1、2019年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）1（3分）下列各数中，比3小的数是（）A5B1C0D1【解答】解：53101，所以比3小的数是5，故选：A2（3分）根据长沙市电网供电能力提升三年行动计划，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求数据15000000000用科学记数法表示为（）A15109B1.5109C1.51010D0.151011【解答】解：数据150 0000 0000用科学记数法表示为1.51010故选：C3（3分）下列计算正确的是（）A3a+2b5abB（a3）2a6
2、Ca6a3a2D（a+b）2a2+b2【解答】解：A、3a与2b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B、（a3）2a6，故选项B符合题意；C、a6a3a3，故选项C不符合题意；D、（a+b）2a2+2ab+b2，故选项D不合题意故选：B4（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A购买一张彩票，中奖B射击运动员射击一次，命中靶心C经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D任意画一个三角形，其内角和是180【解答】解：A购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；B射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；C经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；D任意画一个三角形，其内角
3、和是180，属于必然事件，符合题意；故选：D5（3分）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，180，则2的度数是（）A80B90C100D110【解答】解：180，3100，ABCD，23100故选：C6（3分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（）ABCD【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥故选：D7（3分）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（）A平均数B中位数C众数D方差【解答】解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6
4、个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了故选：B8（3分）一个扇形的半径为6，圆心角为120，则该扇形的面积是（）A2B4C12D24【解答】解：S12，故选：C9（3分）如图，RtABC中，C90，B30，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则CAD的度数是（）A20B30C45D60【解答】解：在ABC中，B30，C90，BAC180BC60，由作图可知MN为AB的中垂线，DADB，DABB30，CADBACDAB30，故选：B10（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60方向，距离灯塔60nmil
5、e的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A30nmileB60nmileC120nmileD（30+30）nmile【解答】解：过C作CDAB于D点，ACD30，BCD45，AC60在RtACD中，cosACD，CDACcosACD6030在RtDCB中，BCDB45，CDBD30，ABAD+BD30+30答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile故选：D11（3分）孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？”意思是：
6、用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（）ABCD【解答】解：由题意可得，故选：A12（3分）如图，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A2B4C5D10【解答】解：如图，作DHAB于H，CMAB于MBEAC，AEB90，tanA2，设AEa，BE2a，则有：100a2+4a2，a220，a2或2（舍弃），BE2a4，ABAC，BEAC，CMAB，CMBE4（等腰三角形两腰上的高相等）DBHABE，BHDBEA，
7、sinDBH，DHBD，CD+BDCD+DH，CD+DHCM，CD+BD4，CD+BD的最小值为4方法二：作CMAB于M，交BE于点D，则点D满足题意通过三角形相似或三角函数证得BDDM，从而得到CD+BDCM4故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13（3分）式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x5【解答】解：式子在实数范围内有意义，则x50，故实数x的取值范围是：x5故答案为：x514（3分）分解因式：am29aa（m+3）（m3）【解答】解：am29aa（m29）a（m+3）（m3）故答案为：a（m+3）（m3）15（3分）不等式组的解集是1x2【解答】解：解
8、不等式得：x1，解不等式得：x2，不等式组的解集为：1x2，故答案为：1x216（3分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球实验次数100100050001000050000100000“摸出黑球”的次数36387201940091997040008“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）0.3600.3870.4040.4010.3990.400根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是0.4（结果保留小数点后一位）【解答】观察表
9、格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近，故摸到白球的频率估计值为0.4；故答案为：0.417（3分）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE50m，则AB的长是100m【解答】解：点D，E分别是AC，BC的中点，DE是ABC的中位线，AB2DE250100米故答案为：10018（3分）如图，函数y（k为常数，k0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F现有以下四个结论：ODM与
