂系统是针对制造系统和数据通讯等网
7、络问题的一类混杂系统，水箱中液体的连续流动对应于网络中工件或数据的连续流动，阀门开关的调度对应于网络中工件加工和数据处理的调度。对水箱型混杂系统，影响性能的关键因素是路由选择机制和阀门开关调度策略，主要研究问题是调度策略的稳定性和实时性。(3)集中控制型：集中控制型混杂系统是属于单个控制中心控制多个连续对象的一类混杂系统。它可看成为一种特定的切换型混杂系统。主要的研究问题是控制中心选择被控连续对象的调度策略以及调度策略的稳定性。(4)旅行商型：旅行商型混杂系统是按TSP即旅行商问题形式控制点-点运动的一类混杂系统，点-点运动由连续动态过程决定，点-点访问顺序归结为TSP问题，而以最小的时间代价
8、来遍历访问所有的点是目标。对于这类混杂系统，需要综合考虑连续运动过程和离散点的访问顺序，主要的研究问题是最优调度策略问题，包括调度策略和优化算法。第8章10 (5)递阶型：递阶型混杂系统属于时间和空间具有明显层次的一类混杂系统，采用递阶的建模和分析方法，把系统化为若干个层面，上层向下层的输出作为下层的给定量，下层向上层的输出作为上层的观测量，不同层面只处理相应时间尺度或空间范围的问题。采用递阶思路有利于简化混杂系统的研究过程。(6)仿真语言类型：仿真语言类混杂系统模型适合描述复杂约束条件如不规则边界条件或关系型约束等混杂系统问题。仿真语言类混杂系统模型是对实际混杂系统比较接近物理模型的一种描述
9、，也便于对复杂混杂系统的指标全面进行计算机模拟，可以直接应用计算机科学中成熟的编译技术对程序进行仿真运行，可以导出系统的输入输出描述，也可以对系统的性能规范或指标进行验证。(7)混杂自动机或混杂Petri网：混杂自动机或混杂Petri网是着重描述事件驱动机制，将离散事件和连续变量置于单一框架内考虑的一类混杂系统模型。混杂自动机或混杂Petri网模型能对“事件发生对整个系统的推动作用”进行清晰的结构表征，适合于强调系统逻辑行为等的一类混杂系统。第8章11 另外，还有两类特殊的混杂系统定义如下：（1）随机混杂系统：随机混杂系统是指离散事件动态为随机过程的混杂系统。（2）切换系统：如果一个混杂系统的
10、离散事件状态的某次转移只与所对应的离散事件是否发生有关，与当前的离散事件状态无关，即离散事件过程是静态的，那么这个混杂系统称为切换系统。切换系统也可分为非线性切换系统和线性切换系统两类。非线性切换系统由静态离散事件过程和非线性连续时间系统构成；线性切换系统由静态离散事件过程和线性连续时间系统构成。第8章128.1.3混杂系统的基本结构 无论从内部结构还是从外部特征分析，混杂系统都表现出明显的非纯一特性。概括地讲，混杂系统的结构是三位一体的。如图8.1所示，混杂系统主要由三个部分构成。第8章13（1）连续时间(或离散时间)动态系统部分：一般用微分方程或差分方程描述，其动态行为模式根据上层离散事件
11、动态系统输出的控制指令发生改变。（2）离散事件动态系统部分：一般用自动机、Petri网、马尔可夫过程或某种逻辑程序语言来描述。该部分根据来自接口部分的输入信息分析连续时间(或离散时间)动态系统部分的运行状况并向其发出控制指令。（3）接口部分：主要完成离散事件动态系统部分和连续时间(或离散时间)动态系统部分之间的信息交换任务，因此，有时也称为接口信息解释器。这部分由事件触发器和模式变换器组成。第8章14 一个混杂受控系统可由事件驱动的离散操作机构、连续变量受控过程和介于这二者之间的转换接口这样三个部分的有机结合而组成的一个统一体，其开 环模型可用一个九元组表出，即：(8.1),;,;,(gfUX
