1、机械设计补充知识：机械设计补充知识：一一.构件的承载能力分析构件的承载能力分析1.1.变形固体变形固体的基本假设的基本假设 均匀连续性假设均匀连续性假设:假定变形固体内部毫无空隙地充满物质，且各点处的力学性能都是相同的。各向同性假设各向同性假设:假定变形固体材料内部各个方向的力学性能都是相同的。弹性小变形条件弹性小变形条件:在载荷作用下，构件会产生变形。构件的承载能力分析主要研究微小的弹性变形问题，称为弹性小变形弹性小变形。弹性小变形与构件的原始尺寸相比较是微不足道的，在确定构件内力和计算应力及变形时，均按构件的原始尺寸进行分析计算。2.2.构件承载能力分析的内容构件承载能力分析的内容 强度强
2、度 构件抵抗破坏的能力称为构件的强度。刚度刚度 构件抵抗变形的能力称为构件的刚度。稳定性稳定性 压杆能够维持其原有直线平衡状态的能力称为压杆的稳定性。构件的安全可靠性与经济性是矛盾的。构件承载能力分析的内容就是在保证构件既安全可靠又经济的前提下，为构件选择合适的材料、确定合理的截面形状和尺寸，提供必要的理论基础和实用的计算方法。3.3.杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式 工程实际中的构件种类繁多，根据其几何形状，可以简化为四类：杆杆 一个方向的尺度远大于其他两个方向的尺度一个方向的尺度远大于其他两个方向的尺度板板 一个方向的尺度远小于其他两个方向的尺度，且一个方向的尺度远小于其他两个方向的尺
3、度，且各处曲率均为零各处曲率均为零壳壳 一个方向的尺度远小于其他两个方向的尺度，且一个方向的尺度远小于其他两个方向的尺度，且至少有一个方向的曲率不为零至少有一个方向的曲率不为零块块 三个方向均有相同量级的尺度三个方向均有相同量级的尺度 教材中的主要研究对象的是等截面直杆(简称等直杆等直杆)等直杆在载荷作用下，其基本变形的形式有：1.1.轴向拉伸和压缩变形；轴向拉伸和压缩变形；2.2.剪切变形；剪切变形；3.3.扭转变形；扭转变形；4.4.弯曲变形弯曲变形。两种或两种以上的基本变形组合而成的，称为组组合变形。合变形。二二.杆的轴向拉伸与压缩杆的轴向拉伸与压缩 1.1.杆件轴向拉伸与压缩的概念及特
4、点杆件轴向拉伸与压缩的概念及特点FFFF受力特点：受力特点：外力(或外力的合力)沿杆件的轴线作用，且作用线与轴线重合。变形特点变形特点 ：杆沿轴线方向伸长(或缩短)，沿横向（径向）缩短(或伸长)。发生轴向拉伸与压缩的杆件一般简称为拉发生轴向拉伸与压缩的杆件一般简称为拉(压压)杆。杆。2 2 拉拉(压压)杆的轴力和轴力图杆的轴力和轴力图 轴力轴力:外力引起的杆件内部相互作用力的改变量。拉(压)杆的内力。FFmmFFNFFN由平衡方程可求出轴力的大小：FFN规定规定：FN的方向离开截面为正(受拉),指向截面为负(受压)。内力内力：轴力图：以上求内力的方法称为截面法截面法，截面法是求内力最基本的方法
5、。注意注意：截面不能选在外力作用点处的截面上。用平行于杆轴线的x坐标表示横截面位置，用垂直于x的坐标FN表示横截面轴力的大小，按选定的比例，把轴力表示在x-FN坐标系中，描出的轴力随截面位置变化的曲线，称为轴力图。FFmmxFN例例1 1：已知F1=20KN，F2=8KN，F3=10KN，试用截面法求图示杆件指定截面11、22、33的轴力,并画出轴力图。F2F1F3ABCD112332解:外力FR，F1，F2，F3将杆件分为AB、BC和CD段，取每段左边为研究对象，求得各段轴力为：FRF2FN1F2F1FN2F2F1F3FN2FN3FN1=F2=8 8KNFN2=F2 -F1 =-12KNFN
6、3=F2 +F3 -F1 =-2KN 轴力图如图:xFNCDBA3 3 杆件横截面的应力和变形计算杆件横截面的应力和变形计算 应力的概念：应力的概念：内力在截面上的集度称为应力应力(垂直于杆横截面的应力称为正应力正应力，平行于横截面的称为切应力切应力)。应力是判断杆件是否破坏的应力是判断杆件是否破坏的依据。依据。单位是帕斯卡，简称帕，记作Pa，即l平方米的面积上作用1牛顿的力为1帕，1 1N Nm m2 21 1PaPa。1kPa103Pa，1MPa106Pa 1GPa109Pa 拉(压)杆横截面上的应力 根据杆件变形的平面假设平面假设和材料均匀连续性假材料均匀连续性假设设可推断：轴力在横截面
