1、1.3 条件概率与事件的独立性1.3.1 条件概率条件概率 1.3.2 独立性独立性1.3.1 条件概率条件概率 实际中，会遇到在某一事件实际中，会遇到在某一事件A已经发生的条件下，求另一事件已经发生的条件下，求另一事件B发生的概率，称这种概率为发生的概率，称这种概率为A发生的条件发生的条件下下B发生的条件概率。发生的条件概率。例例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一是一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男还是女是等可能的）男孩的概率是多大（假定一个小孩是男还是女是等可能的）？解解 观察两个小孩性别的随机试验所构成的样本空间观察两个
2、小孩性别的随机试验所构成的样本空间 =(男男,男男)、(男男,女女)、(女女,男男)、(女女,女女)则则 A=(男男,男男),(男男,女女),(女女,男男)表示表示“两个小孩中至少有一个男孩两个小孩中至少有一个男孩”，B=(女女,女女),(男男,女女),(女女,男男)表示表示“两个小孩中至少有一个女孩两个小孩中至少有一个女孩”.显然，显然，P(A)=P(B)=3/4现在现在B已经发生，排除了有两个男孩的已经发生，排除了有两个男孩的可能性，相当于样本空间由原来的可能性，相当于样本空间由原来的 缩小到现在的缩小到现在的 B=B，而事件，而事件相应地缩小到相应地缩小到=(男男,女女)，(女女,男男)
3、，因此，因此22/4()(|)33/4()P ABP A BP B 定义定义1 设设A，B为随机试验为随机试验E 的两个事件，且的两个事件，且P(B)0，则称，则称()(|)()P ABP A BP B一、条件概率一、条件概率为在事件为在事件A已发生的条件下，事件已发生的条件下，事件B发生的条件概率发生的条件概率.注：条件概率与普通概率有相类似的性质：如：注：条件概率与普通概率有相类似的性质：如：若若 BC，则，则P(BC)|A)=P(B|A)+P(C|A).(|)1(|).P B AP B A 例例2 设某种动物由出生而活到设某种动物由出生而活到20岁的概率为岁的概率为0.8，活到，活到25
4、岁的岁的概率为概率为0.4，求现龄为，求现龄为20岁的这种动物活到岁的这种动物活到25岁的概率？岁的概率？解解 设设A=活到活到20岁岁，B=活到活到25岁岁，()0.4(|)0.5.()0.8P ABP B AP A 则则 P(A)=0.8,P(B)=0.4.于是所求概率为于是所求概率为 由于由于A B，有有AB=B，因此，因此P(AB)=P(B)=0.4，关于关于条件概率的计算条件概率的计算，往往采用如下两种方法：往往采用如下两种方法：(1)在缩减的样本空间上直接计算。在缩减的样本空间上直接计算。(2)利用公式计算。利用公式计算。例例3 甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记甲、乙
5、两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为20%和和18%，两地同时下雨的比例为两地同时下雨的比例为12%，求：，求：（1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；（2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率.解解 设设A=甲市是雨天甲市是雨天，B=乙市是雨天乙市是雨天，P(A)=0.2，P(B)=0.18，P(AB)=0.12，则则()0.12(|)0.67,()0.18P ABP A BP B()0.12(|)0.60,()0.2P ABP B AP
6、A二、乘法公式二、乘法公式若若(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B)定理定理1 若若P(A1 A2 An-1)0，则，则 P(A1 A2 An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)P(An A1 A2 An-1).证证 反复应用两个事件的乘法公式，得到反复应用两个事件的乘法公式，得到1212112112211221211211122121()()(|)()(|)(|)()(|)(|)(|).nnnnnnnnnnnnnP A AAP A AAP AA AAP A AAP AA AAP AA AAP A P AAP AA AAP AA AA 例例4 今有一张足球票，今有一张足球
7、票，n个人都想得到，故采用抽签的办法个人都想得到，故采用抽签的办法分配这张票，试利用乘法公式说明每人得到足球票的概率都是分配这张票，试利用乘法公式说明每人得到足球票的概率都是1/n 解解 将外形相同的个标签让个人依次抽取，事先将足球票放在将外形相同的个标签让个人依次抽取，事先将足球票放在某标签中记某标签中记Ai=第第i人抽到足球票人抽到足球票，则，则 由公由公式得式得 11iiiAAAA1112111211()()()(|)(|)(|)12111.121iiiiiiiP AP AAAP A P AAP AAAP AAAnnninnninin 例例5 一袋中装有一袋中装有a只白球，只白球，b只黑