12、XSCDH第8章151）事件驱动的离散操作机构(DEDS)为离散状态的有限集合，一般而言，任意 代表了在不同物理模式或控制水平下受控系统的连续状态空间的不同区域或状态子集合。为混杂受控系统的事件集合，可分解为DXDXqcu(8.2)第8章16 为一般物理事件集合，其发生条件是由连续状态的演化结果决定的，故为不能控；为控制决策事件集合，为能控。为DEDS部分的状态转移映射函数 (8.3)在事件 的驱动下，由状态 到 的转移(跃迁)可用 的转移映射关系表示为：ucDDXX:DXq 1DXq 221qq(8.4)第8章17 2）连续变量受控过程(CVDS)这部分的组成结构和常规控制系统理论中所研究的
13、对象基本一致，但在结构约束方面有所扩展。为连续变量状态空间，为对应的n维状态向量;为m维的控制空间;分别为对应的内部和外部控制向量。状态映射函数f为状态向量x(t)的向量场，即 (8.5)一般情况下可表示为 (8.6)在扩展情况下可表示为微分包含(differential inclusion)形式，即DXtx)(mRU UtuUtud)(,)(XUXf:)(),(),()(tututxftxd第8章18 (8.7)其中 为光滑或分段光滑函数，如为后者，其间断点应出现在离散事件状态转移的时刻，且 。g为状态向量x(t)发生不连续跃变的条件映射关系函数，即 (8.8)在一般情况下可表示为代数方程
14、(8.9)(),(),(),(),(),()(21tututxftututxfInclusiontxdd)(),(),(21fff)()(21ffCDCXXXg:),),()(qtxgtx第8章193）转换接口(interface)在混杂系统中，转换接口部分起着关键性的作用，因为在信号表达与处理方面有着本质差别的另外两部分的动态行为响应关系正是通过这一环节建立起来的。为从连续状态空间 到离散事件集合 的映射，即 (8.10)事实上，充当了与不同物理模式相对应连续状态的区域转换相一致的事件发生器的角色。，其中每一个 事件都和 中的某一状态区域相对应。为从离散事件状态集合 到控制空间U的映射，即
15、(8.11)CXuuCX:ku,21iCXDXUXD:第8章20 从系统的组态结构上看，映射 为一个基于离散事件状态的控制律(指令，模式)生成器。离散操作机构的决策结果正是通过这一映射关系来支配连续受控过程的动态行为。图8.1还展示出混杂受控系统中外部离散事件控制输入 和连续变量控制u(t)的制约关系，以及离散事件输出值 和连续变量输出值y(t)的耦合关系。这些端部特性和约束机制与系统的整体结构密切相关。第8章218.1.4混杂系统示例 考虑一个装有单向制冷空调器的室内温度控制问题。为室内温度；，为对空调器开关的操作；太冷，太热，适中；，。表明 处在开关操作的“on”状态；表明 处在开关操作的
16、“off”状态。RXtxC)(1C1432,U4321,UC 1,0,1iDqqX4,3,2i11q101q1第8章22 （i=2，3，4）为相应的事件发生状态为真；（i=2，3，4）为相应的事件发生状态为假。，。u(t)为连续的外部输入，代表了室外温度对室内温度的影响。若使室内温度控制在 16 24 之间，在此约束条件下，离散事件驱动的状态转移规 则如下1iq0iq)(),(),()(tututxftxd)()(DdXtu x(t)()(016)()()(124)(2111decoolingutuandqThentxIFcoolingutuandqThentxIFdddd第8章23这一室温调
17、控系统的状态演化过程可用一个混杂的自动机模型表出，如图8.2所示。图8.2 室温调控混杂自动机16),(111xuuxfxqd24),(021xuuxfxqd16x24x第8章24在这种混杂控制的机制作用下，室内温度的动态演化规律和空调器的开关状态之间的对应关系如图8.3所示 图8.3 室温变化与开关状态的对应关系第8章258.2 混杂系统模型混杂系统模型n离散事件动态系统模型(如Petri网模型，n混杂系统模型(如混杂自动机，赋时Petri网)；n混杂系统的模型(如切换系统，PWA模型，MLD模型)。第8章268.2.1 混杂自动机模型 混杂自动机模型（Hybrid Automata,HA）
