1、微积分在几何上有两个基本问题微积分在几何上有两个基本问题1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方如何求曲线下方“曲边梯形曲边梯形”的面积。的面积。xy0 xy0 xyo直线直线几条线段连成的折线几条线段连成的折线曲线？曲线？1.5.1曲边梯形的面积曲边梯形的面积直线直线x 0、x 1、y 0及曲线及曲线y x2所围成的图形（曲边三所围成的图形（曲边三角形）面积角形）面积S是多少？是多少？x yO1为了计算曲边三角形的面积为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形，将它分割成许多小曲边梯形对任意一个小曲边梯形，用对任意一个小曲边梯形，用“直
2、边直边”代替代替“曲边曲边”（即在很小范围内以直代曲（即在很小范围内以直代曲)演示 当分点非常多（当分点非常多（n非常大）时，可以认为非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是作为小矩形一边的长，于是f(xi)x来近似表示来近似表示小曲边梯形的面积小曲边梯形的面积表示了曲边梯形面积的近似值表示了曲边梯形面积的近似值演示nnxfxfxfxf)()()()(332211观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当
3、分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示
4、，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形
5、面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细
6、时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。分割越细，面积的近似值就越精确。当分分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积S。下面方案下面方案“以直代曲以直代曲”的具体操作过程的具体操作过程（1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间：,nn,n1n,ni,n1i,n2,n1,n1,0 n1n1inix 每个区间的长度为过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小个小曲边梯形，他们的面积分别记作曲边梯形，他们的面积分别记作
7、niiSS1ni21.S,S,S,S则（2）近似代替近似代替n1)n1i(x)n1i(fSS2ii（3）求和）求和)1n(210n1 n1)n1-i(n1)n1-if(SS22223n1i2n1in1iin （4）取极限）取极限。积为即所求曲边三角形的面，所以时，亦即当分割无限变细，即3131)2n11)(n11(31S31)n12)(n11(61)12n(n)1n(61n1)1n(210n1)n(0 xlimlim00322223 xnxS分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限 y=f(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 i f(i)12 f(1)f(2)f(i)xi在 a,
8、b中任意插入 n 1个分点得n个小区间：xi1,xi (i=1,2,n)把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形任取i xi1，xi ，以f(i)xi近似代替第i个窄曲边梯形的面积区间xi1,xi 的长度xi xi xi1 曲边梯形的面积近似为：Aniiixf1)(分割分割近似代换近似代换求和求和取极限取极限（类似方法求汽车行驶的路程）（类似方法求汽车行驶的路程）曲边梯形的面积近似为：niiixf1)()(lim1ininfnabSbxxxxxabaxfnii110,)(上连续，用分点在区间如果函数niiniiiiifnabxfnixxnba111)()(),2,1(,作和式上任取一点间个小区间，在每
9、个小区等分成将区间badxxfbaxfn即记作上的定积分，在区间这个常数叫做函数某个常数，时，上述和式无限接近当,)(,)()(lim)(1ininbafnabdxxf叫做被积式。叫做积分变量，叫做被积函数，函数叫做积分区间，积分上限。区间分别叫做积分下限和和这里，dxxfxxfbaba)()(,的值。算利用定积分的定义，计例1031dxx3)(xxf解：令(1)分割分割在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点，将它等分成个点，将它等分成n个小个小区间：区间：),2,1(,1nininii个区间为记第nninix11其长度为(2)近似代替、作和近似代替、作和nininnnixn
10、ifSdxx1311031)()(则取),2,1(niniiniin1341224)1(411nnn2)11(41n）取极限（241)11(41limlim2103nSdxxnnn定积分的性质定积分的性质:)()()(1为常数）（kdxxfkdxxkfbababababadxxfdxxfdxxfxf)()()()(22121）（)()()()(3bcadxxfdxxfdxxfcabcba其中）（422212213103,356,37,415,412dxxdxxdxxdxx已知例2132412203)23()3(6)2(31dxxxdxxdxx）求（3033023030,481,9,29,3dxxdxxxdxdx已知30333023)1512218()2()8634()1(dxxxxdxxxx求作作 业业