7、上的分布是均匀的，且方向垂直于横截面。所以，横截面的正应力计算公式为：AFN=MPaF FN N 表示横截面轴力（表示横截面轴力（N N）A A 表示横截面面积（表示横截面面积（mmmm2 2）FFmmnnFFN 拉(压)杆的变形 1.绝对变形绝对变形:规定规定：L等直杆的原长 d横向尺寸 L1拉(压)后纵向长度 d1拉(压)后横向尺寸轴向变形：LLL1横向变形：ddd1拉伸时轴向变形为正，横向变形为负；压缩时轴向变形为负，横向变形为正。轴向变形和横向变形统称为绝对变形。绝对变形。w 拉(压)杆的变形 2.2.相对变形：相对变形：单位长度的变形量。LL -dd 和和 都是无量纲量，又称为都是无
8、量纲量，又称为线应变线应变，其，其中中 称为轴向线应变，称为轴向线应变，称为横向线应变称为横向线应变。3.3.横向变形系数：横向变形系数：虎克定律虎克定律：实验表明，对拉(压)杆，当应力不超过某一限度时，杆的轴向变形与轴力F FN 成正比，与杆长L成正比，与横截面面积A 成反比。这一比例关系称为虎克定律虎克定律。引入比例常数E E，其公式为:EALFLNE E 为材料的拉(压)弹性模量，单位是Gpa FN、E、A均为常量，否则，应分段计算。由此，当轴力、杆长、截面面积相同的等直杆,E E 值越大，就越小，所以 E 值代表了材料抵抗拉(压)变形的能力，是衡量材料刚度的指标。L或E例例2 2：如图
9、所示杆件，求各段内截面的轴力和应力，并画出轴力图。若杆件较细段横截面面积 ，较粗段 ，材料的弹性模量 ，求杆件的总变形。21200mmA 22300mmA GPaE200mmL100LL10KN40KN30KNABC解：分别在AB、BC段任取截面，如图示，则：FN1=10KN10KNFN110KN1 1=FN1 /A1 =50 MPa30KNFN2 FN2=-30KN2 2=FN2 /A2 =100 MPa轴力图如图：xFN10KN30KN由于AB、BC两段面积不同，变形量应分别计算。由虎克定律：EALFLN可得：LAB10KN X 100mm10KN X 100mm200GPa X X 20
10、0 mm2=0.025mm0.025mmLBC-30KN X 100mm-30KN X 100mm200GPa X X 300 mm2=-0.050mm-0.050mmL=-0.025mm0.025mm4 4材料拉伸和压缩时的力学性能材料拉伸和压缩时的力学性能 材料的力学性能材料的力学性能：材料在外力作用下，其强度和变形方面所表现出来的性能。它是通过试验的方法测定的，是进行强度、刚度计算和选择材料的重要依据。w 工程材料的种类工程材料的种类：根据其性能可分为塑性材料塑性材料和脆性材料脆性材料两大类。低碳钢和铸铁是这两类材料的典型代表，它们在拉伸和压缩时表现出来的力学性能具有广泛的代表性。（1）
11、低碳钢拉伸时的力学性能）低碳钢拉伸时的力学性能 a.a.常温、静载试验常温、静载试验：L=510dLdFF低碳钢标准拉伸试件安装在拉伸试验机上，然后对试件缓慢施加拉伸载荷，直至把试件拉断。根据拉伸过程中试件承受的应力应力和产生的应变应变之间的关系，可以绘制出该低碳钢的 曲线。b.b.低碳钢低碳钢 曲线分析：曲线分析：Oa ab bc cd de试件在拉伸过程中经历了四个阶段，有两个重要的强度指标。obob段段弹性阶段弹性阶段(比比例极限例极限pp弹性极限弹性极限e e)bcbc段段屈服阶段屈服阶段屈服点屈服点 scdcd段段强化阶段强化阶段 抗拉强度抗拉强度 bdede段段缩颈断裂阶段缩颈断裂
