1、2022-8-171l 为什么要学数理统计为什么要学数理统计 数理统计数理统计是运用概率论的基础知识，更侧重于应用随是运用概率论的基础知识，更侧重于应用随机现象本身的规律性来考虑资料的收集整理和分析，建机现象本身的规律性来考虑资料的收集整理和分析，建立有效的数学方法，从而找出相应的随机变量的分布律立有效的数学方法，从而找出相应的随机变量的分布律或它的数字特征，对所关心的问题作出估计与检验。或它的数字特征，对所关心的问题作出估计与检验。概率论中的一个最基本的假设就是：概率论中的一个最基本的假设就是：研究对象的分布研究对象的分布已知。已知。而在实际中，我们往往不知道随机变量，的确切而在实际中，我们
2、往往不知道随机变量，的确切分布，这就是数理统计所讨论问题的应用背景，它需要分布，这就是数理统计所讨论问题的应用背景，它需要用已有的用已有的部分信息部分信息去去推断整体推断整体情况。情况。数理统计研究内容十分广泛，其中一类重要的问题便数理统计研究内容十分广泛，其中一类重要的问题便是是统计推断统计推断.统计推断是利用试验数据对研究对象的性质统计推断是利用试验数据对研究对象的性质作出推断，其中有两个重要方面：作出推断，其中有两个重要方面：参数估计参数估计和和假设检验假设检验。例如例如，要了解全班同学的身高情况，先，要了解全班同学的身高情况，先要测量并记录班上每个同学的身高，然要测量并记录班上每个同学
3、的身高，然后用记录下来的身高数据计算全班同学后用记录下来的身高数据计算全班同学的平均身高。这里的第一步就是搜集数的平均身高。这里的第一步就是搜集数据，第二步就是从搜集到的数据集中获据，第二步就是从搜集到的数据集中获取信息。平均身高正是反映全班同学身取信息。平均身高正是反映全班同学身高状况的重要信息。高状况的重要信息。2022-8-172 当然统计学中研究的问题要比这个例子当然统计学中研究的问题要比这个例子复杂得多。复杂得多。现代统计学所提供的各种统计方法，作现代统计学所提供的各种统计方法，作为在不确定情况下进行预测和决策的重为在不确定情况下进行预测和决策的重要辅助工具，被广泛地应用于所有出现要
4、辅助工具，被广泛地应用于所有出现定量数据且需要对它们进行分析和解释定量数据且需要对它们进行分析和解释的问题中的问题中(称这类问题为统计问题称这类问题为统计问题)。2022-8-173 在对什么是统计学做详细解释之前，我在对什么是统计学做详细解释之前，我们先考查两个需要应用统计方法的问题，们先考查两个需要应用统计方法的问题，从这些问题中我们希望大家能领悟出统从这些问题中我们希望大家能领悟出统计问题的基本要素。计问题的基本要素。2022-8-174例例1 某市场分析人员搜集一个消费者的样本，某市场分析人员搜集一个消费者的样本，要求样本中每个人回答对某商品的观点。要求样本中每个人回答对某商品的观点。
5、从得到的这些样本数据中，市场分析人员从得到的这些样本数据中，市场分析人员必须做出这种商品有无足够需求量的决定。必须做出这种商品有无足够需求量的决定。若存在足够需求，分析人员还要选择包括若存在足够需求，分析人员还要选择包括设计、价格及市场范围。所有这些问题都设计、价格及市场范围。所有这些问题都可以从调查的样本数据所提供的信息中得可以从调查的样本数据所提供的信息中得到回答。到回答。例例 2 某百货公司对购买的一批电灯泡进行某百货公司对购买的一批电灯泡进行抽样抽样检验检验。在检验的基础上决定是否接受这批。在检验的基础上决定是否接受这批灯泡。这种检验可能从这批灯泡中抽取灯泡。这种检验可能从这批灯泡中抽
6、取1515只作为只作为样本样本，检验样本的废品数和平均使，检验样本的废品数和平均使用寿命。是否接受的决定建立在观察到的用寿命。是否接受的决定建立在观察到的废品数和平均使用寿命上。废品数和平均使用寿命上。2022-8-177 在以上两个例子中，都需要在不确定情况下对总体状在以上两个例子中，都需要在不确定情况下对总体状态进行预测或决策，之所以产生不确定性，是因为我态进行预测或决策，之所以产生不确定性，是因为我们无法拥有进行预测或决策所需的全部信息们无法拥有进行预测或决策所需的全部信息(总体数总体数据据)。在使用不完全信息。在使用不完全信息(样本数据样本数据)进行预测和决策进行预测和决策时，必须借助
