1、第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分的概念及性质定积分的概念及性质设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中任意插入中任意插入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，),2,1(i，在在各各小小区区间间上上任任取取一点一点i（iix ），），作作乘乘积积iixf)(),2,1(i并作和并作和iinixfS )(1，二、定积分的概念与几何意义二、定积分的概念与几何意义定义定义一、问题的提出一、
2、问题的提出怎怎样样的的分分法法，baIdxxf)(iinixf )(lim10 积分区间积分区间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎样的取法，怎样的取法，只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于确定的极限确定的极限I，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：（1）积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定义中区间的分法和）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的的取法是任意的.（
3、3 3）当函数）当函数)(xf在区间在区间,ba上的定积分存在时，上的定积分存在时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在区间在区间,ba上上可积可积.（4 4）当）当0n时才有时才有反之，不成立反之，不成立，当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1定理定理2 2 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在三、存在定理三、存在定理区区间间,ba上上可可积积.,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积,0)(xf ba
4、Adxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义对定积分的对定积分的补充规定补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)(badxxf；（2）当当ba 时时，abbadxxfdxxf)()(.五、五、定积分性质定积分性质 badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1 babadxxfkdxxkf)()(k为为常常数数).性质性质2 2 badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总
5、成立上式总成立.cba,假设假设bca 性质性质3 3dxba 1dxba ab .性质性质4 4则则0)(dxxfba.)(ba 性质性质5 5如如果果在在区区间间,ba上上0)(xf，如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba)()(abf .)(ba 性质性质6 6（定积分中值定理）（定积分中值定理）第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续，并且设上连续，并且设 x为为,ba上的一点，上的一点，xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadtt
6、f)(记记.)()(xadttfx积分上限函数积分上限函数 如如果果上上限限 x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的 x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，二、二、积分上限函数及其导数性质积分上限函数及其导数性质变上限函数变上限函数一、问题的提出一、问题的提出定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 积分上限函数的性质积分上
7、限函数的性质bxdttfx)()(则则)()(xfx积分下限函数积分下限函数变下限函数变下限函数 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为 )()()()(xaxafxbxbf )()()()(xbxadttfdxdxF则则 2sin)(xxpxdttxp02sin)(例例 解解41)(xxp2021)(xdttxp例例求函数求函数的导数的导数x2412xx21xy10 xy4543xy解解xdtty0210 x43x例例求函数求函数当当及及时的导数时的导数例例 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1
8、cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.4030sinlimxdxxxx例例 例例 0020coslimxxxxdxedxx3304sinlimxxx41xxex20coslim1练习练习 求下列函数的导数求下列函数的导数（2）021xdxxxdttt2sin（1）xxsin21x202cos1sinxdtttt（3）2223cos1sin2xxx（5）42cosxedtt
9、txtdttesin021（4）xxex2sinsin1cosxxxeee2cos定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间 ,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba .三、三、牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明微积分基本公式表明 baxF)(一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba 时，时，)()(
10、)(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.只有有限个第一类间断只有有限个第一类间断点点)(xf,ba求定积分的条件求定积分的条件：在在上连续或上连续或如：如：1121dxx不可以使用不可以使用N-L公式公式例例 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x2ln2ln1ln（4）20sin dxx203cossind（3）204cos414120)sin(sindxxxdx4例例（2）10241dxx2021dxx（1）202lnx2ln102arcsinx6
