1、一、有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分三三、简单无理函数的不定积分、简单无理函数的不定积分二二、三角函数有理式的不定积分、三角函数有理式的不定积分一、有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分两个多项式的商表示的函数称为两个多项式的商表示的函数称为有理函数有理函数.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxPxR 11101110)()()(其中其中 m、n 都是非负整数都是非负整数;a0,a1,an 及及 b0,b1,bn 都是实数，并且都是实数，并且a0 0,b0 0.n m,R(x)称为称为真分式真分式；n m,R(x)称为称为假分式假分式.利用多项式除法利用多项式除法,假分
2、式可以化成一个多项假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和式和一个真分式之和.例如例如1123 xxx.112 xx一个真分式总可以分解成若干个部分分式之和一个真分式总可以分解成若干个部分分式之和.其中部分分式的形式为：其中部分分式的形式为：)04,N(2 qpkkkqxpxNxMaxA)(;)(2 难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)(,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：其中其中kAAA,21都是常数都是常数.特殊地：
3、特殊地：,1 k分解后为分解后为;axA（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其中其中iiNM,都是常数都是常数),2,1(ki.特殊地：特殊地：,1 k分解后为分解后为;2qpxxNMx 真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx ,3)23(,1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 12)1(1 x
4、x,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取,0 x1 A取取,1 x1 B取取,2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA ,1,02,02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:.lnCaxA ),1(Nnn.)(11CaxnA
5、n xaxAd.1 xaxAnd)(.2 xqxpxNxMd.32 xqxpxNxMnd)(.42),1,04(2 Nnnqp变分子为变分子为 2)2(2MpNpxM 再分项积分再分项积分.)1(d)(.42 nxqpxxNMxn122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn xqpxxNMxd.32)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 则有则有记记,2,422MpNbpqa 说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：出现三类情况：)1(多项式；多项式；;)()2(naxA;)()3(2nqpxxNMx 这三类积分均可积出这
6、三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.,)()()(为真分式为真分式设设xQxPxR 求求 的步骤：的步骤：xxRd)(1.将将 Q(x)在实数范围内分解成一次式和二在实数范围内分解成一次式和二次质因式的乘积次质因式的乘积.2.将将 拆成若干个部分分式之和拆成若干个部分分式之和.)()()(xQxPxR(分解后的部分分式必须是最简分式分解后的部分分式必须是最简分式).3.求出各部分分式的原函数求出各部分分式的原函数,即可求得即可求得.d)(xxR 例例1 1 求积分求积分 .d)1(12xxx xxxd)
7、1(12xxxxd11)1(112 xxxxxxd11d)1(1d12.1ln11lnCxxx 解解例例2 2 求积分求积分 解解.d221132 xxxxxxxxxd15152d21542 xxxd)1)(21(12xxxxxxd1151d125121ln5222 .arctan511ln5121ln522Cxxx xxxxd221132例例3 3 求积分求积分 解解.d3222xxxx 原式原式xxxd322 3)22(21 x 32)32d(2122xxxx32ln212 xx 22)2()1()1d(3xx.21arctan23Cx 注意注意 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行将有理