7、于一种叫做统计推断的统计方法。时，必须借助于一种叫做统计推断的统计方法。通过上面的例子大家对统计问题应该有了初步的了解。通过上面的例子大家对统计问题应该有了初步的了解。下面我们将介绍上面例子中涉及到的几个统计学的基下面我们将介绍上面例子中涉及到的几个统计学的基本概念，这些概念是对统计学的本质和特征的概括和本概念，这些概念是对统计学的本质和特征的概括和反映，是统计思维网络上的结点。掌握了这些基本概反映，是统计思维网络上的结点。掌握了这些基本概念后，大家对统计问题会有更深刻的认识和理解。念后，大家对统计问题会有更深刻的认识和理解。2022-8-178概括地讲，数理统计研究以有效的方式概括地讲，数理
8、统计研究以有效的方式统计推断：统计推断：研究如何加工、处理数据，从而研究如何加工、处理数据，从而试验设计数理统计参数估计统计推断假设检验采集、采集、整理整理察的问题做出察的问题做出推断和预测，推断和预测，直至提供依据和建议直至提供依据和建议.和分析受到和分析受到随机随机因素影响的数据，因素影响的数据，并对所考并对所考对所考察对象的性质做出对所考察对象的性质做出尽可能精确尽可能精确和和可靠的可靠的推断推断.统计学的研究内容统计学的研究内容 研究如何用有效的方法收集和整理数据的抽样调查、试研究如何用有效的方法收集和整理数据的抽样调查、试验设计和描述性统计；验设计和描述性统计；研究如何用有效的方法对
9、所得的数据进行分析、研究，研究如何用有效的方法对所得的数据进行分析、研究，从而对所研究的对象的性质从而对所研究的对象的性质 、特点作出推断的统计推、特点作出推断的统计推断断(“(“样本样本”推断推断“总体总体”)。依据推断形式不同，统计推断可分为估计和假设检验两依据推断形式不同，统计推断可分为估计和假设检验两种，它们构成了统计学的基础种，它们构成了统计学的基础 。依据不同的理论模型，统计推断可分为许多不同的分支依据不同的理论模型，统计推断可分为许多不同的分支学科。比如，参数和非参数、线性和非线性、方差分析、学科。比如，参数和非参数、线性和非线性、方差分析、回归分析、时间序列分析、多元统计分析等
10、等。回归分析、时间序列分析、多元统计分析等等。依据对概率的不同解释，统计推断可分为频率统计和贝依据对概率的不同解释，统计推断可分为频率统计和贝叶斯统计。叶斯统计。频率的稳定值频率的稳定值对某件事情发对某件事情发生机会的信念生机会的信念统计推断与概率论的区别统计推断与概率论的区别 在概率论中，我们研究的随机变量的分布都是假设已在概率论中，我们研究的随机变量的分布都是假设已知的，在这一前题下去研究它的性质、特点和规律性。知的，在这一前题下去研究它的性质、特点和规律性。例如求出它的数字特征，讨论随机变量函数的分布，例如求出它的数字特征，讨论随机变量函数的分布，介绍常用的各种分布等。介绍常用的各种分布
11、等。统计推断以概率论为理论基础，根据试验或观察得到统计推断以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象，对研究对象的客观规律性的数据，来研究随机现象，对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。作出种种合理的估计和判断。在统计推断中，我们研究的随机变量的分布是未知的，在统计推断中，我们研究的随机变量的分布是未知的，或者是不完全知道的，人们是通过对研究的随机变量或者是不完全知道的，人们是通过对研究的随机变量进行重复独立的观察，得到许多观察值，对这些数据进行重复独立的观察，得到许多观察值，对这些数据进行分析，从而对所研究的随机变量的分布作出种种进行分析，从而对所研究的随机变量的
