1、二、压杆失稳与临界压力二、压杆失稳与临界压力 ：P稳稳定定平平衡衡FFcr不不稳稳定定平平衡衡PFwxM)(假设压力假设压力F已达到临界值，杆处于微弯状态，如图，已达到临界值，杆处于微弯状态，如图，从挠曲线入手，求临界力。从挠曲线入手，求临界力。EIMw （1）弯矩：（2）挠曲线近似微分方程：0 wEIFw02 wkw 92 两端铰支两端铰支 细长压杆的临界压力细长压杆的临界压力wEIFw lF=FcrF=FcrFwFMw,2EIFk令wxxw（3）微分方程的解：确定积分常数：由边界条件 x=0，w=0；x=l，w=0 确定kxBkxAwcossin,0,0,0Bwx得由0Ankl ,2222
2、nlkkxAwsin即0sin,0,klAwlx得由,2EIFk 由0sin kl222 lEInF)3,2,1,0(n上式称为两端铰支压杆临界力的欧拉公式欧拉公式22lEIFcr临界力 Fcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1若是球铰，式中：I=IminyzFyzyIIminkxAwsin压杆的挠曲线：曲线为一正弦半波，A为幅值，但其值无法确定。xlAsinF=FcrxxyvlF=Fcr93 其他支座条件下其他支座条件下细长压杆的临界压力细长压杆的临界压力1.一端固定、一端自由 Fl22)2(lEIFcr2l2l2.一端固定一端铰支F0.7llEIMw C 挠曲线拐点22)7.0(lEI
3、Fcr03.两端固定Fl22)5.0(lEIFcrlFl/2长度系数（或约束系数）。l 相当长度22)(lEIFcr上式称为细长压杆临界压力的一般形式上式称为细长压杆临界压力的一般形式欧拉公式欧拉公式其它约束情况下，压杆临界力的欧拉公式两端铰支一端固定一端铰支两端固定一端固定一端自由=1=0.7=0.5=2Fl0.5l 例例11求细长压杆的临界压力求细长压杆的临界压力 22)5.0(lEIFcrPMkwkwEI022 0)(MFwxMwEI EIFk2:令PMkxBkxAw0sincos0,;0,0wwLxwwx解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：边界条件为:试由挠曲线近似微分方程，导出下述
4、细长压杆的临界力公式。FLFM0 xFM0yxFM0FM0y 例例22 ,0,0,0,0,00BwxFMAwx得由得由nkl2kxBkkxAkwFMkxBkxAwcossinsincos0kxkFMwFMkxFMwsincos000nkLklwlxnkLklwlx 0sin,0,2,1cos,0,即得由即得由2222)2/(4LEILEIFcr为求最小临界力，F应取除零以外的最小值，即取：n=1所以，临界力为：2 nkL =0.5222224LEInEIkFEIFk又22224Lnk)1017.4121050433min(mmI2min2cr)(lEIF 例例3 求细长压杆的临界力。解：233
5、2)5007.0(1017.4102005010Pll=0.5m，E=200GPa(kN)14.67(N)1014.67340mincm89.3yII2min2)(lEIFcr解：2432)5002(1089.310200Fl(4545 6)等边角钢已知：压杆为Q235钢，l=0.5m，E=200GPa，求细长压杆的临界压力。441089.3mm(kN)8.76若是Q235钢，s=235MPa，则杆子的屈服载荷：AFss(kN)119可见杆子失稳在先，屈服在后。例例3 xxx0 x1x1y0y0z0 x0(N)108.763210076.5235(N)101193四、小结四、小结scrbas2
6、22Ecr 1，大柔度杆 2 1，中柔度杆bacr 2，粗短杆PE21 il AIi AFcrcr一压杆长l=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰支，压力P=150kN，材料为Q235钢，E=200GPa，P=200MPa，S=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa，nst=2，试校核其稳定性。(一个角钢A1=8.367cm2，Ix=23.63cm4，Ix1=47.24cm4，z0=1.68cm）,zyII 解：两根角钢图示组合之后4cm26.4763.2322xyII 例例4 yzxxx0 x1x1y0y0z0 x04cm486.9424.47221xzII367.