18、，本质上是属于有限状态机模型，即对应每一离散的状态，存在一个特定的连续动态。混杂自动机模型H可由以下的一个八元组来表示 其中，(1)是连续状态变量集；(2)是离散状态变量集,是系统工作模态的集合；(3)是连续动态部分的控制输入；(4)是离散事件输入的有限集合；(5)表示每个离散状态对应连续状态的变化规律；(6)表示系统维持离散状态不跳变的模态不变集，即在模 态不变集内，模态不切换，系统按照连续动态过程演化；(7)为系统的模态切换区域，当系统的状态演化进入该区域时，模态切换(Switch)发生，系统的状态可能发生跳变(Jump)。),(RGInvfuQXHnRX,.,21qqQ uXXQf:)(
19、:XPQInv)(:XPEG第8章27 (8)表示系统离散状态跳变后连续变量的变化。Inv,G,R三者描述了混杂系统在离散事件驱动下的系统状态变化情况，即模态在什么条件下不切换，什么条件下切换，模态如何切换，系统的状态如何跳跃，如何从离散事件作用之前的状态转化为离散事件作用之后的新的状态。混杂系统的状态演化过程如下：给定系统的初始状态 ，给定系统的输入 ,混杂系统的连续状态 根据 的规律演化，而混杂系统的离散状态 保持不变。只要满足 ，连续状态一直按照上述的动态演化。如果在系统的状态演化过程中,满足 ，系统的工作模态就要发生切换，连续状态就有可能发生跳跃。重复以上过程，混杂系统的状态不断演化。
20、)(:XXPERQXqx),(00,uux)(),(),()(tutqtxftx)(tqInvuqx),(Guqx),(第8章28 8.2.2 分段仿射切换模型 切换模型可以看作是上述的混杂自动机模型的一种特殊情况(切换模型不包含离散事件输入，可以不包含离散状态)。分段仿射模型(PieceWise Affine,PWA)是切换模型中最为简单和最为重要的一种。切换系统是指系统包含有一系列的连续变量动态子系统，随着系统状态的不断演化，系统在不同的连续变量动态子系统之间不断地切换。连续时间PWA模型定义为 (8.12)离散时间PWA模型定义为 (8.13)iiiiiigtuDtxCtyftuBtxA
21、tx)()()()()()(itutx)()(iiiiiigkuDkxCkyfkuBkxAkx)()()()()()1(ikukx)()(第8章29 是系统的状态与输入空间的凸多面体集(Convex Polyhedra)。它可以由一系列的线性不等式表达出来。当系统的状态到达边界区域时，系统的切换发生。当控制输入 时，称为自立PWA模型。当 时，称为分段线性(PieceWise Linear,PWL)模型。连续时间PWA模型与离散时间PWA模型的区别是：连续时间PWA模型的状态演化方程在 的区域边界上连续，系统模态的切换也是连续的(指系统只能在相邻的 区域之间切换)，而离散时间PWA模型在区域边
22、界上状态的演化方程可以不连续，可以产生跳跃，系统的模态可以在任意的区域之间切换。因而基于离散时间PWA模型的混杂系统的性能分析与控制器的设计更为复杂，但是离散PWA模型的适用范围更为广泛，更为灵活。i0u0,0iigfii第8章30 PWA系统在理论上已经得到了人们较多的研究。主要原因是 (1)PWA模型是线性系统模型的一种最为“简单”的推广(虽然形式上简单，事实上表现出来的性能很复杂)。(2)PWA模型可以以任意的精确程度，用来描述系统的非线性特性，这种非线性特性既可以是光滑的，也可以是非光滑、非连续的。(3)PWA模型能够用来描述许多实际工程系统中的混杂特性。(4)混杂系统采用PWA模型，