12、分布作出种种推断。推断。2022-8-1711第五章数理统计的基本概念总体与样本总体与样本统计量统计量数理统计中几个常用分布数理统计中几个常用分布抽样分布定理抽样分布定理2022-8-1712总体总体:在数理统计中研究对象的全体在数理统计中研究对象的全体个体个体：组成总体的每个单元组成总体的每个单元 例如在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的例如在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体。但是全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体。但是在统计里，由于我们关心的不是每个个体的种种具体在统计里，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或某几
13、项数量指标特性，而仅仅是它的某一项或某几项数量指标X和该和该数量指标数量指标X在总体中的分布情况。在上述例子中在总体中的分布情况。在上述例子中X是是表示灯泡的寿命，就此数量指标表示灯泡的寿命，就此数量指标X而言，每个个体所而言，每个个体所取的值是不同的。取的值是不同的。5.1 5.1 总体与样本总体与样本 总体与个体总体与个体 统计学中组成总体的个体不仅可以是人、物、统计学中组成总体的个体不仅可以是人、物、组织单位等实体，也可以是现象、事件、活动组织单位等实体，也可以是现象、事件、活动过程等非实体。但在个体是非实体时，总体通过程等非实体。但在个体是非实体时，总体通常不是有形的，而是概念性的。常
14、不是有形的，而是概念性的。例如，要判断一枚硬币是否均匀，先对这枚硬例如，要判断一枚硬币是否均匀，先对这枚硬币进行币进行100100次投掷试验，然后根据这次投掷试验，然后根据这100100次投掷次投掷试验的结果做出这枚硬币是否均匀的结论。这试验的结果做出这枚硬币是否均匀的结论。这个统计问题的个体是对这枚硬币的每次投掷试个统计问题的个体是对这枚硬币的每次投掷试验，这种个体显然是个活动过程。这个统计问验，这种个体显然是个活动过程。这个统计问题的总体是所有可能的对这枚硬币的投掷试验，题的总体是所有可能的对这枚硬币的投掷试验，这个总体显然是概念性的。这个总体显然是概念性的。样本与抽样分布样本与抽样分布
15、统计推断就是通过从总体中抽取一部分个体，统计推断就是通过从总体中抽取一部分个体，根据获取的数据来对总体分布得出推断的。根据获取的数据来对总体分布得出推断的。被抽出的部分个体叫做总体的一个被抽出的部分个体叫做总体的一个样本样本。显然，样本就是总体的一个显然，样本就是总体的一个有限子集有限子集。若将总体定义为随机变量若将总体定义为随机变量 X X，总体分布就是，总体分布就是随机变量随机变量 X X的概率分布，总体数量特征就是随的概率分布，总体数量特征就是随机变量机变量 X X 的数字特征。的数字特征。这时，从总体中抽取一个个体，就是对总体这时，从总体中抽取一个个体，就是对总体X X进行一次观察并记
16、录其结果。进行一次观察并记录其结果。2022-8-1715n样本的定义样本的定义:从总体从总体X中，随机地抽取中，随机地抽取n个个体：个个体：随机样本与样本值随机样本与样本值nXXX,21称为总体称为总体X的一个的一个样本样本，记为，记为12(,)nXXX样本中所包含个体的总数样本中所包含个体的总数n称为称为样本容量样本容量.n样本值样本值:每一次抽取所得到的每一次抽取所得到的n个具体数值：个具体数值：12(,)nxxx称为一个称为一个样本值（观察值）。样本值（观察值）。容量为容量为 n n 的样本在观察之前为一个的样本在观察之前为一个n n 维维随机向量随机向量 (X(X1 1，X X2 2
