1、第五章第五章测量误差的基本知识测量误差的基本知识5-1 测量误差的概念测量误差的概念5-2评定精度的标准评定精度的标准5-3观测值的算术平均值及改正值观测值的算术平均值及改正值5-4观测值的精度评定观测值的精度评定5-5误差传播定律误差传播定律5-6误差传播定律的应用误差传播定律的应用5-7加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差5-1 5-1 测量误差的概念测量误差的概念一、测量误差及其产生的原因一、测量误差及其产生的原因二、测量误差的分类与处理原则二、测量误差的分类与处理原则三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性 一、测量误差产生的原因一、测量误差产生的原因（一）测量误差（一）测量误差 当对
2、某观测量进行观测，其观测值与真值当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观存在或客观存在或理论值理论值)之差，称为测量误差。之差，称为测量误差。用数学式子表达：用数学式子表达：i=Li X (i=1,2n)i=Li X (i=1,2n)L-L-观测值观测值 X-X-真值真值（二）、误差产生的原因（二）、误差产生的原因从观测过程进行分析从观测过程进行分析仪器角度仪器角度测量仪器的精密度测量仪器的精密度观测者角度观测者角度观测者感觉器官的鉴别能力观测者感觉器官的鉴别能力外界条件外界条件温度、湿度、大气折光温度、湿度、大气折光二、测量误差的分类与处理原则二、测量误差的分类与处理原则(一一)测量误差分
3、类测量误差分类先作两个前提假设先作两个前提假设 观测条件相同观测条件相同.对某一量进行一系列的直接观测对某一量进行一系列的直接观测 在此基础上分析出现的误差的数值在此基础上分析出现的误差的数值 、符号、符号及变化规律。及变化规律。系统误差系统误差(Systematic errors)(Systematic errors)误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按照一定的规律变化，或者为一常数。过程中按照一定的规律变化，或者为一常数。偶然误差偶然误差(random errors)(random errors)如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，
4、即从如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该误差的大小和符号没有规律单个误差看，该误差的大小和符号没有规律粗差粗差(gross error)(gross error)观测中的错误叫粗差观测中的错误叫粗差例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。错误是观测者疏大意造成的，观测结果中错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。一旦发现，应及时更正或重测。不允许有错误。一旦发现，应及时更正或重测。三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性1.1.真误差真误差n在相同的观测条件下，在相同的观测条件下，独立独立的观测的观测162162个三角形的全部内角。个三
5、角形的全部内角。真误差真误差 =观测值观测值真值真值01 8 0iiL2.2.偶然误差的特性偶然误差的特性例如：在相同的条件下，独立地观测了例如：在相同的条件下，独立地观测了358358个三角形全部内角，由于观测结果中存个三角形全部内角，由于观测结果中存在偶然误差，三角形的三个内角观测值之在偶然误差，三角形的三个内角观测值之和不等于三角形内角和的理论值，它的差和不等于三角形内角和的理论值，它的差值我们称为闭合差（真误差）。值我们称为闭合差（真误差）。-24-21-18-15-12-9-6 3 0+3+6+9+12+15+18+21+24 x=-24-21-18-15-12-9-6 3 0+3+
6、6+9+12+15+18+21+24 x=图图5-1 5-1 频率直方图频率直方图/knd()()ff x 5-25-2评定精度的标准评定精度的标准n中误差中误差在一定的观测条件下，各个真在一定的观测条件下，各个真误差平方的平均数的平方根误差平方的平均数的平方根22212nmnn 二、相对误差二、相对误差在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量。正确反映观测的质量。例如例如:用钢卷尺量用钢卷尺量200200米和米和4040米两段距离，量距的中误差米两段距离，量距的中误差都是都是2cm2cm，但不能认为两者的精
7、度是相同的，因为量距的误，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其长度有关。差与其长度有关。为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量。即的质量。即m/Lm/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。来评定精度，通常称此比值为相对中误差。n相对误差：绝对误差的绝对值与观测值之比相对误差：绝对误差的绝对值与观测值之比1N三、极限误差三、极限误差n应用：限差检核应用：限差检核n含义：认为观测误差中的偶然误差出现大于容许误含义：认为观测误差中的偶然误差出现大于容许误差的概率极小，如果发生，则认为非偶然因素造成，差的概率极小，如果发