23、可以比较方便地建立并求解系统的性能分析问题，如混杂系统的稳定性、混杂系统的可达性。第8章318.2.3混合逻辑动态模型 1）混合逻辑动态模型）混合逻辑动态模型（Mixed Logical Dynamical,MLD）概述概述 瑞士联邦工学院的Bemporad与Morari在1999年首先提出。混合逻辑动态系统是由相互依赖的物理规律、逻辑法则和操作约束所描述的系统，建模时可以用一组带不等式约束的线性动态方程描述，不等式的约束条件中同时出现实型的连续变量和整型的二进制逻辑变量。第8章32 建立混杂系统的MLD描述，首先要对生产过程中存在的物理动态特性、定性知识、操作约束等建立命题逻辑，然后将命题逻
24、辑转化为整数线性不等式。由此，线性动态系统可以用一组带有不等式约束的线性动态方程描述，而不等式约束中同时出现实型的连续变量和整型的二进制逻辑变量。混合逻辑动态模型的一般表示式为 （8.14）（8.15）（8.16）)()()()()1(321kzBkBkuBkAxkx)()()()()(321kzDkDkuDkCxky54132)()()()(EkxEkuEkzEkE第8章332）混合逻辑动态模型的数学基础）混合逻辑动态模型的数学基础 对于某一陈述如 或者温度T达到设定值等，用Xi来表示这一命题，那么这一命题有两个可能的取值就是真或者假，分别用大写字母T和F表示，在逻辑数学中可以通过逻辑运算符
25、将两个命题结合起来，如：“”(与)，“”(或)，“”（否），“”（蕴含），“”（等价于），“”（异或）等等，这些运算符的真值关系表8.1所示。0X第8章34表8.1 逻辑运算符的真值表 F F T F F T T F F T T T F T F T T F F T F F F T T T F T T T T F1x2x1 x21xx 21xx 21xx 21xx 21xx 第8章35 逻辑运算符可以用来将一个复合命题转化几个用逻辑运算符连接的简单命题，这种转化是等价并且是可逆的，逻辑运算符的定义可以用它的子集的形式来表示，例如，。下面列举一些转化形式：(8.17a)(8.17b)(8.17c)
26、2121xxxx1221xxxx)()(122121xxxxxx第8章36 对应的可以将逻辑变量联系起来，当命题为真时，取值为1；当命题为假时，取值为0，通过适当的转换，可以将原来的复合命题转化为一系列的线性等式或不等式。事实上，很容易看出，下面的命题和线性约束为等价。(8.18a)(8.18b)(8.18c)(8.18d)(8.18e)(8.18f)12121xx0121xx0121xx02121xx02121xx12121xx第8章37 在混杂系统中存在连续和逻辑部分，希望可以通过某种方法将二者联系起来。设有连续变量 和逻辑变量 ,令 ,其中 为线性函数，设 ，X为已知有界集合，并且定义
27、(8.19a)(8.19b)M,m分别表示 的上下限。容易验证 (8.20a)(8.20b)(8.20c)nRx 1,00)(xfX)(xfXx)(maxxfM)(minxfm)(xf)1(1)(10)(mxfxfMxfxf)(10)()(0)(xfxf第8章38 其中 是一个足够小的正数，引入它，适当放宽了条件，好处是命题可以转换为逻辑关系。所以通过上面的结论稍加转换可以得到下面的一些结论：(8.20d)(8.21)()(00)(mxfxf()101()(-)f xM()f(x)f xm 第8章39 当两个逻辑变量以乘积的形式出现时，需要引入一个新的辅助逻辑变量 ，这里等价关系为 ，进一步可
28、以推导出：(8.22a)213 1 1 12131003213231213第8章40 当连续函数和逻辑变量出现乘积项如 时,可以引入一个新的辅助实数变量z，令 ,可知z的取值满足 。所以通过定义式(8.19)中的M、m，获得 等价关系的另一种表述：(8.22b)以上这些等价关系是在建立混杂系统的MLD模型时需要用到的一些转换,通过这些转换可以把混杂系统中的逻辑部分转化为一系列的不等式附加在系统的状态方程后面作为其约束条件。)(xf)(xfz)(1,00 xfzz)(xfz()-(1-)()-(1-)zMzmzfxmzfxM第8章413）混合逻辑动态模型建立步骤）混合逻辑动态模型建立步骤 混合逻
