1、1材料计算机数值模拟讲义 有限差分法2主要内容1、差分原理及逼近误差2、差分方程，截断误差和相容性3、收敛性与稳定性4、Lax等价定理3第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（1/8）1差分原理差分原理 设有x的解析函数y=f(x)，从微分学知道函数y对x的导数为 xxfxxfxydxdyxx)()(limlim00 （1-1）dxdy是函数对自变量的导数，又称微商；y、x分别称为函数及自变量的差分，xy为函数对自变量的差商。4第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（2/8）向前差分)()(xfxxfy)()(xxfxfy)21()21(xxfxxfy（1-2）向后差分（1-3）中心差分（1-4）
2、x0 5第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（3/8）上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一阶差分，所得到的称为二阶差分，记为 。y2以向前差分为例，有)()(2)2()()()()2()()()()()(2xfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxxfxfxxfyy（1-5）6第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（4/8）依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如n 阶前差分为 )()()()()(21xfxxfyyyynnn（1-6）7第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（5/8）函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。一阶向前差商为
3、xxfxxfxy)()(一阶向后差商为 xxxfxfxy)()(（1-7）（1-8）8第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（6/8）一阶中心差商为xxxfxxfxy)21()21(或xxxfxxfxy2)()(（1-9）（1-10）9第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（7/8）二阶差商多取中心式，即222)()()(2)(xxxfxfxxfxy当然，在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。（1-11）10第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（8/8）以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,)的差分与差商也可以类推。如一阶向前差商为,),(),(xyxfyxxfxf,),(),(yyx
4、fyyxfyf（1-12）（1-13）11第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（1/9）差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。)()(!4)()(!3)()(!2)()()()(5432xOxfxxfxxfxxfxxfxxfIV （1-14）)()()()(!4)()(!3)(!2)()()()(432xOxfxOxxfxxfxxfxfxxfxxfIV （1-15）2逼近误差逼近误差12第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/9）)()()()(),)()
5、(!4)()(!3)()(!2)()()()(5432xOxfxxxfxfxOxfxxfxxfxxfxxfxxfIV 一阶向后差商也具有一阶精度。（1-16）13第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（3/9）将)(xxf与)(xxf的Taylor展开式相减可得)()(2)()(2xOxfxxxfxxf可见一阶中心差商具有二阶精度。（1-17）14第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（4/9）将)(xxf与)(xxf的Taylor展开式相加可得)()()()(2)(22xOxfxxxfxfxxf 这说明二阶中心差商的精度也为二阶（1-18）15第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（5/9）设有函
6、数f(x)，自变量x的增量为x，若取 ,2 ,1 ,0 ,jxjxxi对应的函数值为)(xjxfi，则f(x)在xi处的n阶差分可表达为21)()(JJjijinxjxfcxf式中cj为给定系数，J1和J2是两个正整数。（1-19）（1-20）|jjcc当J1=0时，称为向前差分；当J2=0时，称为向后差分；当J1=J2且 时，称为中心差分。16第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（6/9）函数的n阶差分与自变量的n阶差分之比为n阶差商，可用Taylor展开分析其逼近误差)(mxO。显然，0m的差商及其对应的差分是不恰当的。当且aj为表2-1至表2-6中所21!JJjnjjjjaanc列的数值
7、时，可得m0。（1-21）17第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（7/9）表2表1nj01234aj1-1121-213-13-3141-46-41nj-4-3-2-10aj1-1121-213-13-3141-46-41其中表1和表2的m=1，即此二表对应差商的精度是一阶的；18第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（8/9）nJ012345Aj1-34-122-54-13-518-2414-343-1426-2411-2表3nJ-5-4-3-2-10Aj11-432-14-5233-1424-1854-211-2426-143表4nj-2-1012aj1-10121-213-120-214
