1、第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 第第5章章 IIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 5.1 基本概念基本概念 5.2 IIR滤波器设计的特点滤波器设计的特点 5.3 常用模拟低通滤波器的设计方法常用模拟低通滤波器的设计方法 5.4 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器数字滤波器 5.5 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字滤波器数字滤波器 5.6 设计设计IIR滤波器的频率变换法滤波器的频率变换法 5.7 Z平面变换法平面变换法 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 5.1 基本概念基本概念 数字滤波器是对数字
2、信号实现滤波的LTI系统,将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。设计数字滤波器就是根据任务要求，确定滤波器的性能参数，用一个因果稳定的LTI离散时间系统的系统函数去逼近性能要求第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 5.1 基本概念基本概念 1 数字滤波器的分类数字滤波器的分类 经典滤波器与现代滤波器 经典：输入信号中有用频率成分与希望滤除的频率各占有不同的频带 现代：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等 IIR滤波器与FIR滤波器 低通、高通、带通与带阻等滤波器第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 数字滤波器的理想幅频特性 第5章 无限长
3、单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 p s理想滤波器是非因果的，需要设计一个因果可实现的滤波器实现2 滤波器的技术指标滤波器的技术指标 滤波器的性能要求通常以频率响应幅度特性的允许误差来表征 以右图低通为例,频率响应包括 通带、过渡带与阻带 1(2)为通(阻)带的容限,p(s)为通(阻)带截止频率第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 p s 通带允许的最大衰减（波纹）Ap和阻带应达到的最小衰减As0102|()|20lg20lg|()|20lg(1)|()|()|20lg20lg|()|20lg|()|ppssjjpjjjsjH eAH eH eH eAH eH e
4、 式中|H(ej0)|=1(归一化)第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 IIR滤波器一般采用递归型的实现结构MkNkkkknyaknxbny01)()()(3 FIR型滤波器和型滤波器和IIR型滤波器型滤波器NkkkMkkkzazbzH101)(IIR滤波器的系统函数H(z)在Z平面上不仅有零点，而且有极点 FIR滤波器一般采用非递归型，系统函数极点只能在Z平面原点 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 按照实际任务要求，确定滤波器的性能指标 用因果稳定的离散LTI系统的(FIR、IIR)系统函数逼近性能要求 利用有限精度算法实现系统函数。包括选择运算
5、结构，合适的字长以及有效数字的处理方法等 4 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 5.2 IIR滤波器设计的特点滤波器设计的特点 将IIR滤波器的系统函数用极、零点表示：对系统函数的设计就是确定各系数ak,bk或零极点ck，dk和A，使滤波器满足给定的性能要求NkkMkkNkkkMkkkzdzcAzazbzH111110)1()1(1)(MN第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 设计方法 最优化设计法(计算机辅助设计法)从统计的概念出发，对要提取的有用信号估计，在统计指标最优的意义下，使估计值最优逼近有用信号，减弱或消除
6、噪声 最优化设计法的设计步骤MijdjiieHeH12|)(|)(|1）选择一种最优准则，如最小均方误差准则 2）求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数ak,bk。通过迭代运算，找到使为最小时的一组系数ak,bk第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 设计方法 利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器根据性能参数，先设计一个模拟滤波器，再按一定算法(脉冲响应不变法和双线性变换法)转换为满足预定指标的数字滤波器 实质：一个由S平面到Z平面的复变函数的映射变换该映射变换须满足的条件下面先讨论模拟滤波器的设计方法，再介绍由模拟变换为IIR数字的两种算法：脉冲响应不变法和双线性变换法 S平
7、面虚轴 j必须映射到Z平面的单位圆ej上 S平面的左半平面必须映射到Z平面单位圆的内部|z|1第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 5.3 模拟低通滤波器的设计方法模拟低通滤波器的设计方法 常用的模拟原型滤波器有巴特沃思（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆（Ellipse）滤波器、贝塞尔（Bessel）滤波器等 模拟原型滤波器的特点Butterworth具有单调下降的幅频特性Chebyshev的幅频特性在通(阻)带有波动,可以提高选择性Bessel通带内有较好的线性相位特性Ellipse的选择性相对前三种是最好的,但在通带和阻带内均为