12、阶段 sbpe (1)(1)弹性阶段弹性阶段 比例极限比例极限p p oa段是直线，应力与应变在此段成正比关系，材料符合虎克定律，直线oa的斜率 就是材料的弹性模量，直线部分最高点所对应的应力值记作pp，称为材料的比例极限比例极限。曲线超过a点，图上ab段已不再是直线，说明材料已不符合虎克定律。但在ab段内卸载，变形也随之消失，说明ab段也发生弹性变形，所以ab段称为弹性阶段。b点所对应的应力值记作ee，称为材料的弹性极限弹性极限。弹性极限与比例极限非常接近，工程实际中通常对二者弹性极限与比例极限非常接近，工程实际中通常对二者不作严格区分，而近似地用比例极限代替弹性极限。不作严格区分，而近似地
13、用比例极限代替弹性极限。Etan (2)(2)屈服阶段屈服阶段 屈服点屈服点 曲线超过b点后，出现了一段锯齿形曲线，这阶段应力没有增加，而应变依然在增加，材料好像失去了抵抗变形的能力，把这种应力不增加而应变显著增加的现象称作屈服，bc段称为屈服阶段。屈服阶段曲线最低点所对应的应力 称为屈屈服点服点(或屈服极限屈服极限)。在屈服阶段卸载，将出现不能消失的塑性变形。工程上一般不允许构件发生塑性变形，并把塑性变形作为塑性材料破坏的标志，所以屈服点是衡量材料强度的一个重要指标。sss (3)(3)强化阶段强化阶段 抗拉强度抗拉强度 经过屈服阶段后，曲线从c点又开始逐渐上升，说明要使应变增加，必须增加应
14、力，材料又恢复了抵抗变形的能力，这种现象称作强化，cd段称为强化阶段。曲线最高点所对应的应力值记作 ，称为材料的抗拉强度抗拉强度(或强度极限)，它是衡量材料强度的又一个重要指标。(4)(4)缩颈断裂阶段缩颈断裂阶段 曲线到达d点前，试件的变形是均匀发生的，曲线到达d点，在试件比较薄弱的某一局部(材质不均匀或有缺陷处)，变形显著增加，有效横截面急剧减小，出现了缩颈现象，试件很快被拉断，所以de段称为缩颈断裂阶段。bbc.c.塑性指标塑性指标试件拉断后，弹性变形消失，但塑性变形仍保留下来。工程上用试件拉断后遗留下来的变形表示材料的塑性指标。常用的塑性指标有两个:伸长率伸长率:1100LLL%断面收
15、缩率断面收缩率:1100AAA%L1 试件拉断后的标距L 是原标距A1 试件断口处的最小横截面面积A 原横截面面积。、值越大，其塑性越好。一般把 5的材料称为塑性材料塑性材料，如钢材、铜、铝等；把 5的材料称为脆性材料脆性材料，如铸铁、混凝土、石料等。(2)低碳钢压缩时的力学性能低碳钢压缩时的力学性能 Os比较低碳钢压缩与拉伸曲线,在直线部分和屈服阶段大致重合，其弹性模量比例极限和屈服点与拉伸时基本相同，因此低碳钢低碳钢的抗拉性能与抗压性能是的抗拉性能与抗压性能是相同的相同的。屈服阶段以后，试件会越压越扁，先是压成鼓形，最后变成饼状，故得不到压缩时的抗压强度。因此对于低碳钢一般不作压缩试验。F
16、(3)(3)铸铁拉伸时的力学性能铸铁拉伸时的力学性能 O铸铁是脆性材料的典型代表。曲线没有明显的直线部分和屈服阶段，无缩颈现象而发生断裂破坏，塑性变形很小。断裂时曲线最高点对应的应力值称为抗拉强度抗拉强度 。铸铁的抗拉强度较低。b曲线没有明显的直线部分，应力与应变的关系不符合虎克定律。但由于铸铁总是在较小的应力下工作，且变形很小，故可近似地认为符合虎克定律。通常以割线Oa的斜率作为弹性模量E。ab(4)(4)铸铁压缩时的力学性能铸铁压缩时的力学性能OFF曲线没有明显的直线部分，应力较小时，近似认为符合虎克定律。曲线没有屈服阶段，变形很小时沿与轴线大约成45的斜截面发生破裂破坏。曲线最高点的应力
17、值称为抗压强度抗压强度 。byby铸铁材料抗压性能远好于抗拉性能，这也是脆性材料共有的属性。因此，工程中常用铸铁等脆性材料作受压构件，而不用作受拉构件。5 5 拉拉(压压)杆的强度计算杆的强度计算 许用应力和安全系数 极限应力极限应力：材料丧失正常工作能力时的应力：材料丧失正常工作能力时的应力。塑性变形塑性变形是塑性材料破坏的标志是塑性材料破坏的标志。屈服点 为塑性材料的极限应力。断裂是脆性材料破坏的标志断裂是脆性材料破坏的标志。因此把抗拉强度 和抗压强度 ，作为脆性材料的极限应力。sbby许用应力许用应力：构件安全工作时材料允许承受的最大应力：构件安全工作时材料允许承受的最大应力。构件的工作
