1、放缩法证明不等式放缩法证明不等式的技巧与防的技巧与防“失控失控”1裂项放缩裂项放缩 例例1 1 求证：求证：N N*)(n n,n n2 2n n1 13 31 12 21 11 11 1)1 1n n2 2(.)1(21,11121kkkkkkkk 得得.11121 kkkkk提示提示:一、常用技巧一、常用技巧 例例2 2 求证：求证：*).,1(333221222Nnnnn 提示提示:1()1(21)1(22122 nnnnnnnnnnnnnnn),111(2)1()1(2nnnnnn 2.2.利用数列的单调性放缩利用数列的单调性放缩例例3 3 求证：求证：*).(313)2311()41
2、1)(11(Nnnn 证明：设证明：设,34332)13(23,313)2311()411)(11(1 nnnaannannn则则 例例4 4 求证：求证：*),1(12117211Nnnnkkn ,)1()1(13121,121111 nnnnannnnann则则证明：设证明：设,0221121111212211 nnnnnaann则则.1nnaa 121()441341241141()221121(2111121nknk222242111211211)2212211aaaaaannnn .12117127)1(23)1(232 nnan3.3.利用基本不等式放缩利用基本不等式放缩)2,(,
3、12)1211()511)(311)(11(:.5 nNnnn证证明明例例mbmabaabmambmba 0,0:提提示示0)12(5312642)1211()511)(311)(11(nnnx设设yxnny 则则设设,02642)12(75312122 nxnxyx)2,(,12)1211()511)(311)(11(nNnnn即即二、放缩失控及调整二、放缩失控及调整1 1修正放缩量的修正放缩量的“精确度精确度”，调控，调控“失控失控”例例1 1：求证：求证：).(47!1!41!31!211 Nnn 调整成功。2 2适度限次、限项放缩，调控适度限次、限项放缩，调控“失控失控”例例2 2：求
4、证：求证).(7217)12(17151312222 Nnn3“捆绑”配对整体放缩，调控“失控”3.1 相邻两项“捆绑”配对放缩.)2(32nna 113411 kkkaa).(2111121 Nnaaan例例3.3.已知数列通项公式为已知数列通项公式为（1 1）求证：当）求证：当k k为奇数时，为奇数时，；（2 2）求证：）求证：分析：第（1）问可用数学归纳法证明；在此略，（2）由（1）知可采用相邻两项“捆绑”整体放缩，这样减少放缩的项数，有利于把握放缩量的“精确度”。为了配对,按求和的项数分类.3.2 3.2 连续若干相邻项连续若干相邻项“捆绑捆绑”放缩放缩例例4.4.求证求证:).,2(
5、21211214131211Nnnnnn 4 4 拆分、添项放缩，调控拆分、添项放缩，调控“失控失控”例例5 5：证明：证明).,2()21614121(1)1217151311(11Nnnnnnn ,216141211217151311nn ),21614121(11)1217151311(11nnnn 分析：常规的放缩为分析：常规的放缩为则则放缩失败。放缩失败。5.5.变视角，改途径克服变视角，改途径克服“失控失控”5.15.1利用典型的利用典型的“不等式不等式”进行放缩进行放缩例例7 7：求证：求证)(2221312111 Nnnnnn 5.2 5.2 利用数列的单调性进行放缩利用数列的单调性进行放缩例例8 8：求证：求证：)(12)1211()511)(311)(11(Nnnn
