1、6.4 数列求和、数列的综合应用,高考数学,考点一数列的求和1.an是等差数列?(c0,c1)是等比数列.2.an是正项等比数列?logcan(c0,c1)是等差数列.3.an既是等差数列又是等比数列?an是各项均不为零的常数列.4.等差数列的前n项和:Sn=?=na1+?d.该公式的推导方法是倒序相加法.5.等比数列的前n项和Sn=?该公式的推导方法是错位相减法.,知识清单,6.数列求和的常见方法(1)分组求和法:把一个数列分成两个或几个可以直接求和的数列.(2)裂项相消法:有时把一个数列的通项公式分成两项的差的形式,相加过程中消去中间一些项,只剩有限项再求和.(3)错位相减法:适用于一个等
2、差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和,式子整体乘以等比数列的公比,然后与原式错位相减.(4)倒序相加法:适用于首尾相加为定值的数列.7.常见的裂项公式(1)?=?-?;,(2)?=?;(3)?=?-?;(4)?=?-?.,考点二数列的综合应用1.数列应用题常见模型(1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量,那么该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数,那么该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.2.在解决数列和不等式的有关问题时,常利用不等式的适当放缩来解答或证明.(1)对?的放缩,根据不同的要求,大致有三种情况:?
3、=?-?(n2);,?=?-?;?=?-?(n1).,数列求和的解题策略数列求和是高考中的难点,是必考内容.一般分为四类:公式法求和、错位相减法求和、倒序相加法求和与裂项相消法求和.(1)公式法求和要注意分组求和方法的应用;(2)错位相减法求和的题目,其类型特征比较明显,关键是注意书写步骤和最终结果的化简;(3)倒序相加法求和的特征是首尾相加为定值;(4)裂项相消法求和一般与不等式相联系,这类问题要注意对常见放缩及裂项公式的理解和记忆.例1(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,22)已知数列an满足a1=a2=5,an+1=an+6an-1(n2).(1)求证:an+1+2an是等比数
4、列;(2)设nan+3nbn=n3n,且|bn|的前n项和为Tn,nN*,证明:Tn6.,方法技巧,解题导引(1)在等式两边同时加上2an利用等比数列定义得结论(2)用“构造新数列法”求得an用“错位相减法”求和用放缩法得结论,证明(1)由an+1=an+6an-1(n2),得an+1+2an=3(an+2an-1)(n2),a1=a2=5,a2+2a1=15,故数列an+1+2an是以15为首项,3为公比的等比数列.(2)由(1)得an+1+2an=53n,an+1-3n+1=-2(an-3n),又a1-3=2,an-3n=2(-2)n-1,故an=3n+2(-2)n-1=3n-(-2)n,
5、bn=?.故Tn=|b1|+|b2|+|bn|=?+2?+3?+n?,?Tn=?+2?+3?+n?,两式相减,得?Tn=?+?+?+?-n?=?-n?=,-n?,Tn=6?-3n?,Tn6.,2,评析本题考查等比数列的概念和性质,等比数列的通项公式、前n项和公式,利用错位相减法求和,不等式性质等基础知识,考查推理运算能力.,数列综合应用的解题策略数列与不等式综合是高考的一个热点,这类问题把数列知识与不等式的内容整合在一起,形成了证明不等式、求不等式中的参数取值范围、求数列中的最大(小)项、比较数列中项的大小等问题.而数列的条件可能是等差数列、等比数列,甚至是一个递推数列等,求解方法既要用到不等
6、式知识(如比较法、放缩法、基本不等式法等),又要用到数列的基础知识,因此,对考查逻辑推理、运算求解等理性思维能力都是很好的素材.例2(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,22)已知正项数列an满足a1=3,?=an+2,nN*.求证:(1)数列an是单调递减数列;,(2)|an+1-2|?|an-2|,nN*;(3)|a1-2|+2|a2-2|+3|a3-2|+n|an-2|2利用不等式性质得结论(3)利用累积法把数列|an-2|放缩成等比数列利用“错位相减法”求和利用不等式性质得结论,证明(1)由?=an+2,得?=an+1+2,两式相减,得?-?=an+1-an,即(an+2-an+1)(a
7、n+2+an+1)=an+1-an,因为an0,所以an+2+an+10,所以an+2-an+1与an+1-an同号.又a2-a1=?-30,知an-20,即an2,故an+1+24.所以?,所以|an+1-2|?|an-2|,nN*.(3)由(2)知,n2时,有,|an-2|=|a1-2|?|a1-2|=?,n2时,有|a1-2|+2|a2-2|+3|a3-2|+n|an-2|1+?+?+?,令Sn=1+?+?+?,则?Sn=?+?+?+?,?Sn=1+?+?+?+?-?=?-?=?-?-?,所以Sn?,故|a1-2|+2|a2-2|+3|a3-2|+n|an-2|?,n2.又n=1时,|a1-2|=1?.综上,|a1-2|+2|a2-2|+3|a3-2|+n|an-2|?,nN*.,评析本题考查递推数列,累积法求通项,利用错位相减法求和,不等式性质等基础知识,考查推理运算能力.,