8、生，则认为非偶然因素造成，对于测量结果一般认为不合格对于测量结果一般认为不合格n根据：偶然误差的特性根据：偶然误差的特性(1)(1)%7.99)33(%5.95)22(%3.68)(mmPmmPmmP%3.0%5.4%7.31取极限误差取极限误差(容许误差容许误差)：mm23容容或：或：5-35-3观测值的算术平均值及改正值观测值的算术平均值及改正值一、算术平均值一、算术平均值(最或是值）最或是值）算术平均值算术平均值(即接近最或是值）是一个重要的概念即接近最或是值）是一个重要的概念算术平均值的表达式：算术平均值的表达式：根据真值与观测值、真误差三者之间的关系得下式：根据真值与观测值、真误差三
9、者之间的关系得下式：根据偶然误差的特点根据偶然误差的特点 ：结论：结论：当观测次数无限增大时，观测值的算术平均值趋近于该量的当观测次数无限增大时，观测值的算术平均值趋近于该量的真值。但是，在实际工作中，不可能对某一量进行无限次的观测，真值。但是，在实际工作中，不可能对某一量进行无限次的观测，因此，就把有限个观测值的算术平均值作为该量的最或是值因此，就把有限个观测值的算术平均值作为该量的最或是值。12nllllnnx lXnnlim0nn 二、观测值的改正值二、观测值的改正值算术平均值与观测值之差称为观测值改正值用（算术平均值与观测值之差称为观测值改正值用（v)v)表示表示等式相加得等式相加得最
10、小二乘原理（各个改正数的平方和为最小）最小二乘原理（各个改正数的平方和为最小）1122nnvxlvxlvxl 0vnxllvnln 2()minvvxl二、观测值的改正数二、观测值的改正数求待定值：求待定值：令令得得2()0d vvxldx 0nxllxn此式和此式和5-3-15-3-1式相同式相同5-45-4观测值的精度评定观测值的精度评定前面先作了两个前提假设：前面先作了两个前提假设：观测条件相同观测条件相同 对某一量进行一系列的直接观测对某一量进行一系列的直接观测 在此基础上分析出现的误差的数值在此基础上分析出现的误差的数值 、符号及变化规律。、符号及变化规律。A A 而在野外实际测量工
11、作中，许多未知量不能直接观而在野外实际测量工作中，许多未知量不能直接观测而求其真值，需由观测值间接求出。测而求其真值，需由观测值间接求出。B B 当观测条件不相同时，如何来研究测量误差问题。当观测条件不相同时，如何来研究测量误差问题。C C 观测量的真值往往不知道，因而真误差观测量的真值往往不知道，因而真误差 也就也就不知道，故不能用不知道，故不能用 式直接求中误差式直接求中误差 mn 5-45-4观测值的精度评定观测值的精度评定按观测值的改正值计算中误差按观测值的改正值计算中误差以以 代替代替X X代替代替根据中误差的计算公式根据中误差的计算公式则有：则有：按观测值的改正值计算中误差的公式按
12、观测值的改正值计算中误差的公式xivimn 1vvmn 5-4-15-4-1重要公式重要公式5-55-5误差传播定律误差传播定律误差传播定律：误差传播定律：一般函数的误差计算公式，称为误差传播定律，是误一般函数的误差计算公式，称为误差传播定律，是误差传播的最普遍的形式。差传播的最普遍的形式。其他函数，其他函数，如线性函数、如线性函数、和差函数、倍数函数等，都和差函数、倍数函数等，都是一般函数的特殊情况。是一般函数的特殊情况。5-65-6误差传播定律的应用误差传播定律的应用一、一、距离测量的精度距离测量的精度评定的指标有评定的指标有:设一尺段的量距中误差设一尺段的量距中误差:m=:m=0.007
13、m0.007m单位长度的量距中误差：单位长度的量距中误差：距离距离D D的量距中误差为：的量距中误差为：往返差数的中误差：往返差数的中误差：允许误差：允许误差：相对误差：相对误差：0.00128 1000.013DmDm 0.0070.0012830ml20.013 20.018DDmmm 20.036DDmm 允0.03611003000DD允二、角度测量的精度二、角度测量的精度（一）水平角观测的精度（一）水平角观测的精度评定的精度指标有：评定的精度指标有：设一测回方向观测的中误差：设一测回方向观测的中误差：一测回水平角观测的中误差为：一测回水平角观测的中误差为：半测回水平角值的中误差为：半
14、测回水平角值的中误差为：盘左、盘右水平角值之差的中误差为：盘左、盘右水平角值之差的中误差为：取两倍中误差为极限误差，则为取两倍中误差为极限误差，则为3434。所以用。所以用D DJ6J6经经纬仪观测水平角，盘左、盘右分别测得水平角之差允纬仪观测水平角，盘左、盘右分别测得水平角之差允许值一般规定为许值一般规定为40 40。6m 2628.5mm 212.0mm 217.0mm（二）多边形角度闭合差的规定（二）多边形角度闭合差的规定评定的指标有：评定的指标有：各角之和的中误差：各角之和的中误差：如果以两倍中误差为极限误差，则允许的角度闭合差如果以两倍中误差为极限误差，则允许的角度闭合差为：为：假设
15、：水平角的测角中误差，假设：水平角的测角中误差，则三角形的角度闭和差的限差应为：则三角形的角度闭和差的限差应为：232 18 360m 18m 2fmn 允mmn 三、水准测量的精度三、水准测量的精度（一）两次测定高差时的误差规定（一）两次测定高差时的误差规定评定的指标有：评定的指标有：设读数的中误差：设读数的中误差：m=m=1mm1mm，则一次测定高差的中误差为：则一次测定高差的中误差为：两次测定高差之差的中误差为：两次测定高差之差的中误差为：如果以两倍中误差为极限误差，则为如果以两倍中误差为极限误差，则为4mm4mm，另外，考虑，另外，考虑到在水准测量中还有水准管气泡置平误差的影响，故一到
