1、直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系(2)一、新课引入：一、新课引入：在正方体在正方体A1B1C1D1-ABCD中，说出下列各对线段中，说出下列各对线段的位置关系的位置关系（1）AB和和C1D1；（2）A1C1和和AC；（3）A1C和和D1B；（4）AB和和CC1；（5）BD1和和A1C1；思考：思考：1、两条直线不相交则平行。、两条直线不相交则平行。（）2、无公共点的两条直线一定平行。、无公共点的两条直线一定平行。（）ABCDA1B1C1D1二、新授：二、新授：两条不重合直线之间有 、lmPml图1图2llll(一一)、空间中两直线的位置关系、空间中两直线的位置关系从图中可见，直线从图中
2、可见，直线 l 与与 m 既不相交，也不平行。既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关系称为空间中直线之间的这种关系称为异面直线异面直线。在空间中，相交相交平行平行及异面直线异面直线三种位置关系.（1）从公共点的数目来看可分为：）从公共点的数目来看可分为：有且只有一个公共点则两直线相交有且只有一个公共点则两直线相交 两平行直线两平行直线 没有公共点则没有公共点则 两直线为异面直线两直线为异面直线（2）从平面的性质）从平面的性质 来讲，可分为：来讲，可分为：两直线相交两直线相交 在同一平面内在同一平面内 两直线平行两直线平行 不同在任何一个平面内则两直线为异面直线。不同在任何一个平面内则两直线
3、为异面直线。定义：定义：的两条直线为异面直线的两条直线为异面直线(一一)、空间中两直线的位置关系、空间中两直线的位置关系:1、空间中两直线的位置关系分类、空间中两直线的位置关系分类:2.判定异面直线的方法：判定异面直线的方法：（1）根据异面直线的定义：应用反证法来证明。）根据异面直线的定义：应用反证法来证明。3.异面直线的画法：异面直线的画法：（2）过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内）过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内 不经过该点的直线是异面直线。（可作判断依据）不经过该点的直线是异面直线。（可作判断依据）是异面直线与直线，若用符号表示为llBBlAlAB,Abababa两
4、条都是平行直线，但是它们之间有什么区别？“定量”研究平行线，必须引入“距离”的概念问题回顾：问题回顾：abca与b是相交直线，a与c也是相交直线，它们之间又有什么区别？“定量”研究相交直线，必须引入“角”的概念NaMbcd直线a与b，直线a与c,直线a与d 都是异面直线，它们有什么区别？直线a与b，直线a与c,都是异面直线，它们有什么区别？aMbc异面直线所成的角的定义aMba1b1 直线a,b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线a1a,b1b,我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。o.a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1
5、a1a1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1aMba1b1o.a2b2o1.O是空间中的任意一点所成的锐角是否相等？点o常取在两条异面直线中的一条上aMbo点o常取在两条异面直线中的一条上 相交直线所成角的大小，就是异面直线所成角的大小相交直线a,b所成的角？异面直线所成的角？异面直线所成的角的范围？0090(二二)、异面直线所成角的定义：、异面直线所成角的定义：1.直线a、b是异面直线。经过空间任意一点O，分 别引直线a1a，b1b。我们把直线a
6、1和b1所成的 锐角（或直角）叫做异面直线异面直线a和和b所成的角。所成的角。aa1b1Ob aO为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上。o900 2.异面直线异面直线a和和b所成的角的范围：所成的角的范围：abOa1b1Oab1b3.找角方法：找角方法：如果两条异面直线所成的角是直角，如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两就说这两条异面直线互相垂直条异面直线互相垂直。相交垂直（有垂足）相交垂直（有垂足）垂直垂直 异面垂直（无垂足）异面垂直（无垂足）OO因此，异面直线所成角的范围是（因此，异面直线所成角的范围是（0，4、特例：、特例：2例例1.如图，在正方体中，（如图，在正方体中，（1）
7、哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？（成异面直线？（2）求直线）求直线BA1和和CC1所成的角的大小。所成的角的大小。ABCDA1B1C1D1(三三)、例题分析：、例题分析：解:(2)BB /CC ，且BB BA =B1111A BB 为异面直线A B与CC 所成角的平面角.1111异面直线BA 与CC 所成的角为45011又A BB =45011异面直线所成的角异面直线所成的角 根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有：就是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有：（1）
8、平移法：平移法：即根据定义，以即根据定义，以“运动运动”的观点，用的观点，用“平移转化平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。的方法，使之成为相交直线所成的角。2 2长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABAB=AA=AA1 1=2 cm2 cm，ADAD=1cm1cm，求异面直线，求异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成的角。所成的角。O1M（2）补形法：补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条
