1、 第第 4 章章 IIR 数字滤波器设计和实现数字滤波器设计和实现 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院2内容内容n 概述概述n 模拟滤波器设计模拟滤波器设计n 模拟滤波器的数字仿真模拟滤波器的数字仿真n 冲激响应不变法冲激响应不变法n 双线性变换法双线性变换法n 高通、带通和带阻高通、带通和带阻 IIR DF 的设计的设计(数字频率变换数字频率变换)n IIR 数字滤波器的实现结构数字滤波器的实现结构n IIR 数字滤波器的应用数字滤波器的应用 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院3n 滤波器：滤波器：选择所需的某一或某些频带的信号，而选择所需
2、的某一或某些频带的信号，而抑制不需要的其它频带的信号。抑制不需要的其它频带的信号。通带：通带：滤波器中使信号滤波器中使信号通过通过的频带，通带边缘所对应的频带，通带边缘所对应的频率称为通带截止频率。的频率称为通带截止频率。阻带：阻带：抑制抑制信号或噪声通过的频带。信号或噪声通过的频带。过渡带：过渡带：从通带到阻带的过渡频率范围。从通带到阻带的过渡频率范围。IIR DF：概述：概述通通 带带阻带阻带过渡带过渡带 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院4n 分类：分类：输入输出信号：输入输出信号：模拟和数字滤波器模拟和数字滤波器单位取样响应或实现单位取样响应或实现网络结构网络
3、结构：IIR DF IIR DF 和和 FIR DF FIR DF 通频带：通频带：低通滤波器低通滤波器：只允许低频信号通过而抑制高频信号。例如，：只允许低频信号通过而抑制高频信号。例如，可用低通滤波器消除旧音乐录音带中的背景噪声。可用低通滤波器消除旧音乐录音带中的背景噪声。高通滤波器高通滤波器：只允许高频信号通过而抑制低频信号。例如，：只允许高频信号通过而抑制低频信号。例如，声纳系统可用高通滤波器消除信号中的船和海浪的低频噪声，声纳系统可用高通滤波器消除信号中的船和海浪的低频噪声，保留目标特征。保留目标特征。带通滤波器带通滤波器：允许某一频带的信号通过。例如，数字电话双：允许某一频带的信号通
4、过。例如，数字电话双音多频（音多频（DTMFDTMF）信号的解码，每个电话键产生一对音频信号，）信号的解码，每个电话键产生一对音频信号，其中一个信号对按键的行编码，另一个对列编码，接收端通其中一个信号对按键的行编码，另一个对列编码，接收端通过一组带通滤波器来识别每个按键。过一组带通滤波器来识别每个按键。带阻滤波器带阻滤波器：抑制某一频带的信号。例如，从复合电视信号：抑制某一频带的信号。例如，从复合电视信号中滤除频分复用的色度信号，以便得到亮度信号。中滤除频分复用的色度信号，以便得到亮度信号。IIR DF 概述：概述：分类分类 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院5n 数
5、字域性能指标数字域性能指标 通带截止频率通带截止频率 p 通带波动通带波动Ap(dB，相对指标，相对指标)或或通通带容限带容限p(绝对指标绝对指标)阻带起始频率阻带起始频率 s 阻带衰减阻带衰减 As(dB，相对指标，相对指标)或或阻带容限阻带容限s(绝对指标）绝对指标）。通带波动通带波动过渡带过渡带阻带衰减阻带衰减 11-p1+ps0ps绝对指标绝对指标通带波动通带波动过渡带过渡带Ap0As相对指标相对指标|H(ej)|理想特性理想特性Butterworth,Chebyshev,Cauer(椭圆）椭圆）|H(ej)|/dB性能指标性能指标最重要的设计参数最重要的设计参数：频带容限（波动）和频
