1、1理解排列、组合的概念理解排列、组合的概念2理解排列数、组合数公式，并能利用公式解决一理解排列数、组合数公式，并能利用公式解决一 些简单的实际问题些简单的实际问题 1排列排列2组合组合思考探究思考探究 如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？提示：提示：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题 1从从1,2,3,4,5,6
2、六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有 ()A9个个B24个个 C36个个 D54个个解析：解析：这样的三位数共有：这样的三位数共有：33654(个个)答案：答案：D2从从10名大学毕业生中选名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙人担任村长助理，则甲、乙 至少有至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 ()A85 B56 C49 D28解析：解析：分两类计算，分两类计算，49.答案：答案：C3数列数列an共有六项，其中四项
3、为共有六项，其中四项为1，其余两项各不相同，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列则满足上述条件的数列an共有共有 ()A30个个 B31个个 C60个个 D61个个 解析：解析：在数列的六项中，只要考虑两个非在数列的六项中，只要考虑两个非1的项的位置，的项的位置，即得不同数列，共有即得不同数列，共有 30个不同的数列个不同的数列答案：答案：A4 的值为的值为_解析：解析：依题意得依题意得解得解得 n 且且nN*，n10.466.答案：答案：4665电视台连续播放电视台连续播放6个广告，其中含个广告，其中含4个不同的商业广告和个不同的商业广告和 2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则
4、个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则 共有共有_种不同的播放方式种不同的播放方式(结果用数值表示结果用数值表示)解析：解析：采用特殊位置法先让两个不同的公益广告排在采用特殊位置法先让两个不同的公益广告排在首尾两个位置，再让首尾两个位置，再让4个商业广告排在剩下的个商业广告排在剩下的4个位置，个位置，据分步计数原理可知共有据分步计数原理可知共有2 48种播放方式种播放方式答案：答案：48 1.排列数公式：右边第一个因数为排列数公式：右边第一个因数为n，后面每个因数都比它前，后面每个因数都比它前 面那个因数少面那个因数少1，最后一个因数是，最后一个因数是nm1，共，共m个因个因 数公式数
5、公式 主要用于含有字母的排列数的式子主要用于含有字母的排列数的式子 的变形与论的变形与论 证证2组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，与排列数公式的组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，与排列数公式的 应用一样，前者多用于数字计算，后者多用于对含有字母应用一样，前者多用于数字计算，后者多用于对含有字母 的组合数的式子进行变形和论证还应注意组合数公式的的组合数的式子进行变形和论证还应注意组合数公式的 逆用，即由逆用，即由 写出写出 .特别警示特别警示在排列数、组合数计算过程中要注意阶乘的运在排列数、组合数计算过程中要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程算及组合数性质的运用，
6、注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解都是在某个正整数范围内求解 解方程或不等式：解方程或不等式：(1)3 2 6 ；(2)6 ；(3)已知已知 ，求，求 .思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)由题意得由题意得3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)，x3，3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即即3x217x100，解得，解得x5或或x (舍舍)，x5.(2)由题意得由题意得 解得解得2x8，根据排列数公式，原不，根据排列数公式，原不等式化为等式化为 ，即，即 1.又又2x8，解得，解得2x8.原不等式的解集为原不等式的解集为x2,3,4,5,6,7,8(3)由题意由
7、题意m的取值范围是的取值范围是0m5，且，且mN.由已知由已知 得得m223m420，解得，解得m2或或m21.又又0m5，m2.28.求排列应用题的主要方法有：求排列应用题的主要方法有：1直接法：把符合条件的排列数直接列式计算直接法：把符合条件的排列数直接列式计算2特殊元素特殊元素(或位置或位置)优先安排的方法即先排特殊元素或特优先安排的方法即先排特殊元素或特 殊位置殊位置3排列、组合混合问题先选后排的方法排列、组合混合问题先选后排的方法4相邻问题捆绑处理的方法即可以把相邻元素看作一个相邻问题捆绑处理的方法即可以把相邻元素看作一个 整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列整体参与其他
8、元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列5不相邻问题插空处理的方法即先考虑不受限制的元素的不相邻问题插空处理的方法即先考虑不受限制的元素的 排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中6分排问题直排处理的方法分排问题直排处理的方法7“小集团小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法排列问题中先集体后局部的处理方法8定序问题除法处理的方法即可以先不考虑顺序限制，排定序问题除法处理的方法即可以先不考虑顺序限制，排 列后再除以定序元素的全排列列后再除以定序元素的全排列9正难则反，等价转化的方法正难则反，等价转化的方法 有有3名男生，名男生，4名女生，在下列不
9、同要求下，求不名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：同的排列方法总数：(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起；全体排成一行，其中男生必须排在一起；(4)全体排成一行，男、女各不相邻；全体排成一行，男、女各不相邻；(5)全体排成一行，男生不能排在一起；全体排成一行，男生不能排在一起；(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；不变；(7
