1、2022-8-121第二章 极限与连续一、数列的极限及性质、存在准则二、函数的极限三、函数的连续、闭区间上连续函数的性质2022-8-122“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一概念的引入播放播放(一)、数列极限的定义和性质2022-8-123R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS2022-8-124战国时代庄周:庄子天下篇中“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”,21,212,
2、213,21n 体现中国古代就有极限的思想方法。2022-8-125二、数列的极限1.数列的概念数列的概念2022-8-126特殊的数列2022-8-127.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn播放播放2.数列极限的定义数列极限的定义2022-8-128.1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.1xnnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:2022-8-129,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n
3、,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有,0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx 1xnnnn11)1(1 2022-8-1210如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.2022-8-1211x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释:2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每一个或任给的每
4、一个或任给的.:至少有一个或存在至少有一个或存在.,0,0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使2022-8-1212 具有任意性和稳定性的双重意义。的任意性刻划了xn与A无限接近，同时 又具有相对稳定性，一经取定，它就确定了，这样用静态的形式|xnA|N表明了比N大的各项：xN+1，xN+2,.都满足|xnA|0，这样的N是否存在。3.一般地，N与任意给定的有关，取得越小，相应地N就越大，如果N存在，这样地N不唯一。2022-8-1214x1x2x2 Nx0nx3x几何解释几何解释:20a0aa000000,(,),nNnNxaa存 在 某，对 任 意存 在时使 点落 在外:N定 义0
5、000lim0,|nnnxaNnNxa 对，有成 立2022-8-1215例例1.1)1(lim1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1,0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就有就有.1)1(lim1 nnnn即即2022-8-1216例例2.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成成立立 ,0 任给任给所以所以,0,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证明数列极限存在时用定义证明数列
6、极限存在时,关键是任意关键是任意给定给定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.,0 2022-8-1217例例3.1,0lim qqnn其中其中证明证明证证,0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有.0lim nnq,0 q若若;00limlim nnnq则则,10 q若若,lnlnqn 2022-8-1218极限为极限为0的数列称为的数列称为无穷小量无穷小量.定义定义.lim是无穷小量是无穷小量axaxnnn 例如：例如：.1是无穷小量是无穷小量时，时，nnqq 注意：不能把无穷小量理解为很小的量。2022-8-1219
7、例例4.lim,0lim,0axaxxnnnnn 求证求证且且设设证证,0 任给任给.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn时恒有时恒有使得当使得当axaxaxnnn 从而有从而有aaxn a1 2022-8-1220例例5 5 证明：证明：应用二项式公式，应用二项式公式，),2,1(0,1 nyyannn令令.1lim,1 nxaa证明证明设设nnnnnnnnyyynnnyya12)1(1)1(2,1,11,0 annayann.11,1 naaNnnaNn有有时时当当取取2022-8-1221例例5).0(1limaann求证求证证法二证法二,0 任给任给,11 nnax
8、,1 na,)1ln(|ln aN取取,时时则当则当Nn ,1 na就有就有.1lim nna,)1ln(|ln an,)1ln(|ln1 an2022-8-1222证明令证明令),2,1(0,1nyynnnn应用二项式定理应用二项式定理222)1(12)1(1)1(nnnnnnnynnyynnnyyn即得到即得到nynnn21于是，于是，,0 取取,22 N当时，成立当时，成立Nn nnn211limnnn例例 6求证：求证：2022-8-1223例例 7 7 证：证：,)72(22721721,022nnnnnn nnnnnnn428)72(227,62时时当当.42172122 nnnn
9、时，有时，有当当Nn .21721lim22 nnnn,4,6max N取取2022-8-1224用定义证明用定义证明 xn=a，就是证明对，就是证明对 0，N存在存在.nlim证明的过程就是寻找证明的过程就是寻找 N 的过程的过程.证明的方法是从分析证明的方法是从分析|xn a|(n),解出解出 N适合不等式适合不等式。由于由于N 不唯一，故可把不唯一，故可把|xn a|适当放大，得到一适当放大，得到一个新的不等式，再找个新的不等式，再找 N。2022-8-1225.:,nnyxNnN 则则定理定理1 1.,lim,limbabyaxnnnn 且且设设1.1.保序性：保序性：二、数列极限的性