8、等波纹幅频特性第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 5.3.1 幅度平方函数确定系统函数幅度平方函数确定系统函数(模拟滤波器的设计方法模拟滤波器的设计方法)滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标，典型滤波器的幅度平方函数都有自己的表达式，可以直接引用模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数|Ha(j)|2表示)()(|)(|*2jHjHjHaaa 冲激响应ha(t)为实函数)()(*jHjHaa模拟滤波器的设计通常总是先设计出低通，再通过频率变换转换成要求类型(高通,带通等)，而低通是通过幅度平方函数来设计的第5章 无限长单位脉冲
9、响应（IIR）数字滤波器的设计方法 式中Ha(s)是系统函数;Ha(j)是频率响应特性；|Ha(j)|是幅度特性 jsaaaaasHsHjHjHjH|)()()()(|)(|2 根据|Ha(j)|2 求 Ha(s)Ha(s)Ha(-s)的极(零)点分布是成象限对称的 Ha(s)必须稳定，因此极点必定落在s左半平面 零点的分布只和滤波器的相位特征有关，如无特殊要求，可将对称零点的任一半（应为共轭对）取为Ha(s)的零点 根据Ha(s)极(零)点可确定增益常数，最终得到系统函数Ha(s)第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义 NcajH22)/
10、(11|)(|式中，N为正整数，代表滤波器的阶数。c为3dB截止频率。当=c时，衰减为 3 dB5.3.2 巴特沃思低通逼近巴特沃思低通逼近 （最平幅度逼近）（最平幅度逼近）巴特沃思低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特性，因而又称为最平幅度特性滤波器|Ha(j)|2单调减小，N越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 巴特沃思滤波器的极(零)点分布(公式法求解低通Ha(s)零点全在s=处，有限S平面内只有极点，属“全极点型”滤波器 Ha(s)Ha(-s)的2N个极点等间隔分布在半径为c的圆（巴特沃思圆）上，极点间的角度间隔为/N rad221|
11、()|1(/)aNcHj 令=s/j 211NcsjNkjccNkejs2122121)()1(k=1,2,2N Ha(s)Ha(-s)的极点为 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 例N3及N4时，Ha(s)Ha(-s)的极点分布分别如下图示ooc/3jjc/4(a)N3(b)N4N为奇(偶)数时，实轴上有(无)极点。且极点不会落在虚轴上第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 取S左半平面的N个极点为Ha(s)的极点，即得到Ha(s)的表示式 NkkNcasssH1)()(Nkjckes21221k=1,2,N 低通巴特沃思滤波器的设计步骤阶数N相同的模
12、拟低通经归一化后，其Ha(s)表示式都是相同的，可以通过查表获得，因此设计巴特沃思滤波器的实质就是求滤波器阶次N和截止频率c(归一化)第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 阶数N的计算（由指标p,Ap，s和As得到）巴特沃思低通滤波器技术指标关系式阶数N的大小主要影响幅度特性下降速度NcajH22)/(11|)(|已知代入上式整理得到第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 由上式可解出滤波器阶数N和截止频率c/10/10lg(101)/(101)2lg(/)psAApsNNApcp210/110NAscs210/110或第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）
13、数字滤波器的设计方法 根据阶数N，查表得到归一化系统函数HaN(s)根据c将HaN(s)去归一化，得到实际要求的系统函数Ha(s)()NaacHsHs第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 低通巴特沃思滤波器设计步骤总结 已知p,Ap，s和As，计算滤波器阶数N和截止频率c/10/10lg(101)/(101)2 lg(/)psAApsNNApcp210/110NAscs210/110或 根据N查表得到归一化系统函数HaN(s)根据c将HaN(s)去归一化，得到实际要求的系统函数Ha(s)()NaacHsHs第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 例例 导出
14、三阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数设c2 rad/s62)2/(11|)(|jH解解1 由已知得到幅度平方函数为Ha(s)的表示式为（P157）NkkNcasssH1)()(Nkjckes21221k=1,2,N 当N=3可求得Ha(s)的极点sk（k=1,2,3），从而得到系统函数3321238()()()()488caHssssssssss第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 例例 导出三阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数设c2 rad/s解解2 由P158表5可知归一化的三阶巴特沃思模拟低通为 已知 c2 rad/s，则321()221acccHssss321()2