8、球，每次任取一球，取后放只黑球，每次任取一球，取后放回，并且再往袋中加进回，并且再往袋中加进c只与取到的球同色的球，如此连续取三只与取到的球同色的球，如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率次，试求三次均为黑球的概率 解解 设设A=三次取出的均为黑球三次取出的均为黑球，Ai=第第i次取出的是黑球次取出的是黑球，i=1,2,3，则有，则有 A=A1A2A3由题意得由题意得1213122(),(|),(|),2bbcbcP AP AAP AA Aababcabc故故 cbacbcbacbbabAP22)(该摸球模型称为卜里耶（该摸球模型称为卜里耶（Poloya）模型上述概率）模型上述概率显然满足不等
9、式显然满足不等式 P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2).这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也就越来越大，这犹如某种传染病在某地流行时，如不就越来越大，这犹如某种传染病在某地流行时，如不及时控制，则波及范围必将越来越大；地震也是如此，及时控制，则波及范围必将越来越大；地震也是如此，若某地频繁地发生地震，从而被认为再次爆发地震的若某地频繁地发生地震，从而被认为再次爆发地震的可能性就比较大所以，卜里耶模型常常被用作描述可能性就比较大所以，卜里耶模型常常被用作描述传染病传播或地震发生的数学模型传染病传播或地震发生的数学模型1.3.2 事件的
10、独立性事件的独立性事件的独立性事件的独立性 一般地一般地 P(A|B)P(A),即即B的发生，会对的发生，会对A的发生产生影响，但的发生产生影响，但在某些情况下有在某些情况下有(A|B)P(A)，如：，如：设盒中设盒中3个白球，个白球，2个红球，从中取球两次，每次一个，就个红球，从中取球两次，每次一个，就 a)不不放回取样放回取样;b)放回取样放回取样;求下列事件的概率：求下列事件的概率：(1)第二次取得红球的概率；第二次取得红球的概率；(2)在第一次取得白球的条件下，第二次取得红球的概率在第一次取得白球的条件下，第二次取得红球的概率 解解 设设A第一次取得白球第一次取得白球，B第二次取得红球
11、第二次取得红球,a)不放回取样不放回取样 b)放回取样放回取样 (1)P(B)=2/5,(2)P(B|A)=2/5,P(B)P(B|A).(1)P(B)=2/5,(2)P(B|A)=2/4,P(B)P(B|A);注意：注意：P(B)有别于有别于P(取到一个红球取到一个红球)11114254C C/(C C)一、两个事件的独立性一、两个事件的独立性 1.定义定义 设设A、B二事件，如果满足等式二事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B),则称则称A、B为相互独立的事件。为相互独立的事件。由定义得：必然事件由定义得：必然事件 及不可能事件与及不可能事件与任何事件都相互独立。任何事件都相互独立
12、。2.性质性质1)若若P(A)0,P(B)0,则则A和和B独立独立P(B|A)=P(B);P(A|B)=P(A)。)()()()(ABPBPABBPBAP)()()(BPAPBP()1()()().P BP AP A P B所以所以A和和B相互独立相互独立 例6 分别掷两枚均匀的硬币，令A=硬币甲出现正面H，B=硬币乙出现反面T，试验证A、B相互独立 解 样本空间=HH,HT,TH,TT共含有4个基本事件，它们发生的概率均为1/4而A=HH,HT，B=HT,TT，AB=HT，故有P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A)P(B)，所以A、B相互独立 从直观上看，例从直
13、观上看，例6中的事件中的事件A与与B显然是相互独立的，显然是相互独立的，因为硬币甲出现正面与否对硬币乙是否出现反面毫无影因为硬币甲出现正面与否对硬币乙是否出现反面毫无影响在实际应用中，人们常常根据事件的实际意义去判响在实际应用中，人们常常根据事件的实际意义去判断事件的独立性一般地，若由实际情况分析，断事件的独立性一般地，若由实际情况分析，A、B两事件之间没有关联或关联很微弱，就认为它们是相互两事件之间没有关联或关联很微弱，就认为它们是相互独立的例如独立的例如A、B分别表示甲、乙两人患感冒分别表示甲、乙两人患感冒,如果甲如果甲在上海，乙在重庆，就认为在上海，乙在重庆，就认为A、B相互独立，若甲、
14、乙相互独立，若甲、乙两人同住一个房间，那就不能认为两人同住一个房间，那就不能认为A、B相互独立了相互独立了 下面的定理下面的定理2是显然的。是显然的。定理定理2 设设A、B是两事件，且是两事件，且 P(B)0，则，则A、B相互相互独立的充分必要条件是独立的充分必要条件是P(A|B)=P(A)定理定理3 若事件若事件A与与B相互独立，则下列各对事件也相相互独立，则下列各对事件也相互独立互独立),(),(),(BABABA证证 由于由于 ，且，且A与与B独立，所以独立，所以 ABBABBAB()()()()()()P ABP BP ABP BP AP B故故 与与B独立由独立由A与与B的对称性，可
15、见的对称性，可见A与与 也相互独立对于也相互独立对于A与与 重复应用上述证明方法，可得重复应用上述证明方法，可得 与与 亦相互独立亦相互独立 ABBBA 事实上，在四对事件事实上，在四对事件A与与B、与与B、A与与 、与与 中，只要有一中，只要有一对相互独立，则其余三对也必定相互独立对相互独立，则其余三对也必定相互独立BB 值得注意的是，事件值得注意的是，事件A、B相互独立与相互独立与A、B互不相容有着本质互不相容有着本质的区别。不相容意味着的区别。不相容意味着A发生就不能发生就不能B发生，或发生，或B发生就不能发生就不能A发发生，因此生，因此A发生与否跟发生与否跟B发生与否不是无关的，恰恰是