10、质：二、数列极限的性质：注：定理注：定理1的逆命题不成立，如的逆命题不成立，如与与nyn2nxn12022-8-1226证证)(,nbyaxnn使得取,0,0,2/)(21NNba,1axNnn时恒有当,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nn ,2/)3(2/)(baxban即,2byNnn时恒有当,2/)(2/)3(bayabn上两式同时成立上两式同时成立,同时成立,2/)(,2/)(nnxbabay,成立有时当从而nnyxNn2022-8-1227lim,nnnxaNnNxb 特别地,若且存在正整数当时,有则ab.lim,lim,.nnnnnnxaybNnNxyab 若且 存 在 正
11、 整 数当时,不 等 式 成 立 则证明:(反证法),.nnxy 反设有aN时,不等式成立 这与条件矛盾特别情况类似可证推论1(保序性)2022-8-1228lim,nnxaabNnN 若且则总存在正整数当时,.nxb不 等 式成 立lim,0,0nnnxa aNnNx特别地,若存在正整数当时,有.推论2(保号性)nnxy注意:在的情况,可能有a=b成立.2022-8-1229lim,nnxaacNnN若且则总存在正整数当时,.nxc不等式成立lim,0,0nnnxa aNnNx特别地,若存在正整数当时,有.推论3(保号性)2022-8-1230由定义由定义,故收敛数列的极限必唯一故收敛数列的
12、极限必唯一证证：,lim,limbxaxnnnn 又又设设使得,使得,21,0NN;,1 axNnn恒有恒有时时当当,2 bxNnn恒有恒有时时当当 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn)()(axbxbann axbxnn .2 .时才能成立时才能成立上式仅当上式仅当ba 定理定理2 收敛数列的极限必唯一收敛数列的极限必唯一.2、唯一性、唯一性2022-8-1231有界数列，否则，称之为有界数列，否则，称之为无界数列无界数列.定义定义,3,2,1RmxMnn若若的上的上是数列是数列则称则称界界一一个个数数列列则称之为则称之为.3 3、有界性、有界性3,2,1,0 nXxXxnn使使有
13、界有界显然，显然，MxRMxnn使使若若对数列对数列,既有上界又有下界，既有上界又有下界，nx,2,1的下界的下界是数列是数列则称则称使使nnxmnmx2022-8-1232证：注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.，由定义，取由定义，取设设1,lim axnn,1,axNnNn恒有恒有时时使得当使得当则则.11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记.,MxNnn有有则对则对定理定理4 收敛数列必有界收敛数列必有界.例如，例如，n)1(有界，但发散有界，但发散2022-8-1233321lim097nnn
14、2.证 明：22lim1nnan 1.证 明：例2.证明下列极限3.lim(0.99999)1nn 2022-8-123421l i m2.nnn 212l i m.323nnn 1 0 0l i m0!nnn例3证明极限2022-8-12351 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽概念的引入2022-8-12361 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无
15、所失矣”刘徽刘徽概念的引入2022-8-1237“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入2022-8-1238“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入2022-8-1239“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆
16、术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入2022-8-1240“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入2022-8-1241“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入2022-8-1242“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1
17、、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入2022-8-1243“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入2022-8-1244.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn2.数列极限的定义2022-8-1245.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn2.数列极限的定义2022-8-1246.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn2.数列极限的定义2022-8-1247.)1(11时的变化趋势时
18、的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn2.数列极限的定义2022-8-1248.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn2.数列极限的定义2022-8-1249.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn2.数列极限的定义2022-8-1250.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn2.数列极限的定义2022-8-1251.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn2.数列极限的定义2022-8-1252.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn2.数列极限的定义2022-8-1253.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn2.数列极限的定义2022-8-1254.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn2.数列极限的定义2022-8-1255.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn2.数列极限的定义2022-8-1256.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn2.数列极限的定义