8、1-46-41表5表3至表5的m=2，即这些表对应差商的精度是二阶的；19第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（9/9）nJ-3-2-10123aj11-808-12-116-3016-131-8130-138-14-112-3956-3912-1表6的m=4，即此表对应差商的精度是四阶的。表620第一节 差分原理及逼近误差/非均匀步长（1/3）2ix在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图2-1中的1ix1iixx 和，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。Ox2ix1ixix1ix2ix2ix1ixix2ix图1-1 非均匀步长差分3非均匀步长非均匀步长一阶向后差商11)()(i
9、iiixxxfxf一阶中心差商11)()(iiiiiixxxxfxxf（1-22）（1-23）21第一节 差分原理及逼近误差/非均匀步长（2/3）图1-2 均匀和非均匀网格实例122第一节 差分原理及逼近误差/非均匀步长（3/3）图1-3 均匀和非均匀网格实例223第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（1/3）0 xt差分相应于微分，差商相应于导数。差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。现以对流方程为例，列出对应的差分方程。（2-1）24,2 ,1 ,0 ,0ixixxi,2 ,1 ,0
10、,ntntn图2-1 差分网格第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）25若时间导数用一阶向前差商近似代替，即ttninini1空间导数用一阶中心差商近似代替，即xxninini211则在),(nitx点的对流方程就可近似地写作02111xtnininini（2-2）（2-3）（2-4）第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（3/3）26第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的误差为 ,)(tO 用空间中心差商代替空间导数时的误差为)(2xO，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是)(
11、,()()(22xtOxOtORni这也可由Taylor展开得到。因为)(,()(!31212),(),(),(),(223322xtOxtxtxtttxtxxtxxttxttxninininininininini（2-5）（2-6）27第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（2/6）一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题。对流方程的初值问题为)()0,(0 xxxt这里)(x为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：)(020111iininininixxt 初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条
12、件。差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程定解问题的差分格式。（2-7）（2-8）28第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（3/6）)()(20111iininininixxtFTCS格式（2-9）)()(011iininininixxtFTFS格式（2-10）)()(011iininininixxt（2-11）FTBS格式29第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（5/6）(a)FTCS (b)FTFS (c)FTBS图2-2 差分格式30第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（6/6）FTCS格式的截断误差为)(,(2xtORniFTFS和FTBS格式的截断误差为)
13、,(xtORni（2-12）（2-13）3种格式对t都有一阶精度。31第二节 差分方程、截断误差和相容性/相容性（1/3）一般说来，若微分方程为fD)(其中D是微分算子，f是已知函数，而对应的差分方程为fD)(其中D是差分算子，则截断误差为)()(DDR这里为定义域上某一足够光滑的函数，当然也可以取微分方程的解 。（2-14）（2-15）（2-16）如果当x、0t时，差分方程的截断误差的某种范数|R也趋近于零，即0|lim00Rtx则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程的，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容（一致）。如果当x、0t时，截断误差的范数不趋于零，则称为不相
14、容（不一致），这样的差分方程不能用来逼近微分方程。（2-17）32第二节 差分方程、截断误差和相容性/相容性（2/3）若微分问题的定解条件为gB)(其中B是微分算子，g是已知函数，而对应的差分问题的定解条件为gB)(其中B是差分算子，则截断误差为)()(BBr（2-18）（2-19）（2-20）33第二节 差分方程、截断误差和相容性/相容性（3/3）只有方程相容，定解条件也相容，即0|lim00Rtx和0|lim00rtx整个问题才相容。（2-21）无条件相容 条件相容以上3种格式都属于一阶精度、二层、相容、显式格式。34第三节 收敛性与稳定性/收敛性（1/6）),(nitx，也是微分问题定解