6、带边缘频率频带容限（波动）和频带边缘频率 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院6性能指标性能指标pps1()1 ()jpjsH eH e 由于绝对指标由于绝对指标|H(ej)|max=（1p），因此，存在如，因此，存在如下定义下定义:jw10jwmax|H(e)|20logdB|H(e)|pppssp1A20lg0 (0)1A20lg0 (1)1 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院7n 模拟域性能指标：模拟域性能指标：假定模拟滤波器的频率响应为假定模拟滤波器的频率响应为 Ha(j)，则基于平方幅度响应的低，则基于平方幅度响应的低通滤波器技术指标
7、为：通滤波器技术指标为：2ap21H(j)11 2a210H(j)sA 其中其中:为通带内波动系数，为通带内波动系数，p：通带截止频率：通带截止频率 A 为阻带衰减参数，为阻带衰减参数，s：阻带起始频率：阻带起始频率 c：3dB 截止频率截止频率性能指标性能指标通带波动通带波动过渡带过渡带10ps|Ha(j)|2211 21A模拟滤波器的技术指标模拟滤波器的技术指标c0.5阻带衰减阻带衰减 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院8IIR DF 概述：概述：设计过程设计过程 性能指标确定性能指标确定 按需要确定滤波器的性能要求按需要确定滤波器的性能要求，比如确定所要设计的滤
8、波器是低，比如确定所要设计的滤波器是低通、高通、带通还是带阻，截止频率是多少，阻带的衰减有多大，通、高通、带通还是带阻，截止频率是多少，阻带的衰减有多大，通带的波动范围是多少等。通带的波动范围是多少等。系统函数确定系统函数确定 用一个因果稳定的系统函数用一个因果稳定的系统函数(或差分方程、脉冲响应或差分方程、脉冲响应h(n)去逼近去逼近上述性能要求。上述性能要求。此系统函数可分为两类，即此系统函数可分为两类，即 IIR 系统函数与系统函数与 FIR 系系统函数。统函数。算法设计算法设计 用一个有限精度的运算去实现这个系统函数用一个有限精度的运算去实现这个系统函数（速度、开销、稳定（速度、开销、
9、稳定性等性等)。这里包括选择算法结构，如级联型、并联型、正准型、横截。这里包括选择算法结构，如级联型、并联型、正准型、横截型或频率取样型等等；还包括选择合适的字长以及选择有效的数字型或频率取样型等等；还包括选择合适的字长以及选择有效的数字处理方法等。处理方法等。实施方法实施方法 硬件实现、软件实现。硬件实现、软件实现。北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院9IIR DF 概述：概述：设计方法设计方法n 直接设计直接设计累试累试(只适用于简单只适用于简单 DF DF 的设计的设计)；极点极点峰值；零点峰值；零点谷值谷值设置其零极点以达到简单的性能要求设置其零极点以达到简单的
10、性能要求特点：简单，但是需要经验。特点：简单，但是需要经验。优化设计优化设计 CADCAD系统函数系统函数 H(zH(z)的系数的系数 a ak k,b,bk k 或零极点或零极点 c ci i,d,di i 等参数，可等参数，可采用优化设计方法确定。采用优化设计方法确定。步骤：步骤：优化原则优化原则 ：最小均方误差准则，绝对误差准则等：最小均方误差准则，绝对误差准则等;赋予初值赋予初值;根据优化准则计算误差根据优化准则计算误差;改变参数赋值，再次计算误差，如此迭代下去，直至误差达到改变参数赋值，再次计算误差，如此迭代下去，直至误差达到最小。最小。00.20.40.60.810.60.811.