15、21aHssss3322322ccccsss 328488sss第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 说明：说明：巴特沃斯归一化低通滤波器参数表有多种形式第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 例例设计一个满足下面要求的模拟低通巴特沃思滤波器：(1)通带截止频率：p=0.2；通带最大衰减：Ap=7 dB。(2)阻带截止频率：s=0.3；阻带最小衰减：As=16dB。已知p,Ap，s和As，计算滤波器阶数N和截止频率c 根据N查表得到归一化系统
16、函数HaN(s)根据c，将HaN(s)去归一化第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 取 N=3/10/10lg(101)/(101)2.792lg(/)psAApsN/1020.4985101ppcAN/1020.5122101sscAN 或 已知p,Ap，s和As，计算滤波器阶数N和截止频率c 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 根据c，将HaN(s)去归一化，得到实际要求的系统函数Ha(s)根据N查表得到归一化系统函数HaN(s)321()221NaHssss33223()22NcaacsccHsHssss 0.4985c 0.5122c 或代入上
17、式将第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 该映射变换须满足以下要求：S平面虚轴 j必须映射到Z平面的单位圆ej上 S平面的左半平面必须映射到Z平面单位圆的内部|z|1 利用模拟滤波器来设计数字滤波器 常用的变换方法有：脉冲响应不变法和双线性变换法使稳定的模拟系统映射为具有相同幅频特性的稳定的数字系统第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 5.4 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器数字滤波器使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)与相应的模拟滤波器的冲激响应ha(t)，在采样点处的
18、量值相等，即h(n)=ha(nT)5.4.1 变换原理变换原理第1章中采样序列的Z变换与模拟信号拉氏变换的关系（P48）kTjsXTjksXTzXkaskaezsT21)(1)(脉冲响应不变法将模拟滤波器的S平面变换成数字滤波器的Z平面第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 脉冲响应不变法的映射关系 j3/T/T3/T/Too11jImzRezZ平面S平面第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 数字滤波器与模拟滤波器的频率响应间的关系为(P49)TkjHTeHkaj21)(数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓 只有当模拟滤波器的频率响应是限带的
19、，且满足采样定理时，数字滤波器的频率响应才不产生混叠失真 提高采样频率为fs，可减小频率响应的混叠效应 5.4.2 混叠失真混叠失真()02saHjT 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 脉冲响应不变法中的频响混叠现象 32)j(aHoo23 T)(ejHT2TTT2第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 脉冲响应不变法设计中，由一个较为复杂的模拟系统函数求出数字滤波器系统函数是一个很麻烦的变换过程 因为乘积的z变换并不等于各部分变换的乘积，所以不宜采用级联分解 但各项和的z变换是线性关系，因而用部分分式表达系统函数，特别适合于对复杂模拟系统函数的变换5
20、.4.3 模拟滤波器的数字化方法模拟滤波器的数字化方法第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 设模拟滤波器的系统函数Ha(s)只有单阶极点，且分母的阶次大于分子的阶次，将Ha(s)用部分分式表示 NkkkassAsH1)(数字滤波器的单位脉冲响应等于对ha(t)的采样，因此 将Ha(s)拉氏反变换1()()kNs takkh tA e u tu(t)是单位阶跃函数NknTskNknTskanueAnueAnThnhkk11)()()()()(模拟滤波器与数字滤波器系统函数的关系第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 11()()1kNnks TnkAh zh
21、 n zez对h(n)求Z变换，得数字滤波器的系统函数 S平面的单极点s=sk对应于Z平面上z=eskT处的单极点 Ha(s)与H(z)的部分分式的系数相同，都是Ak 模拟滤波器因果稳定，则数字滤波器也因果稳定 脉冲响应不变法只能保证极点有这种代数对应关系NkkkassAsH1)(与模拟滤波器的系统函数Ha(s)相比第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 Ha(s)与H(z)间的变换关系为 11()1kNks TkAh zezNkkkassAsH1)(脉冲响应不变法的设计步骤，可直接将 Ha(s)写成单极点的部分分式和的形式，然后将各部分分式用上式关系替代，即得到H(z)11