10、OCA的面积相等；若BMAM于点M，则MBA30；若M点的横坐标为1，OAM为等边三角形，则k2+；若MFMB，则MD2MA其中正确的结论的序号是（只填序号）【解答】解：设点A（m，），M（n，），则直线AC的解析式为yx+，C（m+n，0），D（0，），SODMn，SOCA（m+n），ODM与OCA的面积相等，故正确；反比例函数与正比例函数关于原点对称，O是AB的中点，BMAM，OMOA，kmn，A（m，n），M（n，m），AM（nm），OM，AM不一定等于OM，BAM不一定是60，MBA不一定是30故错误，M点的横坐标为1，可以假设M（1，k），OAM为等边三角形，OAOMAM，1+k2m
11、2+，m0，k0，mk，OMAM，（1m）2+1+k2，k24k+10，k2，m1，k2+，故正确，如图，作MKOD交OA于KOFMK，OAOB，KMOD，2，DM2AM，故正确故答案为三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）19（6分）计算：|+（）12cos60【解答】解：原式+22+21120（6分）先化简，再求值：（），其中a3【解答】解：原式，当a3时，原式21（8分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动为了解学生对垃圾分
12、类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图等级频数频率优秀2142%良好m40%合格6n%待合格36%（1）本次调查随机抽取了50名学生；表中m20，n12；（2）补全条形统计图；（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人【解答】解：（1）本次调查随机抽取了2142%50名学生，m5040%20，n10012，故答案为：50，20，12；（2）补全条形统计图如图所示；（3）20001640人，答：该校掌握垃圾分类
13、知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人22（8分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DECF，AF与BE相交于点G（1）求证：BEAF；（2）若AB4，DE1，求AG的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，BAEADF90，ABADCD，DECF，AEDF，在BAE和ADF中，BAEADF（SAS），BEAF；（2）解：由（1）得：BAEADF，EBAFAD，GAE+AEG90，AGE90，AB4，DE1，AE3，BE5，在RtABE中，ABAEBEAG，AG23（9分）近日，长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见，鼓励教师参与志愿辅导，某区
14、率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？【解答】解：（1）设增长率为x，根据题意，得2（1+x）22.42，解得x12.1（舍去），x20.110%答：增长率为10%（2）2.42（1+0.1）2.662（万人）答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次24（9分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形相似四边形对应边的比叫
15、做相似比（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）四条边成比例的两个凸四边形相似；（假命题）三个角分别相等的两个凸四边形相似；（假命题）两个大小不同的正方形相似（真命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，ABCA1B1C1，BCDB1C1D1，求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似（3）如图2，四边形ABCD中，ABCD，AC与BD相交于点O，过点O作EFAB分别交AD，BC于点E，F记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值【解答】（
16、1）解：四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例两个大小不同的正方形相似是真命题故答案为假，假，真（2）证明：如图1中，连接BD，B1D1BCDB1C1D1，且，BCDB1C1D1，CDBC1D1B1，C1B1D1CBD，ABCA1B1C1，ABDA1B1D1，ABDA1B1D1，AA1，ADBA1D1B1，ADCA1D1C1，AA1，ABCA1B1C1，BCDB1C1D1，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似（3）如图2中，四边形ABCD与四边形EFCD相似，EFOE+OF，EFABCD，+，ADDE+AE，2AE
17、DE+AE，AEDE，125（10分）已知抛物线y2x2+（b2）x+（c2020）（b，c为常数）（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（mn），当mxn时，恰好，求m，n的值【解答】解：（1）由题可知，抛物线解析式是：y2（x1）2+12x2+4x1b6，c2019（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（x0，y0），代入解析式可得：两式相加可得：4x02+2（c2020）0c2x02+2020，c2020；（3）由（1）可知抛物线为y2x
18、2+4x12（x1）2+1y10mn，当mxn时，恰好，1，即m11mn抛物线的对称轴是x1，且开口向下，当mxn时，y随x的增大而减小当xm时，y最大值2m2+4m1当xn时，y最小值2n2+4n1又，将整理，得2n34n2+n+10，变形，得2n2（n1）（2n+1）（n1）0（n1）（2n22n1）0n1，2n22n10解得n1（舍去），n2同理，由得到：（m1）（2m22m1）01mn，2m22m10解得m11，m2（舍去），m3（舍去）综上所述，m1，n26（10分）如图，抛物线yax2+6ax（a为常数，a0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（3t0），连接BD并延长与过O，A，B三点的P相交于点C（1）求点A的坐标；（2）过点C作P的切线CE交x轴于点E如图1，求证：CEDE；如图2，连接AC，BE，BO，当a，CAEOBE时，求的值【解答】解：（1）令ax2+6ax0，ax（x+6）0，A（6，0）；（2）证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，P过O、A、B三点，B为顶点，PMOA，PBC+BDM90，又PCPB，PCBPBC，CE为切线，PCB+ECD90，又BDPCDE，ECDCDE，CEDE解：设OEm，CAECBO，CAEOBE，CBOEBO，由角平分线定理：，即：，