11、21.41.61.82frequency Unit:piMagnitudeMagnitude Response-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Real PartImaginary PartPole-Zero Plot0.450w=0w=/2w=ejw 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院10IIR DF 概述：概述：设计方法设计方法 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院11(模拟滤波器的设计理论已相当成熟，并可利用完备的图、表加快设计过程模拟滤波器的设计理论已相当成熟，并可利用完备的图、表加快
12、设计过程)模拟模拟-数字滤波器变换方法：数字滤波器变换方法：冲激响应不变法冲激响应不变法和和双线性变换法双线性变换法模拟原型法设计流程模拟原型法设计流程n 用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器（模拟原型法）（模拟原型法）北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院12模拟原型法设计流程模拟原型法设计流程(1)设计归一化的模拟低通滤波器，得到传输函数设计归一化的模拟低通滤波器，得到传输函数)s(H1(2)把把 变换为所要求的数字低通、高通、带通或变换为所要求的数字低通、高通、带通或 带阻滤波器的传输函数带阻滤波器的传输函数)s(H1)z(Hd频率变
13、换频率变换模拟低通滤波器设计)(1sH模拟频率变换模拟数字滤波器变换)s(H)s(Hd1)z(H)s(HddIIR滤滤波器波器设计设计模拟频率变换模拟频率变换模拟低通滤波器设计)s(H1模拟数字滤波器变换数字频率变换)z(H)s(H11)z(H)z(Hd1IIR滤滤波器波器设计设计数字频率变换数字频率变换 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院13n利用模拟原型法设计数字滤波器，遵循以下几个步骤：利用模拟原型法设计数字滤波器，遵循以下几个步骤：所要求的数字滤波器指标；所要求的数字滤波器指标；设计性能设计性能相似的模拟滤波器的系统函数相似的模拟滤波器的系统函数 Ha(S)；
14、进行进行滤波器变换滤波器变换（由（由s平面平面z平面），得到平面），得到 DF 的系的系统函数统函数H(z）；）；模拟模拟/数字滤波器变换方法：数字滤波器变换方法：冲激响应不变法和双线性变换冲激响应不变法和双线性变换法法。也就是根据什么准则把。也就是根据什么准则把Ha(s)转换为转换为 H(z)。进行进行数字频率变换数字频率变换，从数字，从数字低通低通滤波器中得到其它类滤波器中得到其它类型的数字滤波器。型的数字滤波器。模拟原型法设计流程模拟原型法设计流程 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院14n 为什么要研究模拟滤波器？为什么要研究模拟滤波器？DF DF 是数字信号处
15、理中极为重要的应用，但是数字信号处理中极为重要的应用，但 DF DF 是是近几十年近几十年发展起来的，它发展起来的，它在很多方面要使用在很多方面要使用模拟滤波器模拟滤波器的概念和知识；的概念和知识；模拟滤波器本身也很有用。模拟滤波器本身也很有用。因此，在研究因此，在研究 DF DF 之前，我们先讨论模拟滤波器的特性和之前，我们先讨论模拟滤波器的特性和用逼近方法求其用逼近方法求其转移函数转移函数。n 为什么设计滤波器必须用逼近的方法？为什么设计滤波器必须用逼近的方法？这是由于滤波器的这是由于滤波器的理想特性是不能实现的理想特性是不能实现的，而必须用逼近的方法。，而必须用逼近的方法。模拟滤波器的设
16、计模拟滤波器的设计通带波动通带波动过渡带过渡带阻带衰减阻带衰减0ps|H(j)|理想特性理想特性 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院15n 理想滤波器理想滤波器 设一滤波器输入信号为设一滤波器输入信号为 x(t)，其输出为，其输出为 y(t)，系统的单位冲激响应，系统的单位冲激响应为为 h(t)。若。若 y(t)=kx(t-td)，k 为常数，为常数，则为理想滤波器则为理想滤波器 频率响应定义为：频率响应定义为：()()()()()ddj tj tY jkeX jH jkeX jX j 理想滤波器的频率响应理想滤波器的频率响应x(t)y(t)=kx(t-td)理想滤波
17、理想滤波k00ArgH(j)=-td相频特性相频特性幅频特性幅频特性|H(j)|p 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院16 理想滤波器的频率响应理想滤波器的频率响应n 理想滤波器的特性理想滤波器的特性通带内通带内对所有频率分量的放大倍数是相同的对所有频率分量的放大倍数是相同的（这种（这种特性称为全通）：特性称为全通）：|H(j)|=k线性相位：线性相位：argH(j)=-td在阻带范围内在阻带范围内|H(j)|=0过渡带的宽度为过渡带的宽度为 0。北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院17 理想滤波器的频率响应理想滤波器的频率响应n 可实现性？可