17、，X Xn n)，当，当 n n 次次观察一经完成，我们就得到由一组实数观察一经完成，我们就得到由一组实数组成的组成的 n n 维向量维向量 (x x1 1，x x2 2，x xn n)，它是它是n n 维随机向量维随机向量(X(X1 1，X X2 2，X Xn n )的的一次实现。一次实现。2022-8-17162022-8-1717 由于我们是利用样本观察来对总体的分布进行推由于我们是利用样本观察来对总体的分布进行推断，因而从总体中抽取样本进行观察时必须是随机的。断，因而从总体中抽取样本进行观察时必须是随机的。所以对于随机抽样来说，对其某一次观察结果而论，所以对于随机抽样来说，对其某一次观
18、察结果而论，是完全确定的一组值，但它又是随每次抽样观察而改是完全确定的一组值，但它又是随每次抽样观察而改变的，由于我们要依据这一观察结果进行分析推断，变的，由于我们要依据这一观察结果进行分析推断，并研究比较各种推断方法的好坏，因而一般考虑问题并研究比较各种推断方法的好坏，因而一般考虑问题时，就不能把看为确定的数值，而应该看作为时，就不能把看为确定的数值，而应该看作为随机向随机向量量X=(X1,X2,Xn)，称它为容量是，称它为容量是n的样本，因而的样本，因而对样本也有分布可言。对样本也有分布可言。数理统计的基本任务是：数理统计的基本任务是：根据从总体中抽取的样本，根据从总体中抽取的样本，利用样
19、本的信息推断总体的性质利用样本的信息推断总体的性质.事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的样本值。如我们从全班同学中抽取定的样本值。如我们从全班同学中抽取1010人测人测量身高，得到量身高，得到1010个数，它们是样本值而不是样个数，它们是样本值而不是样本。我们只能观察到随机变量的取值而见不到本。我们只能观察到随机变量的取值而见不到随机变量。随机变量。总体、样本、样本值的关系总体、样本、样本值的关系2022-8-1719总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系总体总体 样本样本 样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 统计是从已有的
20、资料统计是从已有的资料样本的观察值样本的观察值，去推断，去推断总体的情况总体的情况总体分布。总体分布。样本是联系两者的桥梁。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，可以用样总体分布决定了样本取值的概率规律，可以用样本观察值去推断总体本观察值去推断总体2022-8-1720 则称则称X两个特征：两个特征：获得简单随机样本的抽样方法称为获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样简单随机抽样.(1)(1)代表性：代表性：(2)(2)独立性：独立性：若来自总体若来自总体X的样本的样本),(21nXXX具有下列具有下列nXXX,21中每一个与总体中每一个与总体有相同的分布有相同的分布.n
21、XXX,21是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量.12(,)nXXX为为n n的简单随机样本的简单随机样本.n简单随机样本简单随机样本2022-8-1721定理：定理：.),(21的样本的样本为来自总体为来自总体设设XXXXn121(1)(),(,)()nniiXF xX XXF x若总体 的分布函数为则样本的分布函数为 样本的分布样本的分布121(2)(),(,)iknknkiXP XxpX XXp若 为离散型随机变量，概率分布律为则样本的联合分布律为121(3)(),(,)()nniiXf xX XXf x若 为连续型随机变量，概率分布律为则样本的联合密度函数为2022-8-17221