29、辑动态模型建立过程可分为三步。对系统所有的逻辑约束、定性知识建立命题逻辑，命题 的真假用逻辑变量 来表示。通过合取、析取、蕴含、异或 等，将简单命题 转化为复合命题,并表示为相应二进制变量 之间的整数线性不等式的形式。例如，由条件 给出的陈述句，可建立如下命题形式 此关系可形成混合整数线性不等式 其中，为连续变量。分别表示 的上下限。iS 1,0iqSSS,21q,210)(xf10)(xf)()()1()(mxfMxfx)(min),(maxxfmxfM)(xf第8章42 逻辑变量和连续变量之间的耦合关系可通过引入连续的辅助变量 表示，并采用下式将线性函数和逻辑变量之间的乘积关系转化为混合整
30、数线性不等式的形式()zf x()()(1)()(1)()zMzmzf xzf xmzf xMMmax f x),mmin f x第8章43 通过以上转换，得到的不等式组作为系统的约束条件，同时在状态方程中引入逻辑变量和辅助变量，整个系统的描述成为混合逻辑动态模型的形式 其中状态变量 ，输出变量 ，控制变量 ，和 分别是引入的辅助逻辑变量与辅助连续变量。54132321321)()()()()()()()()()()()()()1(EkxEkuEkzEkEkzDkDkuDkCxkykzBkBkuBkAxkxlcxxxlcyyylcuuuz第8章44 MLD模型具有一般性，适合于对许多类型的动态
31、系统描述。以往提出的基于非线性系统的多模型预测控制策略。存在线性模型的协调控制以及模型切换时引起的震荡问题，引入混合逻辑动态的建模方法可将系统的所有描述集成在一个统一的框架里，有利于消除模型切换时引起的抖动，减轻震荡。对于混合逻辑动态模型的一个最基本的要求是模型的良定性(Well Posedness)，即一旦x(t)与u(t)给定，则x(t+1)与y(t)也就能够唯一地确定。因而，如果模型是良定的，只要给定 ，则x(t)与y(t)的轨迹就能够唯一地确定下来。模型的良定性也是混杂系统存在最优控制解的必要条件。通常，由真实的物理系统推导出来的混合逻辑动态模型，都能满足模型的良定性要求。基于混合逻辑
32、动态模型，能够比较方便地建立并求解系统与控制领域所关心的问题。如系统的可达行分析，控制器的综合，状态的估计，系统的故障检测等等。)1(),1(),(),(000tutututx第8章454）混合逻辑动态模型举例）混合逻辑动态模型举例 MLD的建模范围很广，具有如下特征的系统均可建立MLD模型。（1）具有分段线性的动态系统 （8.23）1)()()(1)()()()1(111tiftuBtxAtiftuBtxAtxsss第8章46 (2)具有分段线性输出的系统 （8.24）其中，下标min,max表示输出的下限和上限。maxmaxminmin)()()()()1(YyifMYyYifCxfYyi
33、fmtytButAxtx第8章47(3)具有离散输出的系统 （8.25）(4)具有量化输出的系统 （8.26）nuuututButAxtx,)()()()1(2144332211)()()()()()()()()1(TtxifhottooTtxTifhotTtxTifnormalTtxTifcoolTtxifcoldtYtButAxtx第8章48 例如，在原理上，任何非线性函数能被一个分段线性函数近似。所以通过引入一些辅助逻辑变量 ，这些系统能用MLD系统来近似。(8.27)这里 有界，表示标准的饱和函数(如图8.4)。)()()()()1(CxsattytButAxtxxx,)(sat第8章