18、实现性？理想低通滤波器的冲激响应可以直接由它的频率响应进行傅理想低通滤波器的冲激响应可以直接由它的频率响应进行傅立叶反变换得到。我们知道，矩形函数和立叶反变换得到。我们知道，矩形函数和 Sinc 函数是一对傅函数是一对傅立叶变换。因此，理想低通滤波器的冲激响应为一个立叶变换。因此，理想低通滤波器的冲激响应为一个 Sinc(x)函数，函数，具有无穷长的持续时间具有无穷长的持续时间。在实际应用中，我们如何构建一个理想滤波器？也就是能否在实际应用中，我们如何构建一个理想滤波器？也就是能否得到一个具有因果冲激响应的理想滤波器？得到一个具有因果冲激响应的理想滤波器？答案是否定的答案是否定的。如果我们所要
19、求的滤波器是因果的和实际可实现的，则它就如果我们所要求的滤波器是因果的和实际可实现的，则它就不是理想的。不是理想的。n 在离散时间系统中，有类似的理想数字滤波器定义。在离散时间系统中，有类似的理想数字滤波器定义。北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院18 ()()()()arg()jHjHjeHj 理想滤波器的频率响应理想滤波器的频率响应n 频率响应的性质频率响应的性质在模拟滤波设计中在模拟滤波设计中 采用不同的多项式去采用不同的多项式去逼近逼近给定的滤波器幅度频率响应给定的滤波器幅度频率响应 然后由设计的幅度频率响应，然后由设计的幅度频率响应，得到得到模拟滤波器的系统模
20、拟滤波器的系统 函数函数 H(s)。北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院19分析证明分析证明:在因果系统中，在因果系统中，00()()()cos()sin()()()j tH jh t edth ttjt dtPjQ (1)|H(j)|是是 的偶函数的偶函数 理想滤波器的频率响应理想滤波器的频率响应如何由幅度频率响应求系统函数如何由幅度频率响应求系统函数 H(sH(s)呢？呢？式中式中 P()是是的偶函数，的偶函数，Q()是是 的奇函数。的奇函数。P2()和和 Q2()都是都是 的偶函数，故的偶函数，故|H(j)|是是 的偶函数的偶函数 北京邮电大学信息与通信工程学院北
21、京邮电大学信息与通信工程学院20理想滤波器的频率响应理想滤波器的频率响应1.若要求稳定且因果，则若要求稳定且因果，则 将左半平面的极点作为将左半平面的极点作为 Ha(s)的极点；的极点；2.若要求最小相位，则若要求最小相位，则 将左半平面的零点作为将左半平面的零点作为 Ha(s)的零点；的零点；22 ()()H(s)H(-s)=)()|sjsjjsHsHsHjHs ()()()()()()HjpjQpjQHj 2 ()()()()()HjHjHjHjHj (幅度平方函数幅度平方函数)目的：目的：求模拟滤波器的系统函数求模拟滤波器的系统函数 Ha(s)；Ha(s)的构造：的构造：性能指标性能指标
22、|Ha(j)|2|H(s)|2s=j 零、极点的分配零、极点的分配 Ha(s)逼近多项式逼近多项式 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院21(2)系统函数系统函数 H(s)的确定的确定 因为冲激响应因为冲激响应 h(t)是实函数的，因而是实函数的，因而 H(s)的极点（或零点）必的极点（或零点）必成成共轭对存在共轭对存在。H(s)H(-s)的极、零点分布如图所示，的极、零点分布如图所示，成象限对称成象限对称，虚轴上零点上，虚轴上零点上的的“2”表示二阶零点。表示二阶零点。H(s)H(-s)在在虚轴上的极点或零点一定是二阶的虚轴上的极点或零点一定是二阶的，但对于稳定系统，
23、但对于稳定系统，H(s)H(-s)在虚轴上没有极点。在虚轴上没有极点。理想滤波器的频率响应理想滤波器的频率响应22 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院22 由幅度平方函数由幅度平方函数|H(j)|2 确定确定 H(s)的方法如下：的方法如下：由由 得到象限对称的得到象限对称的 s 平面函数；平面函数；求零极点：求零极点：将将 H(s)H(-s)因式分解，得到各个零点和极点；因式分解，得到各个零点和极点；极点选择：极点选择：任何可实现的滤波器都是稳定的，因此将左半平面的任何可实现的滤波器都是稳定的，因此将左半平面的极点归于极点归于 H(s)，右半平面的极点归于，右半平面