8、函数分解为部分分式求积分虽可行,但不一定简便但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构因此要注意根据被积函数的结构特点，灵活处理，寻求简便的方法求解特点，灵活处理，寻求简便的方法求解.例例4 4 求积分求积分 .d)1(132xxx 解解,1 xt令令原式原式tttd1)1(32 ttttd)221(32|ln t t2 Ct 21.)1(112|1|ln2Cxxx 例例5 5 求积分求积分 解解原式原式.d)22(222 xxxx xxxd)22(22)22(2 xx)22(x 1)1(d2xx 222)22()22d(xxxx)1arctan(x.2212Cxx 由三角函数和常数经过有限
9、次四则运算构成由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为的函数称为三角函数有理式三角函数有理式.二、三角函数有理式的不定积分二、三角函数有理式的不定积分一般记为一般记为 R(sin x,cos x).,2tanxu 令令,12sin2uux ,11cos22uux ,arctan2ux 则则uuxd12d2 dxxxR)cos,(sin.d12)11,12(2222uuuuuuR (万能代换公式万能代换公式)化为了化为了 u 的有理函数的积分的有理函数的积分.例例1 1 求积分求积分.dcossin1sin xxxx解解,12sin2uux 则则,11cos22uux ,d12d2uux
10、 uuuud)1)(1(22原式原式 uuuuuud)1)(1(112222,2tanxu 令令 uuuuud)1)(1()1()1(222 uuud112 uud11uarctan)1ln(212u Cu|1|ln2x|2sec|lnx.|2tan1|lnCx 例例2 2 求积分求积分.dsin14 xx解解,2tanxu 令令,12sin2uux ,d12d2uux xxdsin14 uuuuud83314642Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 解法二解法二,tan xu 令令,1sin2uux 则则,d11d2uux xx
11、dsin14 uuuud1111242 uuud142Cuu 1313.cotcot313Cxx 解法三解法三 xxdsin14xxxdcsccsc22 .cot31cot3Cxx 比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能代换不一定是最佳便知万能代换不一定是最佳方法方法,故故三角有理式的计算中先考虑其它手段三角有理式的计算中先考虑其它手段,不不得已才用万能代换得已才用万能代换.xxdcsc4 )(cotd)cot1(2xx例例3 3 求积分求积分).0,0(dsincos12222 baxxbxa解解 xxbaxdtansec2222原式原式 xutan 222dubauCabuab )ar
12、ctan(1.)tanarctan(1Caxbab 说明说明:通常求含通常求含xxxxcossincos,sin22及及的积分时的积分时,xutan 往往更方便往往更方便 .的有理式的有理式用代换用代换例例4 4 求积分求积分解解.)0,0(d)cossin(12 baxxbxa xbxaxd)tan(sec22原式原式 xutan 2)(dbauuCbuaa 11.)cossin(cosCxbxaax 三、简单无理函数的不定积分三、简单无理函数的不定积分 被积函数为简单根式的有理式被积函数为简单根式的有理式,可通过可通过根式代换根式代换化为有理函数的积分化为有理函数的积分.讨论类型讨论类型(
13、主要三种主要三种),d),(.1 xbaxxRnnbxat 令令,d),(.2 xxRndxcbxandxcbxat 令令,d),(.3 xbaxbaxxRmn,pbxat 令令.,的最小公倍数的最小公倍数为为其中其中nmp例例1 1 求积分求积分解解.21d3 xx,23 xt令令,23 tx则则,d3d2ttx 原式原式 tttd132tttd11)1(32 tttd)111(3 3 221tt t 1ln C 32)2(23 x323 x321ln3 x.C 例例2 2 求积分求积分.d1113 xxx解解,16 xt令令,dd65xtt ttttd61523 tttd163 Ctttt
14、|1|ln663223.)11ln(6161312663Cxxxx 原式原式ttttd)111(62 ,16 xt则则例例3 3 求积分求积分解解,1xxt 令令,112 tx则则,d)1(2d22tttx 原式原式 tttttd)1(2)1(222.d11 xxxxtttd1222 ttd)111(22 t2 11ln ttC xx 12Cxxx 2)11(lnxx 12.1212lnCxxx 1.有理函数分解成部分分式之和的积分有理函数分解成部分分式之和的积分.(注意：必须化成真分式注意：必须化成真分式)四、小结四、小结2.简单无理函数的积分简单无理函数的积分.(用用根式代换根式代换化为有