10、)排成前后二排，前排排成前后二排，前排3人，后排人，后排4人；人；(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人人思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)利用元素分析法利用元素分析法(特殊元素优先安排特殊元素优先安排)，甲，甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有选择，有 种，其余种，其余6人全排列，有人全排列，有 种种由乘法原理得由乘法原理得 2 160种种(2)位置分析法位置分析法(特殊位置优先安排特殊位置优先安排)，先排最左边，除去甲，先排最左边，除去甲外，有外，有 种，余下的种，余下的6
11、个位置全排有个位置全排有 种，但应剔除乙种，但应剔除乙在最右边的排法数在最右边的排法数 种种则符合条件的排法共有则符合条件的排法共有 3 720种种(3)捆绑法将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他捆绑法将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有元素进行全排列，共有 720种种(4)插空法先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，插空法先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有共有 144种种(5)插空法先排女生，然后在空位中插入男生，共有插空法先排女生，然后在空位中插入男生，共有1 440种种(6)定序排列第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排定序排列第一步，设固定
12、甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此人的全排列，因此 N ，N 840种种(7)与无任何限制的排列相同，有与无任何限制的排列相同，有 5 040种种(8)从除甲、乙以外的从除甲、乙以外的5人中选人中选3人排在甲、乙中间的排法有人排在甲、乙中间的排法有种，甲、乙和其余种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有人排成一排且甲、乙相邻的排法有 种，最后再把选出的种，最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可，共人的排列插入到甲、乙之间即可，共有有 720种种 1.组合问题常有以下两类题
13、型：组合问题常有以下两类题型：(1)“含有含有”或或“不含有不含有”某些元素的组合题型：某些元素的组合题型：“含含”，则先将这，则先将这 些元素取出，再由另外元素补足；些元素取出，再由另外元素补足；“不含不含”，则先将这些，则先将这些 元素剔除，再从剩下的元素中去选取元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少至少”或或“最多最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十含有几个元素的题型：解这类题必须十 分重视分重视“至少至少”与与“最多最多”这两个关键词的含义，谨防重复这两个关键词的含义，谨防重复 与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法 分类
14、复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理2解答组合应用问题的基本思路：解答组合应用问题的基本思路：(1)整体分类，从集合的角度来讲，分类要做到各类的并集整体分类，从集合的角度来讲，分类要做到各类的并集 等于全集，即等于全集，即“不漏不漏”，任意两类的交集为空集，即，任意两类的交集为空集，即“不重不重”；(2)局部分步，整体分类后，对每类进行局部分步，分步要局部分步，整体分类后，对每类进行局部分步，分步要 做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立 从从7名男生名男生5名女生中选取名女生中选取5人，分别求符合下列条人，
15、分别求符合下列条件的选法总数有多少种？件的选法总数有多少种？(1)A，B必须当选；必须当选；(2)A，B必不当选；必不当选；(3)A，B不全当选；不全当选；(4)至少有至少有2名女生当选；名女生当选；(5)选取选取3名男生和名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等名女生分别担任班长、体育委员等5种种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任生担任思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)由于由于A，B必须当选，那么从剩下的必须当选，那么从剩下的10人中人中选取选取3人即可，人即可，有有 120种种(2)从除去的从除去的A，B两人的两人
16、的10人中选人中选5人即可，人即可，有有 252种种(3)全部选法有全部选法有 种，种，A，B全当选有全当选有 种，种，故故A，B不全当选有不全当选有 672种种(4)注意到注意到“至少有至少有2名女生名女生”的反面是只有一名女生或没有的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，女生，故可用间接法进行，有有 596种种(5)分三步进行：分三步进行：第一步：选第一步：选1男男1女分别担任两个职务为女分别担任两个职务为 ；第二步：选第二步：选2男男1女补足女补足5人有人有 种；种；第三步：为这第三步：为这3人安排工作有人安排工作有 .由分步乘法计数原理共有由分步乘法计数原理共有 12 600
17、种种 以选择题或填空题的形式考查排列与组合的应以选择题或填空题的形式考查排列与组合的应用是高考对本讲内容的常规考法用是高考对本讲内容的常规考法.09年广东、辽宁等年广东、辽宁等高考将排列、组合及两个计数原理综合考查，是一高考将排列、组合及两个计数原理综合考查，是一个新的考查方向个新的考查方向 考题印证考题印证 (2009广东高考广东高考)2010年广州亚运会组委会要从小张、年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张