24、的极点归于 H(-s)；零点选择：零点选择：如果要求最小相位延时特性，则如果要求最小相位延时特性，则 H(s)应取左半平面上应取左半平面上的零点；如果没有特性要求，则可将对称零点的任一半（的零点；如果没有特性要求，则可将对称零点的任一半（应为共应为共轭对轭对）取为）取为 H(s)的零点；的零点；j轴上的零点或极点都是偶次的，其中轴上的零点或极点都是偶次的，其中一半（应为共轭对）属于一半（应为共轭对）属于 H(s)；增益：增益：按照按照 H(j)和和 H(s)的低频特性的对比，即的低频特性的对比，即 H(j)|=0=H(s)|s=0，或高频特性的对比，确定系统的增益常数，或高频特性的对比，确定系
25、统的增益常数 K0；由求出的由求出的 H(s)的零点、极点和增益常数，确定系统函数的零点、极点和增益常数，确定系统函数 H(s)。理想滤波器的频率响应理想滤波器的频率响应222|()|()()sH jH s Hs 01001()()()()()()()mnszszszH sKspspsp 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院23例：例：根据以下幅度平方函数确定系统函数根据以下幅度平方函数确定系统函数 H(s)解：解：其极点为：其极点为：其零点为：其零点为：理想滤波器的频率响应理想滤波器的频率响应422424(64)|()|10169H j 4424(64)2()()()
26、2210169sH s HsH jsss 23,23sjsj 22,22sjsj 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院24为了系统稳定，选择：为了系统稳定，选择：左半平面极点左半平面极点 一对共轭零点一对共轭零点作为作为 H(s)的零、极点，并设增益常数为的零、极点，并设增益常数为 K0，则，则 H(s)为：为：H(j)和和 H(s)的低频特性或高频特性的对比可以确定增益常数。在这里我的低频特性或高频特性的对比可以确定增益常数。在这里我们采用低频特性，即由们采用低频特性，即由 H(j)|=0=H(s)|s=0 的条件可得增益常数为：的条件可得增益常数为：K0=2最后得到
27、最后得到 H(s)为：为：理想滤波器的频率响应理想滤波器的频率响应23sj 22sj 202(48)()413KssH sss 22222(48)2816()413413ssssH sssss 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院25sp00|H(j)|AminAmax通带通带过渡带过渡带阻带阻带As问题的提出：问题的提出：滤波器的理想特性无法实现，只能是近似实现。滤波器的理想特性无法实现，只能是近似实现。模拟滤波器的幅频特性模拟滤波器的幅频特性模拟滤波器特性的逼近模拟滤波器特性的逼近 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院26模拟滤波器特性的逼近
28、模拟滤波器特性的逼近n 技术要求技术要求LPF LPF 的技术要求包括：的技术要求包括：截止频率（或通带的频率上限）截止频率（或通带的频率上限）p p 通带内所允许的最大衰减或波动通带内所允许的最大衰减或波动 p p 阻带下限频率阻带下限频率 s s 阻带内所要求的最小衰减阻带内所要求的最小衰减 s s 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院27212()()10lg()10lg()110log20lg()2()PX jPY jH jH j 注意：注意：这里只提到幅频特性而没有相位问题。因为数字滤这里只提到幅频特性而没有相位问题。因为数字滤波器的设计中用到的是模拟滤波器的
29、幅频特性，而不考虑波器的设计中用到的是模拟滤波器的幅频特性，而不考虑其相频特性或群时延。其相频特性或群时延。模拟滤波器特性的逼近模拟滤波器特性的逼近n 衰减特性衰减特性 衰减特性衰减特性()是是单调变化单调变化的或者是的或者是波纹状变化波纹状变化。假设。假设 P P1 1、P P2 2 分别为滤波器输入、输出功率，则定义：分别为滤波器输入、输出功率，则定义：北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院28 212211()()Pk jPH j 221()1()H jk j 221()10lg10lg 1()()k jH j 则有：则有：模拟滤波器特性的逼近模拟滤波器特性的逼近n
30、 特征函数特征函数 上式不易直接用多项式和有理式来逼近。因此，需要找一上式不易直接用多项式和有理式来逼近。因此，需要找一个能够用多项式或有理式逼近的函数，以个能够用多项式或有理式逼近的函数，以 K(j)表示，称之表示，称之为为特征函数特征函数。()210()101k j 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院29模拟滤波器特性的逼近模拟滤波器特性的逼近n 逼近方法逼近方法 若给定了衰减若给定了衰减()或或|Hd(j)|，则找某种方法逼近则找某种方法逼近 ()或或|Hd(j)|。使使|k(j)|2 等于一个以等于一个以 2 为自变量的多项式或有理式。为自变量的多项式或有理式
