1、8/13/20221第五节极限运算法则第五节极限运算法则一 极限运算法则极限运算法则二二 极限的不等性极限的不等性三三 求极限举例求极限举例：四四 小结与思考判断题小结与思考判断题（Techniques for Finding Limits)8/13/20222一极限运算法则一极限运算法则1 极限运算法则极限运算法则（）（）.)()(limbaxgxf （）（）（）.)()(limabxgxf（）（）),0.(/)(/)(lim bbaxgxf假设假设bxgaxf)(lim,)(lim.)()(limbaxgxf8/13/20223推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfc
2、xf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果推论推论2 28/13/20224注注2：对法则，：对法则，b不为；法则、不为；法则、只适用于有限个函数。只适用于有限个函数。注：注：在同一变化趋势下，在同一变化趋势下，极极限限 比存在，否则不能用上述法则比存在，否则不能用上述法则。)(),(xgxf 注注3：若：若 ,其中只有一其中只有一)(lim),(limxgxf)()(lim(xgxf 注注4：若：若 ，两个极限都不，两个极限都不)(lim),(
3、limxgxf)()(lim(xgxf 个存在，则个存在，则 一定不存在；一定不存在；存在，则存在，则 不一定不存在；不一定不存在；8/13/20225比如：比如：.1)1cos11(coslim,)11(coslim,1coslim000 xxxxxxx但但Exercises:当当xx0时，如果时，如果)(xf有极限有极限，)(xg无极限，则下列结论正确的是无极限，则下列结论正确的是：（1）必无极限；必无极限；)()(xgxf当当xx0时，时，（2）必有极限；必有极限；（4）若有极限，极限为若有极限，极限为0。（3）时可能无极限，可能有极限；时可能无极限，可能有极限；8/13/20226二二
4、 极限的不等性极限的不等性BAxgxfBxgAxf 则有则有且且若若)()(,)(lim,)(lim证明：令证明：令 0)()()(xgxfxF根据保号性定理，有根据保号性定理，有0)()(lim)(lim xgxfxF从而，从而，0)(lim)(lim BAxgxf即即.BA 8/13/20227三三 求极限举例求极限举例例例1（1）)(lim13222xxx（2）552lim232xxxx注：当注：当f(x)为初等函数时，为初等函数时，x为定义为定义域内的点，则域内的点，则)()(lim00 xfxfxx8/13/20228例例2273323xxxlim)3)(3(33lim3 xxxx)
5、,(033 xx=181例例3)(lim2323xxx)(lim323232xxxx32xxlim8/13/20229例例4 （1）157243lim2323 xxxxx（2）1057243lim3423 xxxxxx（3）157243lim324 xxxxx一般地一般地，bxbxbaxaxammmmnnnnx011011lim mnmnmnbann,0,8/13/202210比如比如：)6()23)52(502030(lim xxxx1322030 例例5（1）34213lim xxxx（2）157sin3lim232 xxxxx623)1()3(42lim xxxx=08/13/20221
6、1解解)32(lim21 xxx,0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又,03 1432lim21 xxxx.030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例6 6.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx8/13/202212例例7 7).21(lim222nnnnn 求求解解是是无无穷穷小小之之和和时时,n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.8/13/202213例例8 8.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当
7、xx.sin 是是有有界界函函数数而而x.0sinlim xxx8/13/202214四 小结与思考判断题极限求法极限求法;1）多项式与分式函数代入法求极限）多项式与分式函数代入法求极限;2）消去零因子法求极限）消去零因子法求极限;3）利用无穷小运算性质求极限）利用无穷小运算性质求极限;4）无穷小因子分出法求极限。）无穷小因子分出法求极限。8/13/202215则则有有设设,)(.1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则则有有且且设设,0)(,)()()(.20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx)()(00 xQxP).(0 xf.,0)(0则则商商的的法法则则不不能能应应用用若若 xQ小结小结:极限的四则运算法则极限的四则运算法则8/13/202216思考判断题思考判断题 2）在某个过程中，若）在某个过程中，若 无极限，无极限，无极限，那么无极限，那么 是否无极限？是否无极限？)(xf)(xg)()(xgxf 1）在某个过程中，若）在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？是否有极限？)(xf)(xg)()(xgxf
