1、6.3 等比数列,高考数学,考点一等比数列的有关概念及运算1.如果一个数列从第二项起,每一项与其前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为?=q(nN*).2.如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,且G=?.3.等比数列的通项公式为an=a1qn-1和an=amqn-m.4.等比数列的公比公式为qn-1=?和qn-m=?.,知识清单,5.等比数列的前n项和公式Sn=,考点二等比数列的性质及应用1.m,n,p,qN*,若m+n=p+q,则am,an,ap,aq的关系为aman=apaq,特别地,a1an=a2
2、an-1=.2.若an和bn均是等比数列,则manbn仍为等比数列.3.若公比q-1,则等比数列中依次k项的和成等比数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等比数列,其公比为qk.,等比数列中“基本量法”的解题策略在等比数列中,把等比数列中的已知条件转化为关于首项和公比的方程,解方程组求出首项和公比的方法称为基本量法.在等比数列an中,一般参与运算的量为a1,q,n,an,Sn,若已知其中三个,则可求出其余两个,即“知三求二”,但要注意其多解性.例1(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,11)已知等比数列an的首项为1,前3项的和为13,且a2a1,则数列an的公比为,数列log3an
3、的前10项和为.,方法技巧,解题导引利用“基本量法”,求得q利用等差数列求和公式得结论,解析设数列an的公比为q,由题易知,1+q+q2=13,所以q=-4(舍)或q=3,所以an=3n-1,log3an=n-1,故S10=?=45.,答案3;45,评析本题考查等比数列的概念,利用“基本量”法求公比和数列通项,等差数列求和公式等基础知识,考查运算求解能力和方程思想.,等比数列的性质及应用的解题策略在等比数列an中,经常用到的性质:1.若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则aman=apaq,反之也成立.2.若等比数列an的前n项积为Pn,则P2n-1=?(nN*).3.若等比数列an的前n
4、项和为Sn,且公比q-1,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,也成等比数列.例2(2017浙江镇海中学第一学期期中,13)已知实数列an是等比数列,若a2a5a8=8,则?+?+?的最小值是.,解题导引 利用等比数列性质化简?+?+?利用基本不等式得结论,解析由a2a5a8=8,得a5=2,则?+?+?=?+?+1.?+?=?=?,当且仅当9?=?时取等号.a50,a30,a70,从而有a7=3a3,又a3a7=?=4,所以a3=?,a7=2?.故当a3=?,a7=2?时,?+?+?取最小值,最小值为?.,答案,等差、等比数列的综合问题的解题策略在解决等差、等比数列综合问题时,一般采用以下策
5、略:1.利用“整体法”,在等差数列中,Sn=?n,可把?看成一个整体,巧用性质,减少运算量.2.把等差数列、等比数列的通项和前n项和看成关于n的函数,借助函数与方程思想解决等差与等比数列的综合问题.3.等差数列与等比数列之间是可以转换的,如an是正项等比数列,则logaan(a0,且a1)为等差数列,从而可以用类比的方法,把等差数列的一些性质类比到等比数列中.例3(2017浙江镇海中学第一学期期中,18)已知单调递增的等比数列an满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.,(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=anlog2an,其前n项和为Sn,若(n-1)2m(Sn-
6、n-1)对n2恒成立,求实数m的取值范围.,解题导引 利用“基本量”法求得an利用错位相减法得Sn分离变量,构造函数,转化为求函数的最值利用函数的单调性得最值结论,解析(1)设等比数列的公比为q,由题意可知:2(a3+2)=a2+a4,又a2+a3+a4=28,a3=8,a2+a4=20.?解得?(舍),或?an=2n.(2)由(1)知,bn=n2n,Sn=12+222+323+n2n,2Sn=22+223+324+n2n+1,两式相减得-Sn=2+22+23+2n-n2n+1,Sn=-?=(n-1)2n+1+2.,若(n-1)2m(Sn-n-1)对n2恒成立,则(n-1)2m(n-1)2n+1+2-n-1对n2恒成立,即(n-1)2m(n-1)(2n+1-1),m?对n2恒成立.令f(n)=?,则f(n+1)-f(n)=?-?=?0对n2恒成立,n2时, f(n)单调递减,故f(n)f(2)=?,故实数m的取值范围为?.,评析本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式,等比数列的性质,错位相减法求和,不等式恒成立问题,函数的单调性与最值,考查推理运算能力,函数与方程思想和化归与转化思想.,