18、和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有则不同的选派方案共有 ()A48种种 B12种种 C18种种 D36种种 【解析解析】若小张和小赵恰有若小张和小赵恰有1人入选，则共有：人入选，则共有：24种方案；若小张和小赵两人都入选，则共有种方案；若小张和小赵两人都入选，则共有 12，故总共有，故总共有241236种方案种方案【答案答案】D 自主体验自主体验 (2009辽宁高考辽宁高考)从从5名男医生、名男医生、4名女医生中选名女医生中选3名名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，医生组成一个医疗小分队，要
19、求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有则不同的组队方案共有 ()A70种种 B80种种 C100种种 D140种种 解析：解析：当选择的当选择的3名医生都是男医生或都是女医生时，名医生都是男医生或都是女医生时，共有共有 14种组法，从种组法，从9人中选择人中选择3人一共有人一共有 84种种组法，所以要求男、女医生都有的情况共有组法，所以要求男、女医生都有的情况共有841470种组种组队方法队方法答案：答案：A1在数字在数字1,2,3与符号与符号“”，“”五个元素的所有全排列中，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是任意两个数字都不相邻的全排列的个数是 ()A6 B12
20、 C18 D24解析：解析：先排列先排列1,2,3，有，有 6种排法，再将种排法，再将“”，“”两两个符号插入，有个符号插入，有 2种方法，共有种方法，共有6212种方法种方法答案：答案：B2(2009四川高考四川高考)3位男生和位男生和3位女生共位女生共6位同学站成一排，位同学站成一排，若男生甲不站两端，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是则不同排法的种数是 ()A360 B288 C216 D96解析：解析：先保证先保证3位女生中有且只有两位女生相邻，位女生中有且只有两位女生相邻，则有则有 种排法，再从中排除甲站两端，种排法，再
21、从中排除甲站两端，所求所求N (2 )6(61224)288.答案：答案：B3(2010湖北高考湖北高考)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不 同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生 不能分到同一个班，则不同分法的种数为不能分到同一个班，则不同分法的种数为 ()A18 B24 C30 D36解析：解析：由四名学生分到三个班，每个班至少分到一名学生可由四名学生分到三个班，每个班至少分到一名学生可知，有一个班有知，有一个班有2个人，另外两个班各个人，另外两个班各1人，故共有人，故共有 种种不同分法，其中甲、乙
22、两名学生分到同一个班有不同分法，其中甲、乙两名学生分到同一个班有 种不同种不同分法，所以满足题意的不同分法为分法，所以满足题意的不同分法为 30种种答案：答案：C4若把英语单词若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的字母顺序写错了，则可能出现 的错误共有的错误共有_种种解析：解析：由于有两个由于有两个o，只要在，只要在4个位置选个位置选2个安排即可，余个安排即可，余下两个字母全排列，故所有的数目为下两个字母全排列，故所有的数目为 12，写对的，写对的只有只有1种，故共有种，故共有11种错误的可能种错误的可能答案：答案：115用用1,2,3,4,5,6组成六位数组成六位数(没有重复
23、数字没有重复数字)，要求任何相，要求任何相 邻两个数字的奇偶性不同，且邻两个数字的奇偶性不同，且1和和2相邻，这样的六位相邻，这样的六位 数的个数是数的个数是_(用数字作答用数字作答)解析：解析：若个位数是偶数，当若个位数是偶数，当2在个位时，则在个位时，则1在十位，共有在十位，共有 4(个个)，当当2不在个位时，共有不在个位时，共有 16(个个)，所以若个位是偶数，有所以若个位是偶数，有41620个六位数个六位数同理，若个位数是奇数，有同理，若个位数是奇数，有20个满足条件的六位数，个满足条件的六位数，因此，这样的六位数的个数是因此，这样的六位数的个数是40.答案：答案：406有编号分别为有
24、编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把的四个盒子和四个小球，把 小球全部放入盒子问：小球全部放入盒子问：(1)共有多少种放法？共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？个盒子内不放球，有多少种放法？解：解：(1)1号小球可放入任意一个盒子内，有号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法同理，种放法同理，2、3、4号小球也各有号小球也各有4种放法，故共有种放法，故共有44256种放法种放法(2)恰有一个空盒，则这恰有一个空盒，则这4个盒子中只有个盒子中只有3个盒子内有小球，且个盒子内有小球，且小球数只能是小球
25、数只能是1、1、2.先从先从4个小球中任选个小球中任选2个放在一起，有个放在一起，有 种方法，然后与其余种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入个小球看成三组，分别放入4个盒子中个盒子中的的3个盒子中，有个盒子中，有 种放法由分步乘法计数原理，知共有种放法由分步乘法计数原理，知共有 144种不同的放法种不同的放法(3)恰有恰有2个盒子内不放球，也就是把个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入个小球只放入2个盒子内，个盒子内，有两类放法：有两类放法：一个盒子内放一个盒子内放1个球，另一个盒子内放个球，另一个盒子内放3个球先把小球分为个球先把小球分为两组，一组两组，一组1个，另一组个，另一组3个，有个，有 种分法，再放到种分法，再放到2个盒子内，个盒子内，有有 种放法，共有种放法，共有 种方法；种方法；2个盒子内各放个盒子内各放2个小球先从个小球先从4个盒子中选出个盒子中选出2个盒子，有个盒子，有C种选法，然后把种选法，然后把4个小球平均分成个小球平均分成2组，每组组，每组2个，放入个，放入2个盒子个盒子内，也有内，也有 种选法，共有种选法，共有 种方法种方法由分类加法计数原理，知共有由分类加法计数原理，知共有 84种不同的放种不同的放法法