34、49 图8.4 标准的饱和函数-111Cxz0,021120,02111)(sat第8章50 (8.28)引入以下的辅助逻辑变量 ，定义为 (8.29)1,111,1,1)(CxCxCxCxCxsat21,010111111212CxCxCxCx第8章51 通过设置 逻辑状态式(8.29)能被分别表示为 (8.30)另外 和 逻辑变量相关 (8.31)CxmCxMmin,max1)1)(1(1)1)(1(1)1(1)1(1212MCxmCxmCxMCx12000 11221第8章52 可重新写为 (8.32)引入辅助变量 ，可得 (8.33)或者等价于 (8.34)0)1(0)1(1221)(
35、Cxsatz 0021CxzCxzCxmMzCxmMz21)()(第8章53 即 (8.35)通过以上转换，可以得到（8.27）式的等价于：上式即为原分段输出系统的混合逻辑动态模型形式。1)1)(1(11)1)(1(121mzzMzzmMmMztytButAxtx11z111110000100)()()()1(21第8章548.2.4 其他主要的混杂系统模型 1)线性互补线性互补(Linear Complementarity，LC)模型模型 离散时间LC模型的一般表示式为 (8.36)记号表示两向量的正交。即为 ,称变量 ,为互补变量。LC模型起初用于包含不等式约束的机械动力学系统的建模，后来
36、推广用于描述一大类混杂系统。基于LC模型，能够方便地建立并求解混杂系统的状态演化轨迹的存在性问题与状态轨迹的唯一性问题。0)()(0)()()()()()()()()()()()1(45212121kkvgkEkuEkxEkvkDkuDkCxkykBkuBkAxkx)()(kkv0)()(kkvT)(kv)(k第8章552)扩展线性互补扩展线性互补(Extended Linear Complementarity,ELC)模型模型 离散时间 ELC模型的一般表示式为:(8.37)变量 是系统引入的辅助变量，(8.37)中最后 的等式可看作是P组以下的等式 (8.38)该模型实际上表明，（8.37
37、）中存在P组线性不等式，而在每一组的不等式中至少有一等式成立。pijjkdEkuEkxEggkdEkuEkxEkdDkuDkCxkykdBkuBkAxkxi13214432121210)()()()()()()()()()()()()()1()(kd0)()()(3214jjkdEkuEkxEgi第8章563)Max-min-plus-scaling(MMPS)模型模型 MMPS模型是2000年由Schutte和Boom 提出。通过应用最大、最小、加、标量乘等运算操作，建立一类混杂系统的模型，包含这些运算操作的表达式成为MMPS表达式。离散时间MMPS模型的一般表示式为 (8.39)其中 均为
38、MMPS表达式。ckdkukxfkdkukxfkykdkukxfkxcyx)(),(),()(),(),()()(),(),()1(cyxfff,第8章578.2.5 混杂系统模型的等价性 以上提到的各种混杂系统的建模方法，它们在描述混杂系统行为特征方面采用了不同形式，每一种建模方法，有它们各自适合的混杂系统类型。此外，不同的建模方法，在诸如求解混杂系统性能分析与控制器的设计方面，有各自的特点与便利之处。例如，基于PWA模型，能够方便地分析系统的稳定性；基于LC模型，能够方便地建立并求解混杂系统状态演化轨迹的存在性与状态轨迹的唯一性问题；基于MLD模型，能够方便地建立并求解混杂系统的优化控制，
39、状态估计，故障检测等等。然而，前面提到的六种混杂系统的模型，在一定的附加条件下存在等价关系。这些附加条件，通常不是很苛刻，如模型的正定性，系统的输入，状态以及输出变量有界等等。六种混杂系统的模型的等价关系可以用图8.5来表示(带星号，表示等价关系需要附加一定的条件)。第8章58 图8.5 混杂系统模型之间的等价关系图LCELCMLDHAPWAMMPS13791062*4*5*8*第8章59 混杂系统模型之间具有等价性，这一点在理论上具有很大的意义。(1)对于某一类混杂系统模型所建立的混杂系统的性能分析与控制器的设计理论与方法，可以方便地转化并应用于其他混杂系统的模型。(2)针对混杂系统模型的特