16、在水准测量中还有水准管气泡置平误差的影响，故一般规定：般规定：用用DSDS3 3级水准仪，两次测定高差之差不得超过级水准仪，两次测定高差之差不得超过 5mm 5mm。mmmmh4.12mmmmhh22 （二）水准路线的高差测定误差（二）水准路线的高差测定误差评定的指标：评定的指标：单位长度的高差中误差：单位长度的高差中误差：m m0 0m m0 0决定于水准测量的等级。决定于水准测量的等级。水准路线的高差中误差：水准路线的高差中误差：公式说明：一定等级的水准测量的高差中误差与水准路公式说明：一定等级的水准测量的高差中误差与水准路线长度的平方根成正比。线长度的平方根成正比。例如：设例如：设1km
17、1km长的水准路线的高差中误差长的水准路线的高差中误差m m0=0=1010mmmm，则，则5km5km长的水准路线的高差中误差（或高程测长的水准路线的高差中误差（或高程测定中误差）定中误差）m mH H=1010mm=mm=22 22mmmmlmmH0 55-75-7加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差一、不等精度观测及观测值的权一、不等精度观测及观测值的权概念：概念：1 1、不等精度观测（前已述）、不等精度观测（前已述）2 2、权、权测量中用来作测量中用来作“权衡轻重权衡轻重”。某一观测值或。某一观测值或观测值的函数的精度越高（中误差观测值的函数的精度越高（中误差M M越小），其权相越
18、小），其权相应越大。测量误差理论中，以应越大。测量误差理论中，以P P表示权，并定义权与表示权，并定义权与中误差的平方成正比：中误差的平方成正比：3 3、“单位权中误差单位权中误差”权等于权等于1 1的中误差为的中误差为“单位权中误差单位权中误差”一般用一般用m m0 0表示，表示，一般，取一次观测、一测回、单位长度的测量误差一般，取一次观测、一测回、单位长度的测量误差作为作为“单位权中误差单位权中误差”m m0 0。一、不等精度观测及观测值的权一、不等精度观测及观测值的权4 4、例如：水准测量取、例如：水准测量取1km1km路线的高差测量中误差路线的高差测量中误差m m0 0作为作为单位权中
19、误差，则单位权中误差，则LkmLkm水准路线高程测定的中误差为：水准路线高程测定的中误差为：5 5、水准路线高程测定的权定为：、水准路线高程测定的权定为：llmmpH12002 lmmH0 二、加权平均值加权平均值的计算公式：三、加权平均值的中误差三、加权平均值的中误差加权平均值加权平均值 的中误差：的中误差：M M0 0为单位权中误差：为单位权中误差：加权平均值加权平均值 的权：的权：即为观测值的权之和：即为观测值的权之和：pmmx0 ppx 四、单位权中误差的计算四、单位权中误差的计算在处理不等精度观测的成果时，要根据单位权中误差来计算观在处理不等精度观测的成果时，要根据单位权中误差来计算
20、观测值的权和加权平均值的中误差等。测值的权和加权平均值的中误差等。方法如下：方法如下：用真误差用真误差i i代替中误差代替中误差m mi i，得到在观测量的真值已知的情况下得到在观测量的真值已知的情况下用真误差求单位权中误差的公式：用真误差求单位权中误差的公式：在观测量的真值未知的情况下，用观测值的加权平均值在观测量的真值未知的情况下，用观测值的加权平均值x x代替代替真值真值X X，用测量值的改正值，用测量值的改正值v vi i代替真误差代替真误差i i，得到按不等精度，得到按不等精度观测值的改正值计算单位权中误差的公式：观测值的改正值计算单位权中误差的公式：npm 0 10 npvvm8G
21、4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnW
22、kShPdMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1
23、A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWl
24、TiQeNbJ8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E
25、3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%rkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUi
26、RfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C
27、0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgP9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYnVjS
28、gOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+$qZnVkShPdMaJ7F4C1z)w
29、&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkThP
30、eMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*
31、t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQf
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