11、第三节第三节 定积分计算定积分计算定理定理 假假设设（1 1）)(xf在在,ba上上连连续续；（2 2）函函数数)(tx 在在,上上是是单单值值的的且且有有连连续续导导数数；（3 3）当）当 t在区间在区间,上变化时，上变化时，)(tx 的值的值在在,ba上变化，且上变化，且a)(、b)(，则则 有有dtttfdxxfba )()()(.一、一、定积分的换元法定积分的换元法注注意意 当当 时时，换换元元公公式式仍仍成成立立.例例 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x,0 t0 x,1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t.61,sin xdxdt
12、 例例 当当)(xf在在,aa 上连续，且有上连续，且有 )(xf为偶函数，则为偶函数，则 aaadxxfdxxf0)(2)(；)(xf为奇函数，则为奇函数，则 aadxxf0)(.证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx ,0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf为为偶偶函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为为奇奇函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.0 例：例：11457cos182dxxxxx01
13、0221122)1(2)1(dxxxdxxx10221122)1(2)1(dxxxdxxx2022cos)sin1(sin2tdttt32cossin2202tdtt1122)1(dxxx例：例：解：解：tdtdxtxcossin令令时时10:x20:t当当或或1122)1(dxxx10220122)1()1(dxxxdxxx0222cos)sin1(sintdttt2022cos)sin1(sintdttt022cos)sin(tdtt202cossintdtt323131例例 若若)(xf在在1,0上连续，证明上连续，证明 （1）2200)(cos)(sindxxfdxxf;（2）00)(
14、sin2)(sindxxfdxxxf.由此计算由此计算 02cos1sindxxxx.证证（1）设）设tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x,0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）设）设tx ,dtdx 0 x,t x,0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(cosc
15、os112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf 设设函函数数)(xu、)(xv在在区区间间 ba,上上具具有有连连续续导导数数，则则有有 bababavduuvudv.四、四、定积分的分部积分法定积分的分部积分法例例 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x .12312 则则例：例：eedxx1ln11lnedxxedxx1ln11)ln(exxxexxx1)
16、ln(e22420sindxx2200cos2cos2tdttt420sindxx例：例：解：解：tdtdxxt2令令40:2x20:t当当时时20sin2tdtt2第四节第四节 定积分的应用定积分的应用曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(一、一、定积分的元素法定积分的元素法曲曲边边梯梯形形由由连连续续曲曲线线)(xfy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。1 1、问题的提出、问题的提出元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：1）根根据据问问题题的的具具体体情情况况，选选取取一一个个变变量量例例如如 x为为积积分分变变量量，并并确确定定它它的
17、的变变化化区区间间,ba；2）设想把区间）设想把区间,ba分成分成 n个小区间，取其中任个小区间，取其中任一小区间并记为一小区间并记为,dxxx，求出相应于这小区，求出相应于这小区间的部分量间的部分量U 的近似值的近似值.如果如果U 能近似地表示能近似地表示为为,ba上的一个连续函数在上的一个连续函数在 x 处的值处的值)(xf与与 dx的乘积，就把的乘积，就把dxxf)(称为量称为量 U的元素且记的元素且记作作dU，即，即dxxfdU)(；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfU)(，即即为为所所求求
18、量量U的的积积分分表表达达式式.这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法二、二、平面图形的面积平面图形的面积1 1、直角坐标系情形、直角坐标系情形例例 计算由两条抛物线计算由两条抛物线xy 2和和2xy 所围成的所围成的图形的面积图形的面积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1,0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 例例 计算由曲线计算由曲线xy22 和直线和直线4 xy所围成所围成的图形的面积的图形的面积.解解两曲线的交点两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选选
19、 为积分变量为积分变量y4,2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xydxxfydxdss)(小结小结（1）面积与曲线位置无关）面积与曲线位置无关（2）思想：将微元）思想：将微元“和和”起来，即微元法（元起来，即微元法（元素法，微元分析法）素法，微元分析法）dyyxdydss)(同理同理)(xxfs（面积微分）（面积微分）ydxds微元微元面积元面积元 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴三、旋转体的体积三、旋转体的体积以以x轴为旋转轴所得旋转体的体积为轴为旋转轴所得旋转体的体积为dxxfVba2)(dcdyyV2)(以以y轴为旋转轴所得旋转体的体积为轴为旋转轴所得旋转体的体积为234abba234334av球特别：特别：解解所得立称为旋转椭球所得立称为旋转椭球bbydyxv2（2）12222byaxxy例：求例：求分别绕分别绕轴、轴、轴旋转轴旋转所成立体的体积所成立体的体积aaxdxyv2（1）aadxaxb)1(222bbdybya)1(222202dxyvx0,2,0,sinyxxxyx例：求由曲线例：求由曲线图形绕图形绕所围成的所围成的轴旋转而成的体积轴旋转而成的体积解：解：202)(sindxx42