40、点，对于每一混杂系统的模型，可以研究特别适合用该模型去建立并求解的理论问题;(3)当需要求解混杂系统某个特定的问题时，可以考虑采用合适的混杂系统模型，基于该模型有可能建立更有效的问题求解方法。第8章608.3混杂系统优化控制与稳定性分析 所谓优化控制理论就是给出一套系统化的理论与方法来设计控制器，使得在满足系统约束条件的前提下，同时使系统的某个性能指标达到最优。对于优化控制问题的研究，人们通常的做法是用一个目标函数来表示系统的性能指标，并把优化控制问题最终转化为一个数学问题来求解。混杂系统的优化控制是混杂系统研究的一个重要课题，不同于单纯的连续变量动态系统或者离散事件动态系统，混杂系统的优化问
41、题往往是基于定性和定量双重指标下的集成优化问题。因此，混杂系统的最优控制问题的求解比普通优化问题要复杂得多，也更加困难。到目前为止，混杂系统优化控制研究的理论与方法并无实质性的重大突破，采用的优化方法，本质上还是属于在连续变量动态系统和离散事件动态系统优化中提出的方法，无非做了一些必要的修改和推广。下面就混杂系统优化控制的几种主要方法做一简单的介绍。第8章611)变分法变分法(极小值原理极小值原理)2)动态规划方法动态规划方法3)模型预测控制方法模型预测控制方法 第8章62稳定性李亚普诺夫稳定性拉格朗日稳定性稳定性分类函数方法单李亚普诺夫 函数法多李亚普诺夫 稳定性重新定义研究方法分类第8章6
42、38.3.1混杂系统的稳定性定义 假设系统为以下形式 (8.40)对于这种既有连续变量又有逻辑变量的混杂系统，借用线性系统理论的稳定性理论，有以下定义。54132321321)()()()()()()()()()()()()()()()1(EkxEkuEkzEkEkxgkfkzDkDkuDkCxkykzBkBkuBkAxkx第8章64 定义8.1 对于 ，如果 在状态空间内，且 ，使 ，则称 为系统(8.40)的平衡状态，称为平衡状态对。定义8.2 对于给定的平衡状态对 ，如果在时间 ，对于给定的任一实数 ，都对应地存在一个实数 ，使得 ，则称 稳定。,TeTeuxZttt00,eeexuxt
43、tx),(0exex),(eeux),(eeux,1,0mneRx00),(0t0tt 000eeex xx(t,t,x,x)x exex mnemneRuRx1,0,1,0第8章65 定义8.3 对于给定的平衡状态对 ，如果 是稳定的，且 ，对于任意 和 ，使得 ,则称 渐近稳定。定义8.4 对于给定的平衡状态对 ，如果 渐进稳定，而且存在 ，使得对于任意的 ，则称 指数稳定。),(eeux,1,0mneRxex0r),(00rxBx 00),(0tTeexxxttxTt),(,00ex),(eeux,1,0mneRxex10,0,0),(00rxBx etteexxxxxttx0000),
44、(ex第8章66 逻辑部分 到 的渐近稳定性等同于:在一定的 时间内，对于任意的 ，使得 。所以讨论系统的局部稳定性只需令 ，再讨论连续部分 的稳定性。即在平衡状态 的连续部分 周围存在这样一个集合:假设 在这个集合内，则系统的方程式满足 。)(txl)(txleetett lelxtx)(lelxx exexcex)(txclecxtx)(第8章67 定义8.5 假设 为系统的平衡对以及系 统为构造良好的，又假设 ，存在。对于 ，令 为相应的平衡辅助变量。对于一个变量 或z，如果当 或 ,时，使得 则称变量 或z为定义上允许的。对于线性时不变系统（8.40）式，。),(eeuxttimltt