22、111111kkkks Ts Tks Ts Tkzssezzezssezze第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 由于数字滤波器频率响应幅度与采样间隔T成反比(p49)TjHTeHaj1)(|为使数字滤波器增益不随采样频率变化，通常令 h(n)=Tha(nT)此时:NkTskzeTAzHk111)(TjHkTjTjHeHakaj2)(第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 NkTskzeTAzHk111)(将上式代入到第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 例例 设模拟滤波器的系统
23、函数为 3111342)(2sssssHa试利用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成IIR数字滤波器的系统函数H(z)解解 数字滤波器的系统函数为 TTTTTTTezeezeeTzezTezTzH423131311)(1)(11)(设T=1，则有 21101831.04177.013181.0)(zzzzH第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 模拟滤波器的频响Ha(j)以及数字滤波器的频响H(ej)分别为:2201831.04177.013181.0)(432)(jjjjaeeeeHjjH）（由于Ha(j)不是限带的，所以H(ej)产生了频谱混叠失真 第5章 无限长单位脉冲响应
24、（IIR）数字滤波器的设计方法 T取不同值时的幅频特性图第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，因此时域特性逼近好 频率坐标变换是线性的，即=T。因此该数字滤波器可以很好重现原模拟滤波器的频率特性 会产生频率混叠现象（从S平面到平面为多值映射关系），适合低通、带通滤波器的设计，而不适合高通、带阻的设计 5.4.4 优缺点优缺点第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 5.5 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字滤波器数字滤波器 5.5.1 变换原理变换原理为克服频率混叠现象，可采用非线性频率压
25、缩方法，将整个频率轴的频率范围压缩到-/T/T之间，再用z=esT转换到Z平面上使S平面与Z平面建立起一一对应的单值关系第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令j=s，j1=s1，得112 11s Ts TesTe 再将S1平面通过标准变换z=es1T映射到Z平面 实现步骤得到两平面的单值映射关系 11112zzTs22TszTs 利用正切变换实现频率压缩，将S平面的虚轴压缩至S1平面的-/T到/T段2tan21TT第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 双线性变换符合映射变换应满足的两点要求：5.5.2 逼近的情况
26、逼近的情况 S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆 S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内稳定模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也是稳定的 说明：所谓“双线性”变换，仅仅是指变换公式中s与z的关系无论是分子部分，还是分母部分都是“线性”的,jwzesj 0,1;0,1zz第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 由于S平面与Z平面的单值对应关系，避免了频率混叠现象5.5.3 优缺点优缺点 S平面与Z平面的严重非线性关系影响DF频响对模拟频响的模仿 该方法适于分段常数型的滤波器设计，一般设计滤波器通带与阻带均要求是分段常数2tan2T(非线性的正切关系)第5章 无限长单位脉冲响应
27、（IIR）数字滤波器的设计方法 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射ooo)j(aH)(ejHooo)(eargjH)j(argaH 分段常数的滤波器，在双线性变换后各个分段边缘的临界频率点将会产生畸变，这种畸变可以预处理加以校正第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 数字滤波器的系统函数可通过s到z之间的简单代数关系得到11112112)()(11zzTHsHzHazzTsa 频率响应也可用直接代换的方法得到 2tan2)()(2tan2TjHjHeHTaj5.5.4 模拟滤波器的数字化方法模拟滤波器的数字化方法第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 阶
28、数较高时，H(z)的形式可通过查表得到设模拟系统函数的表达式为 20112012()NNaNNAAsAsA sHsBB sB sB s11211120121212()()|1azsTzNNNNH zHsaa za za zb zb zb z数字滤波器的系统函数双线性变换法中a(s)的系数与H(z)的系数间关系 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 双线性变换时频率的预畸变)j(aH)(ejHooo43211234 总结：双线性变换法设计IIR数字滤波器的步骤假设设计带通滤波器(右图)频率预畸变 已知带通的数字域频率与采样频率时2tan2T利用下式计算相应的模拟域频率第5章