18、应力必须小于材料的极限应力。塑性材料塑性材料：ssn =脆性材料脆性材料：=bbnn s s、n b b是安全系数:n s s=1.2=1.22.5 2.5 n b b 2.02.03.53.5 强度计算：强度计算：5 5 拉拉(压压)杆的强度计算杆的强度计算 为了使构件不发生拉(压)破坏，保证构件安全工作的条件是：最大工作应力不超过材料的许用应力。这一条件称为强度条件强度条件。AFN maxmax 应用该条件式可以解决以下三类问题：校核强度校核强度、设计截面设计截面、确定许可载荷确定许可载荷。应用强度条件式进行的运算。DpdF例例1:1:某铣床工作台进给油缸如图所示，缸内工作油压p p2MP
19、a2MPa，油缸内径D D75mm75mm，活塞杆直径d d1818mmmm，已知活塞杆材料的许用应力 50MPa50MPa，试校核活塞杆的强度。解：求活塞杆的轴力。设缸内受力面积为A1，则：，则：222212751844NFpApDd校核强度。活塞杆的工作应力为：MPaMPaAFN6.32184187542222 50MPa所以，活塞杆的强度足够。FFbh例例2 2：图示钢拉杆受轴向载荷F=40kNF=40kN，材料的许用应力 =100MPa，横截面为矩形，其中h=2bh=2b，试设计拉杆的截面尺寸h h、b b。解：求拉杆的轴力。FN=F=40kN则：拉杆的工作应力为：=FN /A=40
20、/b h=40000/2b=20000/b =10022所以：b=14mm h=28mmFF二二 剪剪 切切 1.1.剪切的概念剪切的概念 FF在力不很大时，两力作用线之间的一微段，由于错动而发生歪斜，原来的矩形各个直角都改变了一个角度 。这种变形形式称为剪切变形，称为切应变或角应变。受力特点：受力特点：构件受到了一对大小相等，方向相反，作用线平行且相距很近的外力。变形特点：变形特点：在力作用线之间的横截面产生了相对错动。2.2.挤压的概念挤压的概念 构件发生剪切变形时，往往会受到挤压作用，这种接触面之间相互压紧作用接触面之间相互压紧作用称为挤压。构件受到挤压变形时，相互挤压的接触面称为挤压挤
21、压面面(A j y)。作用于挤压面上的力称为挤压力挤压力(F j y y)，挤压力与挤压面相互垂直。如果挤压力太大，就会使铆钉压扁或使钢板的局部起皱。FFF3.3.剪切的实用计算剪切的实用计算 切力切力F FQ:Q:剪切面上分布内力的合力。剪切面上分布内力的合力。F用截面法计算剪切面上的内力。FFmmF FQ QF FQ QFFQ 切应力切应力 切应力在截面上的实际分布规律比较复杂，工程上通常采用“实用计算法”，即假定切力在剪切面上的分布是均匀的。所以:AFQM Pa构件在工作时不发生剪切破坏的强度条件强度条件为:AFQ 为材料的许用切应力，是根据试验得出的抗剪强度 除以安全系数确定的。b工程
22、上常用材料的许用切应力，可从有关设计手册中查得。一般情况下，也可按以下的经验公式确定：塑性材料塑性材料:(0.6(0.60.8)0.8)脆性材料脆性材料:(0.8(0.81.0)1.0)ll4.4.挤压的实用计算挤压的实用计算当构件承受的挤压力F Fjyjy过大而发生挤压破坏时，会使联接松动，构件不能正常工作。因此，对发生剪切变形的构件，通常除了进行剪切强度计算外，还要进行挤压强度计算。挤压应力挤压应力:“实用计算法”，即认为挤压应力在挤压面上的分布是均匀的。故挤压应力为:jyjyjyAFM PaF Fjyjy为挤压力（为挤压力（N）；）；A Ajyjy为挤压面积（为挤压面积（）2mm当挤压面