22、21,2,kknXknXXX例：设来自于参数为 的指数分布，且相互独立，求（）的联合分布函数0,1)(kxkXxexFkkk 所所以以解解的的指指数数分分布布，来来自自于于参参数数为为由由于于kkX 由独立性有由独立性有:nkiXnXXxFxxxFin121),()(),(1.,2,1,0,)1(1nkxeknkxkk 2022-8-1723试试求求密密度度函函数数为为,111)(2 xxxp.),(321的的联联合合概概率率密密度度XXX123,XXX例：设是来自柯西分布的样本，其解解的的密密度度函函数数是是自自于于柯柯西西分分布布，所所以以因因为为iiXX的的联联合合概概率率密密度度是是：
23、所所以以),(321XXX 31321),()(),(321iiXXXXxpxxxpi)3,2,1(,111)(2 ixxxpiiiXi123322212311,(1)(1)(1)xxxRxxxP133 例例5.22022-8-1724 直方图与经验分布函数直方图与经验分布函数2022-8-17252022-8-17262022-8-1727例例 某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取5听听饮料，称得其净重（克）为：饮料，称得其净重（克）为：351 347 355 344 351x(1)=344,x(2)=347,x(3)=351,x(4)=351
24、,x(5)=355分析：分析：这是一个容量为这是一个容量为5的样本，经排序可得有序样本：的样本，经排序可得有序样本：经验分布函数经验分布函数 0，x 344 0.2，344 x 347Fn(x)=0.4，347 x 351 0.8，351 x 1/2时，因为时，因为N(0,1)的密度函数曲线关于的密度函数曲线关于y轴对轴对称，故有：称，故有：u =-u 1-221()1()2xuP Xuedxu 2022-8-1750很多统计推断都是基于正态分布假设的；很多统计推断都是基于正态分布假设的；以标准正态变量为基石构造的三大统计量，在以标准正态变量为基石构造的三大统计量，在实际中有广泛的应用；实际中
25、有广泛的应用；因为，这三大统计量不仅有明确背景，而且其因为，这三大统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布的密度函数有明显表达式，被称为统抽样分布的密度函数有明显表达式，被称为统计中的计中的“三大抽样分布三大抽样分布”本节学习统计学经常用到的分布：2正态分布略分布、分布、分布，分布，t t 分布分布 5.3 5.3 数理统计中的常用分布数理统计中的常用分布2022-8-1751定义 设设 X1,X2,Xn,独立同分布，均服从标准正态独立同分布，均服从标准正态分布分布N(0,1)，则，则 2=X12+Xn2 的分布称为的分布称为 自由度为自由度为 n 的的 2分布，分布，记为记为 X 2（n）对于
26、x0，2分布的分布的密度函数为密度函数为10()(1)()(1)!sxG am m asxedxsssnn函 数：性 质：2022-8-1752（1 1）当随机变量当随机变量 2 2(n)时，对给定的时，对给定的 (0 1)，称满足称满足P(2 2 (n)的的 2 (n)是自由度为是自由度为 n 的的 2分布的分布的上上 分位数分位数（2 2）分位数）分位数 2 (n)可从可从附表附表4 查到。查到。22)12(21)(nunaa分位数分位数 2 (n)近似公式近似公式220.0051(60)(2.582 60 1)=90.972例如：2022-8-1753定理定理5.5分布可加性分布可加性
27、若X 2(m)，Y 2(n)，X与与 Y独立，则 X+Y 2(m+n)期望与方差期望与方差 若X 2(n)，则 E(X)=n，D(X)=2n2022-8-17541222221222222212122,()()m nmmmm nm nX XXXmXXXXYXXXXYX YXXXX Ym n设 独立、服从标准正态分布.(1)由于，可知与同分布，与同分布，再由与 独立 证知，与同分布，所以明122222122211142422122211(2)(),.,3(),()312.2.nnnnniiiiiiiiiinnniiiiXXXXnXXXXEXEXEXDXnE XD XE XE XXXXDXDXDX