31、。由此，根据逼近函数（多项式或有理式）的不同，有多种不同类型的滤由此，根据逼近函数（多项式或有理式）的不同，有多种不同类型的滤波器：波器：巴特沃思逼近巴特沃思逼近 切比雪夫逼近切比雪夫逼近 逆切比雪夫逼近逆切比雪夫逼近 椭圆逼近椭圆逼近.北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院30目的目的：相应于特定的逼近方法，制定图表以相应于特定的逼近方法，制定图表以概括所有概括所有的逼近结果，从的逼近结果，从而简化滤波器的设计。而简化滤波器的设计。优点优点：归一化后，归一化后，Filter 的计算方法不因频率的绝对高低而异，因此，的计算方法不因频率的绝对高低而异，因此，归一化后的图表曲
32、线都能归一化后的图表曲线都能统一使用统一使用。模拟滤波器特性的逼近模拟滤波器特性的逼近例如例如:（1）531030,ppsskHzdBkHzdB 以以 p 为参考频率，以为参考频率，以 表示归一化频率。表示归一化频率。10125,spspkHzkHz （2）3036030,ppsskHzdBkHzdB 以以 p p 为参考频率，以为参考频率，以 表示归一化频率。表示归一化频率。12,spsp n 归一化：归一化：按某一特定频率按某一特定频率(参考频率参考频率)实施标称化实施标称化 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院31巴特沃思巴特沃思低通逼近低通逼近幅度平方函数：幅度
33、平方函数：221()1aNcHjc:3dB 截止频率，单位为截止频率，单位为 rad/sN:待确定的滤波器阶数待确定的滤波器阶数整个频带内整个频带内幅度特性单幅度特性单调下降调下降scAp0|H(j)|Asp3dB特点：特点：（1）3dB 点及其不变性；点及其不变性；（2）单调下降性；）单调下降性；（3）最大平坦性；）最大平坦性；北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院32因此，称因此，称 c 为为 3dB 带宽（或带宽（或半功率点半功率点截止频率）截止频率）3dB 点与点与 N 值无关，称为值无关，称为 3dB 不变性。不变性。n 3dB 带宽带宽 22121101032
34、 c|H(j)|lg|H(j)|lgdB 巴特沃思巴特沃思低通逼近低通逼近c10|H(j)|0.707N=2N=4N=6巴特沃思幅频特性和阶数的关系巴特沃思幅频特性和阶数的关系221()1aNcHj 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院33n 最平坦函数最平坦函数 因此因此 B 型特性也称为最平坦特性滤波器。型特性也称为最平坦特性滤波器。n N 的影响的影响 N 越大，越大，B 型滤波器的特性型滤波器的特性 越接近理想的矩行形状越接近理想的矩行形状(越陡峭越陡峭)。有限平面只有极点。有限平面只有极点。（“全极点型全极点型”滤波器滤波器）22010|H(j)|H(j)|当
35、当，；当当，220011cccc|H(j)|N|H(j)|N ；随随着着的的增增大大而而趋趋于于平平坦坦；随随着着 的的增增大大而而快快速速下下降降巴特沃思巴特沃思低通逼近低通逼近c10|H(j)|0.707N=2N=4N=6巴特沃思幅频特性和阶数的关系巴特沃思幅频特性和阶数的关系 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院34n 设计过程设计过程 性能指标性能指标 求滤波器阶数求滤波器阶数 N；性能指标性能指标 3dB 频率点频率点 c 计算极点或查表计算极点或查表 归一化系统函数归一化系统函数 H(p)；计算或反归一化计算或反归一化 系统函数系统函数 H(s)；n LPF
36、 技术要求包括：技术要求包括：通带频率通带频率p 通带内衰减通带内衰减 Ap3dB 阻带下限频率阻带下限频率 s 阻带内最小衰减阻带内最小衰减 As巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院35巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器 由给定的通带指标由给定的通带指标p、Ap 和阻带和阻带s、As，求得滤波器的，求得滤波器的阶数阶数 N：n LPF 技术要求包括：技术要求包括：通带频率通带频率p 通带内最大衰减通带内最大衰减 Ap 阻带下限频率阻带下限频率 s 阻带内最小衰减阻带内最小衰减 As2211()(/)NcH j 2210lg 1,10lg 1NN
37、pspsccAA 0.120.1101)101spANsAp （0.10.1101lg101N=2lg()spAAsp 滤波器阶数滤波器阶数 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院36巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器 如果给定的是其它频率处（例如如果给定的是其它频率处（例如p）的指标，则由下列）的指标，则由下列公式求得公式求得 3dB 截止频率截止频率 c：0 12101.ppcAN 0.12101sscAN 由此式确定的滤波器在阻带处正好满足设计要求。由此式确定的滤波器在阻带处正好满足设计要求。由此式确定的滤波器通带截止频率处正好满足设计要求。由此式确定的滤波器通带截止频率