23、为半圆柱侧面时，中点的挤压应力值最大，如果用挤压面的正投影面作为挤压计算面积，计算得到的挤压应力与理论分析所得到的最大挤压应力近似相等。因此，在挤压的实用计算中，对于铆钉、销钉等圆柱形联接件的挤压面积用 来计算。dAjyd为了保证构件局部不发生挤压塑性变形，必须使构件的工作挤压应力小于或等于材料的许用挤压应力，即挤压的强度条件强度条件为:jyjyjyAF jyM Pa塑性材料塑性材料:(1.5(1.52.5)2.5)脆性材料脆性材料:(0.9(0.91.5)1.5)材料的许用挤压应力，是根据试验确定的。使用时可从有关设计手册中查得，也可按下列公式近似确定。jyjyll挤压强度条件也可以解决强度
24、计算的三类问题。当联接件与被联接件的材料不同时，应对挤压强度较低的构件进行强度计算。例1:试校核图0-2-1所示带式输送机传动系统中从动齿轮与轴的平键联接的强度。已知轴的直径d48mm，A型平键的尺寸为b14mm，h9mm，L45mm，传递的转矩Ml81481 Nmm，键的许用切应力60MPa，许用挤压应力jy130MPa。FFM解：1.以键和轴为研究对象,求键所受的力:Mo(F)0 F 一 M 0 2dF=2M/d=2 x 181481/48=7561.7 N键联接的破坏可能是键沿mm截面被切断或键与键槽工作面间的挤压破坏。剪切和挤压强度必须同时校核。用截面法可求得切力和挤压力：FQF j
25、yF7561.7N 2.校核键的强度。键的剪切面积Ab l=b（Lb）键的挤压面积为A j yhl/2=h（Lb）2 QFA=7561.71445 14M P a=174MPa jy MPa54.2MPajy jyjyAF7561.74.545 14键的剪切和挤压强度均满足要求。例2：在厚度 的钢板上欲冲出一个如图所示形状的孔，已知钢板的抗剪强度 ，现有一冲剪力为 的冲床，问能否完成冲孔工作?mm5MPab100kN100810解：完成冲孔工作的条件：AFQb由平衡方程：FQ =100KNA=8 x 5 x 2+3.14 x 5 x 2 x 5=237 mm2=100KN /237 mm2=4
26、22 M Pab 所以，该冲床能完成冲孔工作。三三 扭转扭转 主要内容主要内容:2.2.扭转内力扭转内力:扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.3.扭转切应力分析与计算扭转切应力分析与计算1.1.圆轴扭转的概念圆轴扭转的概念 4.4.圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算 1.1.工程中发生扭转变形的构件工程中发生扭转变形的构件圆轴扭转的概念圆轴扭转的概念2.2.扭转变形的特点：扭转变形的特点：受力特点：受力特点：在垂直于杆件轴线的平面内，作用了一对大小相等，转向相反，作用平 面平行的外力偶矩；变形特点：变形特点：杆件任意两横截面都发生了绕杆件轴线的相对转动。这种形式的变形称为这种形式的变
27、形称为扭转变形。扭转变形。3.3.研究对象：研究对象：轴轴(以以扭转变形为主的杆件）扭转变形为主的杆件）工程中发生扭转变形的构件工程中发生扭转变形的构件工程中发生扭转变形的构件工程中发生扭转变形的构件 扭转内力扭转内力:扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图1.扭转时的内力称为扭矩扭矩。截面上的扭矩与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。扭矩求解仍然使用截面法。截面法。2.扭矩图扭矩图：用平行于轴线的 x 坐标表示横截面的位置，用垂直于 x 轴的坐标MT表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩随截面位置变化的曲线，称为扭矩图。MeMe=95509550P P(kW)n n(r/min)(N.mN.m)MeMemm截