28、n设，相互独立且均服从标准正态分布，由知与同分布于是此外 由于见习题四(B)的第四题便知再因，相互独立,即得上述命题2.中第一个结论实际上说明分布同正态分布一样具有可加性2022-8-1755补充：补充：关于正态分布的关于正态分布的N阶矩阶矩2022-8-17562022-8-1757分布密度曲线分布密度曲线（4）2分布形状取决于参数df 即n：n1，曲线极端左偏，呈反 J 型；随着n 增大，曲线渐趋左右对称。当n 30时，2 分布趋于正态分布。2022-8-1758).(/ntnYXT 设随机变量设随机变量X与与Y独立，且独立，且X N(0,1),Y 2(n),则，称则，称称 t(n)为自由
29、度为自由度为n的 t分布，记为t t(n)1.1.t t 分布定义分布定义 2022-8-1759t t(n n)的概率密度为的概率密度为t,)nt(1)2n(n)21n(f(t)21n22022-8-1760 x,e21)t()t(flim2tn22022-8-1761设Tt(n)，若对:0 0，满足P T t(n)=，则称t(n)为t(n)的上侧分位点)(nt2022-8-1762t 在区间（在区间（t1,+）取值的概率，即右尾概率为）取值的概率，即右尾概率为1-F t(df)。由于。由于t 分布左右对称，分布左右对称，t 在区间（在区间（-,-t1）取）取 值值的概率也为的概率也为 1-
30、Ft（df)。t 分布分布 曲线曲线 下，由下，由-到到-t 1和由和由t 1到到+两两 个个 相相 等等 的的 概概 率率 之和，即两尾概率为之和，即两尾概率为 2(1-F t(df)。不同自由度下，不同自由度下，t 分布的两尾概率及对应临界分布的两尾概率及对应临界t 值查值查附表附表3。1)()(1)(tdftdttfttPF2022-8-1763例：随机变量t t(n)时，求分位数 t0.95(10)已知 n=10,=0.05，由于 t0.95(10)=-t10.95(10)=-t 0.05(10)查附表3：t0.05(10)=1.812 t0.95(10)=-1.812 P（-1.81
31、2 t 1.812）=0.90由于由于 t 分布分布关于关于0 对称对称,计算时利用分位数如下关系计算时利用分位数如下关系t(n 1)=t1 (n 1)t t 分布的计算分布的计算2022-8-1764F 分布分布设X1 2(m),X2 2(n),X1与X2独立，则称 F=(X1/m)/(X2/n)的分布是自由度为自由度为 m 与与 n的 F分布分布，记为 F F(m,n)，其中，m 称为分子自由度分子自由度，n 称为分母自由度分母自由度。概率密度为概率密度为0,00,)1)(2()()/)(2()n,(2/)(2122/xxxnmnxnmnmmxhnmmmm2022-8-1765F F分布图
32、形分布图形F 分布密度曲线是随自由度df1、df2 变化而变化的一簇偏态曲线形态随着df1、df2的增大逐渐趋于对称当随机变量当随机变量F F(m,n)时，时，对给定对给定 (0 1)，称满足，称满足 P(F F(m,n)的的F(m,n)是自由度为是自由度为m 与与 n 的的F 分布的分布的 分位数分位数。F(n,m)F分位数分位数 及及 F分布计算分布计算2022-8-176622()()222()()22(224)2)()4)2(2)(4)rrmnrrnEXrnmnmnnmnEXnD Xnnm nn定理5.7，对 特别有，(和 ，(2 2(1 1)：设设X X F F(m m,n n)，则