7、8226.47cm68.1AIiy P21EbacrQ235钢：AFcrcrstn杆子满足稳定性要求。杆子满足稳定性要求。il 200102003299bas212 3.8912.1304)MPa(204FFncr68.115013.8912.1235302 6.61)27.836(204)kN(34127.2150341图示立柱，l=6m，由两根10号槽钢组成，下端固定，上端为球铰支座，材料为Q235钢，E=200GPa，P=200MPa，试问（1）a取多少时立柱的临界压力最大；（2）若 nst=3,则许可压力值为多少？)cm52.1 ,cm74.12021zA41cm6.3963.1982
8、2zzII)2/(22011azAIIyy)2/52.1(74.126.2522a解：两根槽钢图示组合之后，Pl 例例5 y1C1z0z14141cm6.25 ,cm3.198(yzII时合理；得当zyII cm32.4ayzail PE21求临界压力：1AFcrcr(kN)8.443大柔度杆，由欧拉公式求临界力。AIlz 74.1226.3966007.05.106AE2212742)5.106(10200232(N)108.44333.992001020032stcrnFF稳定条件：stcrnFF)kN(14838.443许可压力F 148kN22)(lEIFcr(kN)8.443或：23
9、432)1067.0(106.39610200(N)108.4433 例例4 4 已知F=12kN，斜撑杆CD的外径D=45mm，内径d=40mm，材料为Q235钢，E=200GPa，P=200MPa，S=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa，稳定安全系数 nst=2.5，试校核斜撑杆的稳定性。AB451mFCD1mAB451mFC1mFN,0AM0245sin1NFF45cos2FFN24FkN95.33解：(mm)15AIi 4)(64)(2244dDdD422dD il 151012133.94P21E200102003299bacrAFcrcrstn斜撑杆斜撑杆CD不满足
10、稳定性要求。不满足稳定性要求。3.9412.1304)MPa(4.198FFncr4)4045(4.19822)kN(8448.295.3384bas212.12353041.6112 刘题刘题9.13P3139.13P313工字形截面连杆，材料Q235钢，两端柱形铰，在xy平面内发生弯曲，两端可认为铰支，在xz平面发生弯曲，两端可认为固定，已知连杆所受最大轴向压力为465kN，试确定其工作安全因数。l=3100yxxzzy961408514 刘题刘题9.13P3139.13P313工字形截面连杆，材料Q235钢，两端柱形铰，在xy平面内发生弯曲，两端可认为铰支，在xz平面发生弯曲，两端可认为
11、固定，已知连杆所受最大轴向压力为465kN，试确定其工作安全因数。l=3100yxxzzy961408514,mm64702A,mm1040744yI44mm101780zI解：AIizzAIiyyzy（1）计算连杆的柔度）计算连杆的柔度zzzil在在xy平面内失稳平面内失稳0.59l=3100yx5.5231001mm5.5264701017804mm1.256470104074zyxz在在xz平面内失稳平面内失稳yyyil8.61xz平面内先失稳平面内先失稳zzzil在在xy平面内失稳平面内失稳0.595.52310011.2531005.0 zy在在xz平面内失稳平面内失稳yyyil8.
12、61xz平面内先失稳平面内先失稳zzzil在在xy平面内失稳平面内失稳0.595.52310011.2531005.0（2）求连杆的临界压力8.61y材料Q235钢，1=100，2=61，y接近2，属于强度问题AFscr6470235)kN(1520 单题单题9-169-16AB梁为No16号工字钢，I=1130cm4，W=141cm3，A=28.27cm2，BC柱直径d=60mm，材料均为Q275钢，E=205GPa，S=275MPa，a=338MPa，b=1.22MPa，1=90，2=50，强度安全因数 n=2，稳定安全因数 nst=3，求载荷F的许用值。AB1m1mFC1m60No16A
13、B1m1mFBFNFNlfB 38 3NEIlFEIFl653 NEAlF 312.0NFF 0.312Fl0.376Fl+WMmaxmaxns2275)MPa(5.137 376.0WFl)kN(6.51 FAIiil 12AFcrcrF是中长杆，用经验公式：)kN(7277773312.0727mm154604d)7.6622.1338(NcrFFstnFF312.0crstnF312.0cr)kN(4602所以，许用值F=kN6.5115100017.66 例例99AB梁16号工字钢，CD柱63635角钢。q=48kN/m，材料为Q235钢，E=200GPa，P=200MPa，S=235
14、MPa，a=304MPa，b=1.12MPa，n=1.4，nst=2.5，问梁和柱是否安全。AB2m2m48kN/mCDyz102mAB2m2m48kN/mCDAB2m2m48kN/mCFNlfC 48 3NEIlFEIql38454 1NEAlF)kN(3.118NFAB2m2m48kN/mCNC)MPa(1.15837kN37kN60kN60kN+m)14.14(kN m)14.14(kN m22.3kN WMmaxmax梁安全。maxns4.1235)MPa(168mm42.192143.6217.23AIiy10342.1920001 1ilyz10100)23.614(10310200232AFcrcrNFFncrstn所以，柱不安全。是细长杆，用欧拉公式：)kN(6.2289.13.1186.228PE211