29、无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 双线性变换时频率的预畸变)j(aH)(ejHooo43211234 总结：双线性变换法设计IIR数字滤波器的步骤 频率预畸变 已知带通的模拟域频率与采样频率时先将模拟频率转为数字域频率先将模拟频率转为数字域频率=2fT 1）2tan2T2）再按先前步骤处理第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 总结：双线性变换法设计IIR数字滤波器的步骤 按模拟频率指标设计模拟滤波器的系统函数Ha(s)将 代入Ha(s)，得H(z)11112zzTs11112112|)()(11zzTHsHzHazzTsa与频率响应 22|)()(2tan2
30、TjHjHeHaTaj第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 说明 双线性变换法后，模拟滤波器与数字滤波器仍为同种类型（低通、高通、带通等）的滤波器当强调模仿滤波器的瞬态响应时，通常采用脉冲响应不变法;其余则采用双线性变换法 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 例例 设计一阶数字低通滤波器，3 dB截止频率为c=0.25，将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器)/(11)(cassH 频率预畸变 模拟滤波器的系统函数设计()aHs TTTcc828.0225.0tan22tan2 已知 数字低通c=0.25，则巴特沃思模拟低通c为 111(/)1(/0.8
31、28)cssT第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 转换为数字滤波器系统函数11111124159.0112920.0)1/()1)(828.0/2(11)()(11zzzzsHzHzzTsa由上题可知，T不参与设计，即双线性变换法中用 设计与用 设计得到的结果一致。,1111zzs2tan2tan2,11211TzzTs第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 例例 用双线性变换法设计三阶巴特沃思数字低通，采样频率为fs=4 kHz，其3dB截止频率为fc=1 kHz。三阶模拟巴特沃思滤波器为 32)/()/(2)/(211)(cccassssH已知截止频
32、率 fc=1 kHz解：1.频率预畸变TTTcc225.0tan22tan22.确定预畸变的模拟滤波器的截止频率 先转化成数字频率c=2fcT=0.5第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 将c代入三阶模拟巴特沃思滤波器Ha(s)，得到 32)2/()2/(2)2/(211)(sTsTsTsHa11123221111 33()()23azsTzzzzH zHsz 模拟滤波器的系统函数设计 转换为数字滤波器系统函数滤波器Ha(s)不是截止频率为fc=1 kHz的实际滤波器，只是一个“样本”函数第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 用双线性变换法设计得到的三阶
33、巴特沃思数字低通滤波器的频响 1.00.500.5)(ejH01.02.0f/kHz第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 取 N=2/10/10lg(101)/(101)1.942lg(/)psAApsN第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 5.6 设计设计IIR滤波器的频率变换法滤波器的频率变换法 设计各种IIR数字滤被器，通常是先设计一个归一化截止频率的模拟低通原型滤波器，然后用如下两种方法转换为数字滤波器：模拟频带变换法 数字频带变换
34、法将归一化的模拟低通原型滤波器经模拟频带变换成所需类型的模拟滤波器，然后用冲激响应不变法或双线性变换法转换为所需类型的数字滤波器将归一化的模拟低通原型滤波器通过冲激响应不变法或双线性变换法转换为数字低通滤波器，然后用数字频带变换法，转换为所需类型数字滤波器第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 5.6 设计设计IIR滤波器的频率变换法滤波器的频率变换法 模拟频带变换法 两种等效的设计方法第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 模拟域频率变换关系可通过查表得到截止频率为c的模拟低通滤波器到其它频率选择性滤波器的转换公式 一般直接用归一化原型转换，取c=1,可使
35、设计过程简化第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 数字化可采用脉冲响应不变法与双线性变换法 把第一种方法中的两步合成一步来实现第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 把数字滤波器的性能要求转换为对应的模拟滤波器的性能要求 根据性能要求设计模拟滤波器 通过脉冲响应不变法或双线性变换法，转化为数字滤波器5.6.1 模拟低通滤波器变换成数字低通滤波器模拟低通滤波器变换成数字低通滤波器 设计步骤第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 由于采用脉冲响应不变法设计，因此模拟低通的 fc=1 kHz 322211)(ssssHNa例例 用脉冲响应不变法