15、区域上的一固定点，设差分格式在此点ni的解为 ,相应的微分问题的解为),(nitx，二者之差为),(nininitxe称为离散化误差。如果当0t时，离散化误差的某种范数|e趋近于零，即0|lim00etx则说明此差分格式是收敛的，即此差分格式的解收敛于相应微分问题的解，否则不收敛。与相容性类似，收敛又分为有条件收敛和无条件收敛。（3-1）x、（3-2）35第三节 收敛性与稳定性/收敛性（3/6）相容性不一定能保证收敛性，那么对于一定的差分格式，其解能否收敛到相应微分问题的解？答案是差分格式的解收敛于微分问题的解是可能的。至于某给定格式是否收敛，则要按具体问题予以证明。下面以一个差分格式为例，讨
16、论其收敛性：微分问题)()0,(,0 xxxt的FTBS格式为)(,0011iininininixxt在某结点（xi,tn）微分问题的解为),(nitx，差分格式的解为0i，则离散化误差为),(nininitxe（3-6）（3-5）（3-4）36第三节 收敛性与稳定性/收敛性（4/6）按照截断误差的分析知道）（txOxtxxtxttxttxnininini,),(),(),(),(以FTBS格式中的第一个方程减去上式得）（txOxeeteenininini,11或写成）（txOtextexttxOteexteenininininini,)1(),()(1111xt若条件0和成立，即10 xt，
17、则),(maxmax)1(),()1(11txOtextexttxOtextexteniiniininini式中niiemax表示在第n层所有结点上e的最大值。（3-7）（3-8）（3-9）（3-10）37第三节 收敛性与稳定性/收敛性（5/6）由上式知，对一切i有),(max1txOteeniini故有),(maxmax1txOteeniinii于是),(maxmax),(maxmax),(maxmax11201txOteetxOteetxOteeniiniiiiiiiiii综合得),(maxmax0txOtneeiinii（3-11）（3-13）（3-12）（3-14）38第三节 收敛性与
18、稳定性/收敛性（6/6）由于初始条件给定函数的初值，初始离散化误差00ie。并且nttn是一有限量，因而),(maxtxOenii可见本问题FTBS格式的离散化误差与截断误差具有相同的量级。最后得到0)max(lim00niitxe这样就证明了，当10 xt时，本问题的RTBS格式收敛。这种离散化误差的最大绝对值趋于零的收敛情况称为一致收敛。（3-15）（3-16）此例介绍了一种证明差分格式收敛的方法，同时表明了相容性与收敛性的关系：相容性是收敛性的必要条件，但不一定是充分条件，还可能要求其他条件，如本例就是要求10 xt39第三节 收敛性与稳定性/稳定性（1/8）首先介绍一下差分格式的依赖区
19、间、决定区域和影响区域。还是以初值问题)()0,(0 xxxt（3-17）(a)FTCS (b)FTFS (c)FTBS 图3-1 差分格式的依赖区间40第三节 收敛性与稳定性/稳定性（2/8）(a)FTCS格式 (b)FTFS格式 (c)FTBS格式图3-2 差分格式的影响区域41第三节 收敛性与稳定性/稳定性（3/8）,0)0,(,0 xxt其解为零，即0),(tx若用FTBS格式计算，且计算中不产生任何误差，则结果也是零，即,2,1,0,2,1,0,0inni当采用不同差分格式时，其依赖区间、决定区域和影响区域可以是不一样的。依赖区间、决定区域和影响区域是由差分格式本身的构造所决定的，并
20、与步长比xt /有关。（3-18）（3-19）420,0,1),(00011ixtinininini（3-20）假设在第k层上的第j点，由于计算误差得到kj不妨设k=0,j=0,1，即相当于FTBS格式写成43第三节 收敛性与稳定性/稳定性（4/8）21xt（1）40000 1 16 1 4 3 8 1 4 1 1630000 1 8 3 8 3 8 1 8020000 1 4 1 2 1 40010000 1 2 1 20000000010000 i-4-3-2-101234nni44第三节 收敛性与稳定性/稳定性（5/8）1xt（2）nni4000000001300000001020000
21、0010010000010000000010000 i-4-3-2-10123445第三节 收敛性与稳定性/稳定性（6/8）2xt（3）nni400001-824-321630000-16-1280200001-440010000-120000000010000 I-4-3-2-10123446第三节 收敛性与稳定性/稳定性（8/8）ni表示为连续函数Z(x，t)，则稳定性的一种定义为|)0,(|),(|xZKtxZ|)(|)(|21ZBKZDKZ),max(21KKK|)(|)(|ZBZDKZ（3-21）（3-22）（3-23）（3-24）47第四节 Lax等价定理（1/4）相容性是收敛性的
22、必要条件；还发现，稳定性与收敛性有一定的联系。Lax等价定理就是阐述相容性、收敛性和稳定性三者之间关系的。Lax等价定理：对一个适定的线性微分问题及一个与其相容的差分格式，如果该格式稳定则必收敛，不稳定必不收敛。换言之，若线性微分问题适定，差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分条件。这也可表示为收剑性稳定性线性微分问题适定差分格式相容 48第四节 Lax等价定理（2/4）fZDfD)()(及其中D和D分别为微分算子和差分算子，是线性的；f是已知函数；和Z分别为微分解和差分解。两式相减得0)()(DZD改写成0)()()()(DDDZD因为算子是线性的，故式中第一个 内相当于)(ZD；而第二
23、个 内就是截断误差R，所以有RZD)(（4-1）（4-2）（4-3）（4-4）49第四节 Lax等价定理（3/4）若定解条件为gB)(及gZB)(其中B和B分别为微分算子和差分算子，且是线性的；g为已知函数。按照以上对方程的同样推导法，可导得rZB)(其中)()(BBr是截断误差。若差分格式是稳定的，按稳定性的定义，应该有|)(|)(|ZBZDKZ将（4-4）式、（4-6）式代入得),(rRKZ当差分格式相容时，可得0|lim00Ztx从而保证了收敛性。（4-5）（4-6）（4-7）（4-8）（4-9）50第四节 Lax等价定理（4/4）根据此定理，在线性适定和格式相容的条件下，只要证明了格式是稳定的，则一定收敛；若不稳定，则不收敛。由于收敛性的证明往往比稳定性更难，故人们就可以把注意力集中在稳定性的研究上。51(1)请推导出y=f(x)的二阶向前差分，向后差分以及中心差分。(2)请推导出对流方程 FTCS格式，并指出其截断误差的精度。(3)什么是差分问题的收敛性和稳定性？二者有何关系？)()0,(0 xxxt作业