33、则对对r r 0 0有有(2 2):若若T T t t(n n)，则则T T F F(1 1,n n)1 1(3 3):若若F F F F(n n,m m)，则则 F F(m m,n n)F F2022-8-17671-221-22(,)(,)(,)(,)1-PXFm nXFm nP Fm nXFm n 或 F F分布计算分布计算2022-8-17681),n(nFPF211设设FF(n1,n2)，知知),(1),(12211nnFnnF1),(11211nnFFP),(112nnFF),(11211nnFFP),(112nnFFP证明（证明（2）:得证。得证。由于由于2022-8-1769)
34、1,1(2/2/12/12/)2,0(2212212212212221222122121FXXXXXXXXFXXXXNXXXX）（）（）（）（分分布布定定义义，知知由由）（）（），（）（，所所以以均均服服从从和和因因为为解解 212221212:(0,),()/()XNXXXYXXXX例 设总体，是 的一个样本，试求服从什么分布。2022-8-1770从总体到样本抽样分布问题在统计推断问题中，经常要利用总体的样本在统计推断问题中，经常要利用总体的样本构造合适统构造合适统计量计量，使其使其服从或渐近服从服从或渐近服从已知的确定分布。已知的确定分布。将这类将这类统计统计量的分布量的分布统称统称为为
35、抽样分布抽样分布讨论抽样分布的两个途径 精确地求出抽样分布，相应统计推断为精确地求出抽样分布，相应统计推断为 小样本统计推断小样本统计推断；先求样本容量趋于无穷时抽样分布的极限分布；然后在样先求样本容量趋于无穷时抽样分布的极限分布；然后在样本容量充分大时，利用极限分布作为本容量充分大时，利用极限分布作为抽样分布近似分布抽样分布近似分布，再对，再对未知参数进行统计推断。统计推断为未知参数进行统计推断。统计推断为 大样本统计推断大样本统计推断5.4 5.4 抽样分布定理抽样分布定理2022-8-1771一、正态总体的抽样分布 设设 x1,x2,xn 是来自是来自N(,2)的的 样本，样本，样本均值
36、和方差分别为样本均值和方差分别为x=xi /n s2=(xi x)2/(n 1)定理定理5.85.8),(2nNX(2)(1)（一）单正态总体的抽样分布定理（一）单正态总体的抽样分布定理)1,0(/NnXU2022-8-1772),(2nNX证明证明)1,0(/NnXU证证:niiXnX11niiXEnXE1)(1)(nXDnXDnii212)(1)(),(2nNX)1,0(/NnX2022-8-1773).1(1/ntnVUT）（则若),(,21NXXiidn(2)(1);222(n1)Sn).1(/)3(ntnSX);1()1(222nSnV)1(1ntnVU得证得证U与V独立，t分布定义
37、证（证（3）X与S 2 相互独立；定理定理5.95.922()()ni2i 1Xn（1 1）)1,0(/NnXU定理5.8定理5.9（2）2022-8-1774（二）双正态总体的抽样分布（二）双正态总体的抽样分布证明（证明（3）和（）和（4）2022-8-1775证明（证明（3）x2=y2=2，)2(11()X(/1/1222nmtSmSn)YmnmnYX21）（）（2022-8-1776证明（证明（4）221222/(1,1)/xysFF mnsF(n-1,m-1)2022-8-177700012,(1),()(),(2)()().()()(),()nnnnnnddUTUTnnnnXXUTt
38、 nSnnXSFxxFxxFxFxxUTXXXnXUnn 其中 与 分别表示上述样本的样本均值与样本方差，则(1)以上，与分别表示及标准正态分布的分布函数.证明(1)由于 设设 x1,x2,xn 是来自总体是来自总体X的的 样本，总体的数学期样本，总体的数学期望和方差均分别为望和方差均分别为 和和 2上述定理的适用范围很广。当样本容量充分大上述定理的适用范围很广。当样本容量充分大（n 50），），Un，Tn 均近似服从均近似服从 N(0,1)二、一般总体抽样分布的极限分布2022-8-1778本章总结本章总结2022-8-1779作 业 P134 T2 P139 T5,T6 P144 T5 P146 T2,T5 P147 T1,T5,T8