16、极其有关；发生与否不是无关的，恰恰是极其有关；当当P(A)0，P(B)0时，互不相容一定不相互独立，相互独立一时，互不相容一定不相互独立，相互独立一定不互不相容；只有当定不互不相容；只有当P(A)和和P(B)中至少有一个为中至少有一个为0时，时，A和和B才才可能既相互独立又互不相容可能既相互独立又互不相容AA 例7 甲、乙两人各向一架敌机炮击一次。已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5。求敌机被击中的概率。解 设A=甲击中敌机，B=乙击中敌机，C=目标被击中。由于 C=AB，且A，B独立得 )(1)(1)()(BAPBAPBAPCP1(1()(1()1 0.4 0.50.8P
17、AP B 或或P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.6+0.50.60.5=0.8 例例8 有甲、乙两批种子，发芽率分别为有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和和0.7，从两批种，从两批种子中各随机地抽取一粒，求：子中各随机地抽取一粒，求：（1）两粒都能发芽的概率；）两粒都能发芽的概率；（2）至少有一粒种子能发芽的概率；）至少有一粒种子能发芽的概率；（3）恰好有一粒种子能发芽的概率）恰好有一粒种子能发芽的概率。解解 设以设以A、B分别表示取自甲、乙两批种子中的某粒种子发分别表示取自甲、乙两批种子中的某粒种子发芽这一事件，则所求的概率为芽这一
18、事件，则所求的概率为(1)()P AB(2)()P AB(3)()P ABAB由于由于P(A)=0.8，P(B)=0.7，且，且A、B相互独立，故有相互独立，故有 P(AB)=P(A)P(B)=0.80.7=0.56，()()()()0.80.70.560.94,P ABP AP BP AB()()()0.8(1 0.7)(1 0.8)0.70.38.P ABABP ABP AB二、多个事件的独立性二、多个事件的独立性 1.3个事件的独立性的定义个事件的独立性的定义三个事件三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式，如果满足下面四个等式()()(),()()(),()(),()()()(),P
19、ABP A P BP ACP A P CP BCP B P CP ABCP A P B P C则称三事件则称三事件A、B、C相互独立相互独立。如果如果A、B、C仅满足上式中的前三个等式，则称三事件仅满足上式中的前三个等式，则称三事件A、B、C两两相互独立。两两相互独立。(事件两两独立，不一定相互独事件两两独立，不一定相互独)。2.n个事件的独立性的定义个事件的独立性的定义 定义定义3 n个事件个事件A1,A2,An，如果对于任意，如果对于任意k（1kn），），任意任意1i1i2ikn，满足等式，满足等式1212()()()(),kkiiiiiiP A AAP AP AP A 则称则称A1，A2
20、，An是相互独立的事件。是相互独立的事件。要说明要说明A1，A2，An相互独立，需验证上述多个等式成立。相互独立，需验证上述多个等式成立。2301(1 1)21nnnnnnnnCCCCCn 个）注：注：(1)若若n个事件个事件A1,A2,An独立，则其部分事件组也独立；独立，则其部分事件组也独立；(2)若若n个事件个事件A1，A2，An独立，则将其中部分事件换独立，则将其中部分事件换为对立事件所得的事件组也独立为对立事件所得的事件组也独立 (3)若若A1，A2，An是相互独立的，则是相互独立的，则P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)，121212()1()1()()().nnnP
21、 AAAP AAAP AP AP A 例9 设有设有4个相互独立的元件组成的系统，每个元件的可靠个相互独立的元件组成的系统，每个元件的可靠性都为性都为r，（元件的可靠性是指元件能正常工作的概率），今对，（元件的可靠性是指元件能正常工作的概率），今对4个元件按如下两种方式组成系统，试比较两个系统可靠性的大小。个元件按如下两种方式组成系统，试比较两个系统可靠性的大小。系统一：先串联后并联系统一：先串联后并联 1B2B1A2A系统二：先并联后串联系统二：先并联后串联1A2A1B2B 解解 用用Ai，Bi表示如图中诸元件可靠的事件，表示如图中诸元件可靠的事件，i=1,2，用，用C1、C2分别表示系统一和系统二可靠的事件，分别表示系统一和系统二可靠的事件，则则 11212,CA AB B21212()(),CAABB于是于是11212121222422()()()()(2);P CP A AP B BP A A B Brrrrr21122212222()()()()()()(2)(2).iiiiiP CP ABP ABP AP BP A Brrrr 易知，当易知，当0r1时，有时，有P（C2）P（C1），即两者相比，后），即两者相比，后者的可靠性更高。者的可靠性更高。作业P20 1.9.P29 1.2.4.7