28、面法求扭矩截面法求扭矩MeMTMeMT0eTMMeTMM扭矩正负规定：扭矩正负规定：右手法则右手法则例例1 1：主动轮：主动轮A A的输入功率的输入功率P PA A=36kW=36kW，从动轮，从动轮B B、C C、D D输出功率输出功率分别为分别为PB=PC=11kWPB=PC=11kW，PD=14kWPD=14kW，轴的转速，轴的转速n=300r/min.n=300r/min.试求传试求传动轴指定截面的扭矩，动轴指定截面的扭矩，并做出扭矩图。并做出扭矩图。解：1)1)由外力偶矩由外力偶矩的计算公式求个轮的计算公式求个轮的力偶矩的力偶矩：M M A A=9550 P=9550 PA A/n=
29、9550 x36/300=1146 N.m/n=9550 x36/300=1146 N.mM M B B=M M C C=9550 P=9550 PB B/n=350 N.m/n=350 N.mM M D D=9550 P=9550 PD D/n=446 N.m/n=446 N.m2)2)分别求分别求1-11-1、2-22-2、3-33-3截面上的扭矩，即为截面上的扭矩，即为BC,CA,ADBC,CA,AD段轴的扭矩。段轴的扭矩。M1M3M2M M 1 1+M M B B=0=0M M 1 1=-=-M M B B=-350N.m=-350N.mM M B B+M M C C+M M 2 2=
30、0M M 2 2=-M M B B-M M C C=-700N.m-700N.mM M D D-M M 3 3=0M M 3 3=M M D D=446N.m446N.m3)3)画扭矩图：画扭矩图：xMT350N.m700N.m446N.m对于同一根轴来说，若对于同一根轴来说，若把主动轮把主动轮A A安置在轴的安置在轴的一端，例如放在右端，一端，例如放在右端，则该轴的扭矩图为：则该轴的扭矩图为：M M B BM M C CM M D DM M A AxMT350N.m700N.m1146N.m结论结论：传动轴上主动轮和从动轮的安放位置传动轴上主动轮和从动轮的安放位置不同，轴所承受的最大扭矩不同
31、，轴所承受的最大扭矩(内力内力)也就不同。也就不同。显然，这种布局是不合理的。显然，这种布局是不合理的。圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力 1.1.圆轴扭转时的圆轴扭转时的变形特征变形特征:MeMe1)1)各圆周线的形状大小及圆周线之间的距离均各圆周线的形状大小及圆周线之间的距离均无变化；各圆周线绕轴线转动了不同的角度。无变化；各圆周线绕轴线转动了不同的角度。2)2)所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同一角度了同一角度 。平面假设：平面假设：圆周扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之间的距离保持不变，横截面半径仍
32、为直线。推断结论推断结论：1.1.横截面上各点无轴向变形,故截面上无正应力无正应力。2 2.横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，发生了剪切变形，故横截面上有切应力存在有切应力存在。3.3.各横截面半径不变，所以切应力方向与截面半切应力方向与截面半径方向垂直径方向垂直。4.距离圆心越远的点，它的变形就越大。在剪切比例极限内，切应力与切应变总是成正比，这就是剪切虎克定律剪切虎克定律。因此，各点因此，各点切应力切应力的大小与该点到圆心的距离的大小与该点到圆心的距离成正比，其成正比，其分布规律分布规律如图所示如图所示 ：MT根据横截面上切应力的分布规律可根据根据横截面上切应力的分布规律可根据静力平衡条
33、件，推导出截面上任一点的静力平衡条件，推导出截面上任一点的切应力切应力 计算公式如下：计算公式如下：pTIMM PaM M T T横截面上的扭横截面上的扭矩矩（N.mmN.mm）欲求应力的点欲求应力的点到圆心的距离到圆心的距离（mmmm）I I p p截面对圆心的截面对圆心的极惯性矩极惯性矩（mmmm）。4pTIMM PamaxR=TMW pW p为抗扭截面系数为抗扭截面系数(mm )3极惯性矩极惯性矩与抗扭截面系数抗扭截面系数表示了截面的几何性质，其大小只与截面的形状和尺寸有关。工程上经常采用的轴有实心圆轴和空心圆轴两种，它们的极惯性矩与抗扭截面系数按下式计算：实心轴实心轴:440.132p