9、异面直线的关系。直线的关系。BDB1A1D1C1ACF1EFE1BDB1A1D1C1AC解法二解法二（补形法）（补形法）：说明说明：1.异面直线所成角的范围是异面直线所成角的范围是（0，在把异面直在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当其大小，当余弦值为负值余弦值为负值时，其对应角为钝角，这时，其对应角为钝角，这不符合不符合两两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。注意。2.当异面直线当异面直线垂直垂直时，应用线面垂直的定义或三垂线定理时，
10、应用线面垂直的定义或三垂线定理（或逆定理）等方法判定所成的角为（或逆定理）等方法判定所成的角为90(可不必作出平面角可不必作出平面角)，也是不可忽视的办法。也是不可忽视的办法。2例例3.如图，正方体中，如图，正方体中，1.A1B1与与C1C所成的角所成的角2.AD与与B1B所成的角所成的角3.A1D与与BC1所成的角所成的角4.D1C与与A1A所成的角所成的角5.A1D与与AC所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1例例4 正三棱锥正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，的侧棱与底面边长相等，如果如果E，F分别为分别为SC、AB的中点，那么异面的中点，那么异面直线直线EF与与SA所成的角等于（
11、所成的角等于（）A.90 B.60 C.45 D.30 分析：分析：根据正三棱锥的对称性，以及E、F为SC、AB的中点，应取AC的中点G，连结EG，从而达到将SA平移至EG，与EF相交的目的.易证直线EF与SA所成的角为GEFCGSBEFAC例例5 正三棱锥正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长的侧棱与底面边长 相等，如果相等，如果E，F分别为分别为SC、AB的中点，的中点，求异面直线求异面直线SF与与BE所成的角所成的角.GSABCEF 解：连结CF，取CF的中点G，连结EG、BG，则EG/SF，BEG为异面直线SF、BE所成的角.在BEG中，利用余弦定理可解得：COSBEG=.BEG=arcc
12、os()32321 例例6 如图：长方体如图：长方体AC1中，中，AB=BC=2a,AA1=a,E、H分别分别为为A1B1和和BB1的中点，的中点，求（求（1）EH与与AD1所成的角；所成的角；（2）AC1与与B1C所成的角所成的角.ABCDA1B1C1D1EH51arccos=51arccos)51arccos()51arccos(1=ABCDA1B1C1D1A2B2C2D2ABCDA1B1C1D1EO55arccos=三、巩固练习：三、巩固练习：画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使 它们成为：平行直线；相交直线；异面直线。abbaba填空：填空：1、空间两条不重合的直线的位置关系
13、有_、_、_三种。2、没有公共点的两条直线可能是_直线，也有可能是 _直线。3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 有_。4、过已知直线上一点可以作_条直线与已知直线垂直。5、过已知直线外一点可以作_条直线与已知直线垂直。平行平行相交相交异面异面平行平行异面异面无数无数无数无数相交、异面相交、异面判断对错：判断对错：1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。()2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。()3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。()4、过一点能引且只能引一条直线和已知直线垂直。()5、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直。()思考题：
14、思考题：1、a与与b是异面直线，且是异面直线，且ca，则，则c与与b一定（一定（）。）。（A）异面）异面 （B）相交）相交 （C）平行）平行 （D）不平行）不平行2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数 是（是（）对。）对。（A）6 （B）3 （C）8 （D）123、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（）平面。平面。（A）一个）一个 （B）两个）两个 （C）三个）三个 （D）四个）四个DAB四、小结：四、小结：1、空间两直线的位置关系、异面直线的定义；、空间两直线的位置关
15、系、异面直线的定义；2、求异面直线所成的角的方法与步骤是：、求异面直线所成的角的方法与步骤是：（1）根据定义找出或作辅助线找出所求的角并设为）根据定义找出或作辅助线找出所求的角并设为；（2）选取适当的三角形（选取适当的三角形（为其一个内角），通过解为其一个内角），通过解 三角形三角形求得求得的值；的值；（3）异面）异面直线所成的角的范围是直线所成的角的范围是 0900，尽量用余弦定理；，尽量用余弦定理；（4）若余弦值为负，则）若余弦值为负，则为其补角；为其补角；（5）如果两条异面直线所成的角为直角，只需证它们垂直而不找角。如果两条异面直线所成的角为直角，只需证它们垂直而不找角。3 3、异面直线
16、所成角的两种常见作法（作平行线、补形）；、异面直线所成角的两种常见作法（作平行线、补形）；4 4、降维法（立体图形问题转化为平面图形问题）是一种重要的数学降维法（立体图形问题转化为平面图形问题）是一种重要的数学思想方法思想方法归纳为：作辅助线找角；指出角（或其补归纳为：作辅助线找角；指出角（或其补角）；求角（解三角形）；结论。角）；求角（解三角形）；结论。五、作业布置：五、作业布置：1 1、课本、课本 练习练习No.No.；习题习题.No.10(1)No.10(1)、(2).(2).2 2、补充：、补充：1.在长方体在长方体ABCD-A1B1C1D1中中,若若AB=BC=3,A1A=4,求求AB1和和BC1所成角的余弦值所成角的余弦值.2.在空间四边形在空间四边形ABCD中中,AD=1,BC=,ADBC,对角对角线线BD=,AC=,求求AC与与BD所成的角所成的角.313232