36、设计三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为fs=4 kHz，其3 dB截止频率为fc=1 kHz 已知所求数字巴特沃思低通滤波器 fs=4 kHz，fc=1 kHz 设计模拟低通滤波器查表得归一化三阶模拟巴特沃思原型低通滤波器的传递函数 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 去归一化，s=s/c=s/(2fc)代入上式32)/()/(2)/(211)(cccasssssH 通过脉冲响应不变法转化为数字滤波器将上式因式分解2/)31()3/(2/)31()3/()(6/6/jsejsessHcjccjccca将部分分式系数代入下式111()kNks TkeHAzzT/6/61
37、(13)/2(13)/211(/3)(/3)111cccjjcccTTjTjTTeTeezezez 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 H(z)只与c有关，即只与截止频率fc与采样频率fs的相对值有关，而与它们的绝对大小无关整理后得到22/12/1123cos21623cos26cos231)(zeezezzezHcccccccc（c=cT=2fcT=0.5）例如fs=4kHz，fc=1 kHz与fs=40 kHz，fc=10kHz的数字滤波器将具有同一个系统函数。第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 将c=cT=2fcT=0.5代入得到 211120
38、79.01905.01551.0571.12079.01571.1)(zzzzzH 该系统函数可采用并联型的运算结构来实现 下图为三阶巴特沃思数字低通滤波器的频响幅度特性脉冲响应不变法存在微小的混淆现象第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 由上表知，低通模拟原型到模拟高通的变换关系为 5.6.2 模拟低通滤波器变换成数字高通滤波器模拟低通滤波器变换成数字高通滤波器截止频率为c的模拟低通滤波器到其它频率选择性滤波器的转换公式 ssccc为模拟低通截止频率c为实际高通截止频率第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 利用双线性变换方法设计时，模拟高通与数字高通变
39、换关系为 11112zzTs将两式结合，得到直接从模拟低通原型变换成数字高通表达式112 11ccszTz ssccc为模拟低通截止频率c为实际高通截止频率111111211ccTzzCzz 式中 2/ccTC第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 由此得到数字高通系统函数为 数字高通和模拟低通的极点数目（或阶次）相同根据双线性变换，模拟高通与数字高通频率间的关系为 2tan2T 2tan2ccT于是 有又因,2ccTC1111|)()(zzCsasHzHHa(s)为模拟低通传递函数 2/ccTCtan2ccC 系数C的求解第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计
40、方法 模拟低通与数字高通间的关系2cotC或 2cot|C其变换关系曲线如右图示令s=j，z=ej，代入 ，得到 1111zsCzo=0 映射到=,即z=-1上;=映射到=0,即z=1上第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 通过上述频率变换，即可将模拟低通直接变换为数字高通2cotC或 2cot|C说明：数字高通指从到通过第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 例例 设计一个巴特沃思高通数字滤波器，其通带截止频率（-3dB点处）为fc=3kHz，阻带上限截止频率fst=2kHz，通带衰减不大于3 dB，阻带衰减不小于 14dB，采样频率fs=10kHz4.
41、010101032226.010101032223333sstststscccffTfffTf 1）求对应的各数字域频率:第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 2）求常数C92381376.126.0tan12tanccC 3）求低通原型st2427894.19381376.192381376.12cotststC采用归一化（c=1）原型低通作为变换的低通原型，则低通到高通的变换中所需的C为第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 4）求阶次N141lg10)(lg202NcststajH4931490.28955554.09356382.1)2427894
42、.1lg(2)110lg(4.1N取N=3 按阻带衰减求原型归一化模拟低通滤波器的阶次N第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 5）求归一化巴特沃思低通原型的Ha(s)。查表可得Ha(s)为 1221)(23ssssHa6）求数字高通滤波器的系统函数H(z)，有 1111()()zas CzH zHs第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 由表5-3知，低通模拟原型到模拟带通的变换关系为)(112hhcsss5.6.3 模拟低通滤波器变换成数字带通滤波器模拟低通滤波器变换成数字带通滤波器截止频率为c的模拟低通滤波器到其它频率选择性滤波器的转换公式 由双线性变
43、换，模拟带通与数字带通11112zzTs)(1121121111211hhczzTzzTs第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 整理后得到 22111zzEzDs1122hhcTTDhhTTE1212222式中 02112121212cos2sinsin)sin(22/)(cos2/)(cos22cotEDc将参数D、E进一步整理后得到 式中:0、2和1分为数字带通中心频率与上、下边带截止频率第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 定义:011hhcB 0为带通滤波器通带的中心频率，B为带通滤波器的通带宽度2tan2T011hhB 0、2和1间的关系22t