34、DIDppIWR332.016DD空心轴空心轴:Dd/432pDI4444411.013232DDdppIWR434312.0116DD例例1 1：如图所示如图所示,已知已知M M1 1=5kNm;M=5kNm;M2 2=3.2kNm;M=3.2kNm;M3 3=1.8kNm;=1.8kNm;AB=200mm;BC=250mm,AB=200mm;BC=250mm,ABAB=80mm,=80mm,BCBC=50mm,G=80GPa=50mm,G=80GPa。求此求此轴的最大切应力。轴的最大切应力。求AB、BC段扭矩解：解：根据切应力计算公式:MAB=-5kN.mMBC=-1.8kN.mMPaWT
35、ABABAB83.48802.010536maxMABMPaWTBCBCBC72502.0108.136maxMBC四四 弯曲弯曲 主要内容主要内容:1.1.直梁平面弯曲的概念直梁平面弯曲的概念 2.2.梁的类型及计算简图梁的类型及计算简图 3.3.梁弯曲时的内力（剪力和弯矩）梁弯曲时的内力（剪力和弯矩）4.4.梁纯弯曲时的强度条件梁纯弯曲时的强度条件 5.5.梁弯曲时的变形和刚度条件梁弯曲时的变形和刚度条件 平面弯曲平面弯曲：梁的外载荷都作用在纵向对称面梁的外载荷都作用在纵向对称面内时，则梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一内时，则梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。条平面曲线。直梁平面弯曲
36、的概念直梁平面弯曲的概念 1.1.梁弯曲的工程实例梁弯曲的工程实例2.2.直梁平面弯曲的概念：直梁平面弯曲的概念：弯曲变形：弯曲变形：作用于杆件上的外力垂直于杆件作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使杆的轴线由直线变为曲线。的轴线，使杆的轴线由直线变为曲线。以弯曲变形为主的直杆称为以弯曲变形为主的直杆称为直梁直梁，简称，简称梁梁。梁弯曲的工程实例梁弯曲的工程实例1 1FFFAFB梁弯曲的工程实例梁弯曲的工程实例2 2F梁的轴线和横截面的对称轴梁的轴线和横截面的对称轴构成的平面称为构成的平面称为纵向对称面纵向对称面。梁的计算简图梁的计算简图 在计算简图中，通常在计算简图中，通常以梁的轴线表示梁以
37、梁的轴线表示梁。作。作用在梁上的载荷，一般可以简化为三种形式用在梁上的载荷，一般可以简化为三种形式:1.1.集中力集中力:2.2.集中力偶集中力偶:3.3.分布载荷分布载荷(均布载荷均布载荷)单位为单位为N/mN/m 简支梁：简支梁：一端为活动铰一端为活动铰链支座，另一端为固定链支座，另一端为固定铰链支座。铰链支座。梁的类型梁的类型外伸梁：外伸梁：一端或两端伸一端或两端伸出支座之外的简支梁。出支座之外的简支梁。悬臂梁：悬臂梁：一端为固定端，一端为固定端，另一端为自由端的梁。另一端为自由端的梁。梁弯曲时的内力：剪力和弯矩梁弯曲时的内力：剪力和弯矩 求梁的内力的方法仍然是求梁的内力的方法仍然是截面
38、法截面法。F1F3F2mmxF3ABFAa aFQMF FQ Q =F FA A-F F3 3M M=F FA A x x-F F3 3(x-ax-a)F2F1FBFQM梁内力的正负号规定梁内力的正负号规定2.从梁的变形角度从梁的变形角度剪力：剪力：顺时针为正顺时针为正逆时针为负逆时针为负弯矩：弯矩：上凹为正上凹为正下凹为负下凹为负1.规定：规定：BAqFA例：如图，任例：如图，任取一截面取一截面m-mm-m，距离距离A A端端x,x,则则m-mm-m截面内力截面内力为为:mmqCACFAFQMx(0 X L)(0 X L)FBqx2qLqxF)x(FAQ2Ax2qx2qL2xqxxF)x(M