45、imlji,jeiez,ieii,ieizzj,54132)()()()()()(EkxEkuEkzEkEkxgkfettZt第8章688.3.2基于混合逻辑动态的模型预测控制基于混合逻辑动态的模型预测控制 预测控制是一类以模型预测为基础的先进控制方法，预测控制有三个主要特征。1）预测模型。）预测模型。l 状态方程、传递函数这类传统的模型作为预测模型l 对于线性稳定对象，甚至阶跃响应、脉冲响应这类非参数模型，也可直接作为预测模型使用。l 非线性系统、分布参数系统的模型，只要具备上述功能，也可在对这类系统进行预测控制时作为预测模型使用。因此，预测控制打破了传统控制中对模型结构的严格要求，更着眼于
46、在信息的基础上根据功能要求按最方便的途径建立模型。第8章692）滚动优化。）滚动优化。l预测控制的最主要特征是在线优化。l预测控制这种优化控制算法是通过某一性能指标的最优来确定未来的控制作用的。l这一性能指标涉及到系统未来的行为，例如，通常可取对象输出在未来的采样点上跟踪某一期望轨迹的方差最小。l但也可取更广泛的形式，要求控制能量为最小而同时保持输出在某一给定范围内等。l性能指标中涉及到的系统未来的行为，是根据预测模型由未来的控制策略决定的。第8章70 3）反馈校正。）反馈校正。l预测控制算法在进行滚动优化时，优化的基点应与系统实际一致。l但作为基础的预测模型，只是对象动态特性的粗略描述，由于
47、实际系统中存在的非线性、时变、模型失配、干扰等因素，基于不变模型的预测不可能和实际情况完全相符，这就需用要用附加的预测手段补充模型预测的不足，或者对基础模型进行在线修正。l滚动优化只有建立在反馈校正的基础上，才能体现出其优越性。l因此，预测控制算法在通过优化确定了一系列末来的控制作用后，为了防止模型失配或环境干扰引起控制对理想状态的偏离，并不是把这些控制作用逐一全部实施，而只是实现本时刻的控制作用。l到下一采样时刻，则首先检测对象的实际输出，并利用这一实时信息对基于模型的预测进行修正，然后再进行新的优化。第8章71 设被控系统的离散状态空间描述采用MLD模型，假设整个系统采用相同预测步长P和控
48、制步长m模型的状态运动表达式为 (8.41)相应的预测模型输出为 (8.42)()()()1()1()1()()(32110321jkzDjkDjkuDijkzBijkBijkuBCAkxCAjkyjiij10321)1()1()1()()(jiijijkzBijkBijkuBAkxAjkx第8章72 其中 ，分别表示预测模型的状态和输出值，在每个采样时刻由实际输出对预测值 进行修正后得 (8.43)设系统的设定值为 ，则预测偏差为 (8.44)Pjjkyjkx,2,1),(),()(jky)()()()(kykyjkyjkyc)(jkSp)()(jkyjkSEcp第8章73 采用如下定义的二
49、次型性能指标：(8.45)PjQeQemiQeQeQekyjkyxjkxzikzikuikuxzuJ12210222)()()()()(),(54321第8章74 约束条件 (8.46)PjyjkyyPjxjkxxmiuikuuuikuuEkxEkuEkzEkEkzDkDkuDkCxkykzBkBkuBkAxkxxPxe,1,)(,1,)(1,1,0,)()()()()()()()()()()()()()()()1()(maxminmaxminmaxminmaxmin54132321321第8章75 其中 (8.47)系统的平衡对为 ，引入的辅助变量平衡对为 ，为平衡输出，为当前状态，P为预测
50、时域，m为控制时域。考虑约束条件中的二进制变量的出现，上式带约束问题的预测控制没有解析形式的最优解，可通过求解对应的混合整数二次规划MIQP（Mixed Integer Quadric Programming）问题，得到数值形式的解，即 (8.48)0,0,0,0,0T55T44T33T22T11QQQQQQQQQQ),(eeux),(eezey)(kx)(221minkSxWGUUfHUUJTT第8章76 将状态方程和输出方程代入性能指标中，并设 。式中，H、f、G、S、W都可以用已知数表示。求解MIQP问题，得到k时刻的 m个最优控制序列 ，根据滚动优化策略，只取 ，在k=k+1时刻，重复