38、处正好满足设计要求。类似地，类似地，也可以由阻带起始频率也可以由阻带起始频率s 处的衰减处的衰减 As 求得求得 3dB 截止频率截止频率 c：得到滤波器阶数得到滤波器阶数 N 后，由后，由 Ap 或或 As 求得求得 3dB 截止频率截止频率 c由通带截止频率由通带截止频率p 处的衰减处的衰减 Ap 求得求得 3dB 截止频率截止频率 c：210lg 1 NpcpA 210lg 1cNssA 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院37 求归一化系统函数求归一化系统函数 H(p)得到了巴特沃思滤波器的阶数得到了巴特沃思滤波器的阶数 N 后，就可以确定零极点形式的后，就可以
39、确定零极点形式的传输函数传输函数 H(s)。2|()|()()|sjH jH s Hs 2211111/()()(/)()(/)NNNccsjH s Hss 把拉普拉斯变量把拉普拉斯变量 s 归一化为归一化为 p=s/c，则，则2111()()()()NNH p Hpp 巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院382122()k=0,2N-.11,.,kjjNkpee 令上式分母多项式等于零，得到令上式分母多项式等于零，得到 2N 个极点：个极点：极点的分布特性极点的分布特性2N 个极点均匀地分布在个极点均匀地分布在 S 平面上半径为平面上半径
40、为 1 的圆周上的圆周上(非归一非归一化时半径为化时半径为 c)；极点之间相距极点之间相距/N 弧度；弧度；这些极点一半位于这些极点一半位于 S 平面的左半平面，另一半位于平面的左半平面，另一半位于 S 平面的平面的右半平面；右半平面；极点不落在虚轴上，从极点不落在虚轴上，从/2+/2N 弧度开始。弧度开始。N 为奇数，实轴上有极点，为奇数，实轴上有极点，N 为偶数，实轴上无极点为偶数，实轴上无极点巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院3910()()|()cNcsNpkckH sH psp 求系统函数求系统函数 H(s)把把 p=s/c 带
41、入带入 H(p)得到得到实际需要的实际需要的 H(s)为：为：为了使得系统稳定为了使得系统稳定，取，取 pk 在在 S 平面左半平面的平面左半平面的 N 个根个根作为作为 H(p)的极点，即：的极点，即：2122()k=0,1,.1.,N-kjjNkpee 0111()()()()NH ppppppp 巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院40()()cspH sH p n 图表法图表法模拟滤波器理论已相当成熟，实际中我们更多的是采模拟滤波器理论已相当成熟，实际中我们更多的是采用用查表法查表法，其设计步骤概括起来有以下几个方面：，其设计步骤概
42、括起来有以下几个方面：将频率归一化将频率归一化（注意：给出的表格都是以（注意：给出的表格都是以 3dB 点频率点频率 c 为参考频为参考频率，如果给定的指标不是率，如果给定的指标不是c，则需要根据前面的公式计算，则需要根据前面的公式计算c）；由归一化频率由归一化频率幅频特性曲线幅频特性曲线(见图见图4.7)，查得阶数，查得阶数N；查表查表4.2，得，得 H(p)的分母多项式；的分母多项式；把把 p=s/c 代入分母多项式中，得到对应于真实频率的代入分母多项式中，得到对应于真实频率的系统函数系统函数 H(s)：巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程
43、学院41巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院42巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院43 通带截止频率通带截止频率:2(5)3dBckHz 频频率率通带最大衰减通带最大衰减 3PAdB 阻带起始频率阻带起始频率:2(10)skHz 阻带最小衰减阻带最小衰减:30sAdB 例：例：技术要求：技术要求：巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院441)将各频率归一化将各频率归一化2)求求 N：查归一化幅频特性图：查归一化幅频特性图(图图4.8)
44、，得，得 N=5；3)查表查表4.2，得，得 H(p)的分母多项式的分母多项式(c栏栏）22(1)(0.61803401)(1.61803401)ppppp 4)对应于真实频率的转移函数对应于真实频率的转移函数 H(s)用用 410cssp 代入分母多项式，得代入分母多项式，得:n 图表法图表法2,1sspc 巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器 52024244224410()(10)0.618(10)(10)1.618(10)10H ssss ss 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院45n 计算法计算法巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器222111110000()(/)(/)N