39、A A点：点：M MA A=0=0中点：中点：M=qLM=qL2 2/8/8B B点：点：M MB B=0=0qLqL2 2/8/8抛物线抛物线剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以横坐标x表示截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩都可表示为x的函数，即：F FQ Q =F =FQ Q(x)(x)M=M(x)M=M(x)剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程弯矩图弯矩图画法：以与梁轴线平行的x坐标表示横截面位置，纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小，正弯矩画在轴的上方，负弯矩画在轴的下方。例例2 2：如如图所示的简支梁AB，在
40、点C处受到集中力F作用，尺寸a、b和L均为已知，试作出梁的弯矩图。x1FAFBx2FABa aCb bL L解：解：1.1.求约束反力求约束反力 0AMBaFFl0BMAbFFl2.2.分两段建立弯矩方程分两段建立弯矩方程 10AMF x11AbMF xFxl10 xaAC段段：22()0AMF xF xa2axlBC段段：L LFx1ABa aCb bx2M=FM=FA A X X2 2-F-F(X X2 2-a-a)=-=-FXFX2 2+aFaFalFx1ABa aCb bx23.3.画弯矩图画弯矩图M=-=-FX2 2+a aFal2axl0M abMFlabMFl0M 10 x 时时
41、，1xa时时，2xa时时，2xl时时，11AbMF xFxl10 xa10 xaabMFl直线直线例例3 3：如图所示的简支梁如图所示的简支梁ABAB，在点，在点C C处受集中力偶处受集中力偶M M0 0作用，作用，尺寸尺寸a a、b b和和L L均为已知，试作此梁的弯矩图。均为已知，试作此梁的弯矩图。解：解：1.1.求约束反力求约束反力 2.2.分两段建立弯矩方程分两段建立弯矩方程 BACM M0 0abL0ABMFFlACAC段：段：10AMF x011AMMF xxl 10 xax1x2020AMMF x00202AMMMF xMxl2axlBCBC段：段：BACM M0 0abLx1x
42、23.3.画弯矩图画弯矩图011AMMF xxl 10 xa00202AMMMF xMxl2axl10 x 0M 1xa0aMMl 2xa0bMMl2xl0M BACM M0 0abLx1x2弯矩图的规律弯矩图的规律 1.梁受梁受集中力或集中力偶集中力或集中力偶作用时，弯矩图作用时，弯矩图为为直线直线，并且在集中力作用处，弯矩发生，并且在集中力作用处，弯矩发生转转折折；在集中力偶作用处，弯矩发生；在集中力偶作用处，弯矩发生突变突变，突，突变量为集中力偶的大小。变量为集中力偶的大小。2.2.梁受到梁受到均布载荷均布载荷作用时，弯矩图为作用时，弯矩图为抛物抛物线线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。一致。3.3.梁的两端点梁的两端点若无集中力偶作用，则端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为处的弯矩为0 0；若有集中力偶作用时，则弯；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。矩为集中力偶的大小。求作弯矩图。求作弯矩图。解：解：1.1.求约束反力求约束反力 FB=3kNFC=1kN2.2.作弯矩图作弯矩图(无集中力偶，所以无突变）无集中力偶，所以无突变）MA=0，MB=-2AB段为直线段为直线BC段为抛物线段为抛物线MBCBC=-(X -2X+4)/22CD段为直线段为直线MD=0，MC=-2x