15、理函数的积分化为有理函数的积分)3.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分.(万能代换公式万能代换公式)(注意：万能公式并不万能注意：万能公式并不万能)思考题思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？解答解答分解后的部分分式必须是分解后的部分分式必须是最简最简分式分式.一、一、填空题：填空题：1 1、dxxxCBxxAdxx111323，其，其 A_,B_ _,C_；2 2、dxxCxBxAdxxxx111111222,其中其中 A_,B_,C_；3 3、计算、计算 ,sin2xdx可用万能代换可用万能代换 xsin_ _,dx_ _；4 4、计算、计
16、算 ,mbaxdx令令 t_,x_,_,dx_.练习题练习题5 5、有理函数的原函数都是、有理函数的原函数都是_.二、求下列不定积分：二、求下列不定积分：1 1、321xxxxdx；2 2、xxxdx221；3 3、dxx411；4 4、xdx2sin3；5 5、5cossin2xxdx；6 6、dxxx1111 ；7 7、xdxxx11；8 8、342)1()1(xxdx.三、求下列不定积分三、求下列不定积分（用以前学过的方法）：（用以前学过的方法）：1 1、dxxx31；2 2、dxxxxsincos1；3 3、241xxdx；4 4、dxxx32cossin；5 5、dxxx283)1(
17、；6 6、dxxx sin1sin；7 7、dxxxxx)(33；8 8、dxexexx2)1(；9 9、dxxx22)1ln(；10 10、xdxx arcsin12；11 11、dxxxxx cossincossin；1212、)(xbaxdx.二、二、1 1、Cxxx 34)3)(1()2(ln21；2 2、Cxxxx arctan21)1()1(ln41224；3 3、)12arctan(421212ln8222 xxxxx C )12arctan(42；一一、1 1、2,1,1 ；2 2、-1 1,21,21；3 3、2212,12uduuu ；4 4、bax ,abt 2,dtat
18、2；5 5、初初等等函函数数 .练习题答案练习题答案 4 4、Cx 3tan2arctan321；5 5、Cx 512tan3arctan51；6 6、Cxxx )11ln(414；7 7、xxxx 1111lnCxx 11arctan2,或或 Cxxx arcsin11ln2；8 8、Cxx 31123.三、三、1 1、Cxx 11)1(212；2 2、Cxx )sinln(；3 3、Cxxxx 233213)1(；4 4、Cxxxx )tanln(sec21cos2sin2；5 5、Cxxx 484arctan81)1(8；6 6、Cxx 2tan12,或或Cxxx tansec；7 7、
19、Cxx 66)1(ln；8 8、Ceexexxx )1ln(1；9 9、Cxxxxxxx 2)1ln(12)1ln2222；1010、xxxxarcsin124)(arcsin22 Cx 42；1111、Cxxxx sin21cos21ln221)cos(sin21；1212、Cxbax arctan2.有理函数化为部分分式之和的一般方法有理函数化为部分分式之和的一般方法:例例 将下列真分式分解为部分分式将下列真分式分解为部分分式 :;)1(1)1(2 xx;653)2(2 xxx.)1)(21(1)3(2xx 解解(1)拼凑法拼凑法22)1()1(1 xxxx2)1(1 x)1(1 xx2)
20、1(1 x)1(xx2)1(1 x11 x.1x)1(xx)1(xx653)(2 xxxxR)3)(2(3 xxx2 xA,3 xB2)()2(xxRxA233 xxx,5 3)()3(xxRxB323 xxx,6 256532 xxxx.36 x(2)赋值法赋值法(3)待定系数法待定系数法.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA ,1,02,02CACBBA即有即有,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:.lnCaxA
21、 ),1(Nnn.)(11CaxnAn xaxAd.1 xaxAnd)(.2 xqxpxNxMd.32 xqxpxNxMnd)(.42),1,04(2 Nnnqp变分子为变分子为 2)2(2MpNpxM 再分项积分再分项积分.)1(d)(.42 nxqpxxNMxn122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn xqpxxNMxd.32)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 则有则有记记,2,422MpNbpqa 例例求积分求积分 解解原式原式.d4555222423 xxxxxx xxxd)4)(1(22)4()1(22 xx xxxxxd4552243 xxxxd4552242 45)55d(212424xxxx45ln2124 xx xxxd)4111(22xarctan.2arctan21Cx 45ln2124 xx