44、an2tan2tan2tan2tan122102cTc的求解公式第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 当D和E通过中心频率和带宽或者是中心频率和边带频率确定后，数字带通系统函数则也确定下来22111|)()(zzEzDsasHzHHa(s)为模拟低通原型传递函数 数字带通的极点数（或阶数）是模拟低通极点数的两倍 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 模拟低通与数字带通频率间的关系sincoscos0D其映射关系为：低通的通带(=0 附近)带通的通带(=0附近)低通的阻带(=)带通的阻带(=0,)令s=j，z=ej代入变换式中 得到 22111zzEzDs
45、频率间关系曲线o0=0=0=-=0 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 模拟低通变换到数字带通)j(aH)(ejH12ooo1020第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 例例 采样频率fs=100kHz,T=10s，设计三阶巴特沃思数字带通，其上、下边带的 3dB截止频率分为f2=37.5 kHz，f1=12.5 kHz1=2f1T=212.51031010-6=0.252=2f2T=237.51031010-6=0.75 确定模拟低通到数字带通的变换公式 确定待设计的数字指标22111zzEzDs212121cot2cos()/22cos()/2cD
46、E 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 2122tantan222cTT 214cot2cDT 2121cos()/220cos()/2E再代入变换公式得 2222111411zzTzzEzDs第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 确定模拟低通原型1221)(23ssssHNa 3 dB截止频率为c=4/T 三阶巴特沃思滤波器的系统函数为 1)/(2)/(2)/(1)(23ccccaassssHsHN22246441111 33()()|23azsTzzzzH zHsz由N=3，查表得到归一化原型系统函数为 转换为数字带通第5章 无限长单位脉冲响应（I
47、IR）数字滤波器的设计方法 说明：如采用归一化低通原型(c=1)设计数字带通，结果是一样的。因为 s/c中的c和D中的c互相抵消 设计时，只需用c=1 的归一化原型HaN(s)设计 其他类型的滤波器，也可直接利用归一化原型设计 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 模拟低通原型到模拟带阻的变换关系为 hhcsss121)(5.6.4 模拟低通滤波器变换成数字带阻滤波器模拟低通滤波器变换成数字带阻滤波器由双线性变换，模拟带通与数字带通11112zzTshhczzTzzTs1211111112)(112第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 整理后得到2112
48、111zzEzDs式中：211112211(2/)()(2/)2(2/)(2/)hhchhTTDETT 将参数D1、E1进一步整理后得到 式中:0、2和1分为数字带阻中心频率与上、下边带截止频率0211212121121cos2sinsin)sin(22/)cos(2/)cos(22tanEDc第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 定义:201011hhhccB 式中，0 为带阻滤波器阻带的几何对称中心角频率;B为带阻滤波器的阻带宽度，与低通原型中的截止频率c成反比数字带阻的中心频率为0，上下边带的截止频率2和1关系ccTT)2/tan()2/tan(2)2/(tan22t
49、an2tan22tan2tan2102122102第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 当D1和E1通过中心频率和带宽或者是中心频率和边带频率确定后，数字带通系统函数则也确定下来数字带阻的极点数（或阶数）是模拟低通极点数的两倍 Ha(s)为模拟低通原型传递函数 2112111|)()(zzEzDsasHzH第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 模拟低通与数字带阻频率间的关系其映射关系为：01coscossinD频率间关系曲线o05-24=0=0,=0 低通通带（=0 附近）带阻的阻带范围之外（=0,）低通阻带（=）带阻的阻带上（=0 附近）第5章 无限长
50、单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 例例 设计带阻数字滤波器，fs=1kHz，要求滤除100Hz的干扰，其3 dB的边界频率为95 Hz和105 Hz，原型归一化低通滤波器为 ssHNa11)(21.0100010522219.0100095222222111ssffTfffTf 确定待设计的数字指标第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 确定模拟低通到数字带通的变换公式2112111zzEzDs21121121tan2cos()/22cos()/2cDE 1221tantan22223.032tantan22cTT 211tan0.031432ccD 21121co