45、NcH j 由由 s 和和 As 得滤波器的阶数为：得滤波器的阶数为：0 10 10 1 301011011014 98222.lglg().lglgspAAscN 取整后，得取整后，得 N=5。H(p)H(-p)的极点为：的极点为：212110222()()=k=0,1,.,9kkjjjjNkpeeee 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院46巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器 当当 0k4 时，时，pk 的相角处于的相角处于/2 和和3/2 之间，之间，pk 在在 S 平面的左半平面的左半平面。取这些根作为平面。取这些根作为 H(p)的极点，系统是稳定的。的极点，系统是稳
46、定的。357921021021021021001234()()()()(),jjjjjpepepepepe所以，所以，354565752211110 618011 61801/()()()()()()()(.)(.)jjjjH ppepeppepeppppp 最后最后 52022424424410100 618010101 61801010()()|().().()cspH sH pssss 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院47n,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)：求滤波器的阶数：求滤波器的阶数1）Wp，通带截止频率；，通带截止频率；Ws，阻带起始
47、频率；，阻带起始频率；Rp，通带最大衰减；，通带最大衰减；Rs，阻带，阻带最小衰减；最小衰减；在数字滤波器中，在数字滤波器中，wp 和和 ws 在在 01 之间，而在模拟滤波器中，之间，而在模拟滤波器中，wp 和和 ws 可以大于可以大于 1。2）n,Butterworth 模拟滤波器的阶数；模拟滤波器的阶数；Wn，3dB 频率点。频率点。z,p,k=buttap(n)：求归一化滤波器系统函数的零、极点和增益：求归一化滤波器系统函数的零、极点和增益1）n，Butterworth 低通原型滤波器的阶数；低通原型滤波器的阶数；2）z，Butterworth 低通原型滤波器的零点低通原型滤波器的零点
48、，z 是空矩阵（从是空矩阵（从 Butterworth 滤滤波器的定义可知，其分子多项式为波器的定义可知，其分子多项式为1，零点在，零点在 ）；p，Butterworth 低通低通原型滤波器的极点；原型滤波器的极点；k，Butterworth 低通原型滤波器的增益。低通原型滤波器的增益。12()()()()()()nz pkH pp ppppppp 巴特沃思滤波器的巴特沃思滤波器的Matlab 实现实现 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院48n Butterworth 模拟滤波器设计模拟滤波器设计2211()(/)NcH j 0 10 11011012.lglgspA
49、AspN 10()()|()cNcasNpkckHsH psp 巴特沃思滤波器小结巴特沃思滤波器小结特点：特点：（1）3dB点及其不变性；点及其不变性；（2）单调下降性；）单调下降性；（3）最大平坦性；）最大平坦性；2122 k=0,1,.,N-1()kjjNkpee jS 平面平面s=+j整个频带内整个频带内幅度特性单幅度特性单调下降调下降scAp0|H(j)|Asp3dB 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院49巴特沃思滤波器小结巴特沃思滤波器小结n B 型滤波器的缺点：型滤波器的缺点：0 频率点附近幅度特性接近理想频率点附近幅度特性接近理想3dB 频率处逼近特性不
50、好频率处逼近特性不好n 解决办法：解决办法：将指标精度均匀分布在通带内、阻带内或通带阻带内，将指标精度均匀分布在通带内、阻带内或通带阻带内，即选择具有等波纹特性的逼近函数来实现。即选择具有等波纹特性的逼近函数来实现。n 分析：分析：将特征函数在将特征函数在 0 频率点处的频率点处的 N 个过零点均匀分布在通个过零点均匀分布在通带内，使幅度函数在通带内多处出现最大值带内，使幅度函数在通带内多处出现最大值 1，以此，以此改善通带总特性。改善通带总特性。C 型滤波器具有这种特性。型滤波器具有这种特性。北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院50目的：获取更为快速衰落的幅频特性目的
