1、数值分析数值分析数值分析数值分析11-k1R-K,nnnnnnyyyyyy 单单步步法法在在计计算算时时，只只用用到到前前一一步步的的信信息息。为为提提高高精精度度，需需重重新新计计算算多多个个点点处处的的函函数数值值，如如方方法法，计计算算量量较较大大。如如何何通通过过较较多多地地利利用用前前面面的的已已知知信信息息，如如，来来构构造造高高精精度度的的算算法法计计算算，这这就就是是多多步步法法的的基基本本思思想想。第三节第三节 线性多步法线性多步法数值分析数值分析数值分析数值分析001002200 ,(,)00Tay(,)0lorkkjnjjnjnjjjkkn kjnjjnjjkkjnjjj
2、kyhf xyyyhf xy 多多步步法法中中最最常常用用的的是是线线性性多多步步法法，它它的的一一般般形形式式为为其其中中均均为为常常数数.0.0式式中中，上上式式也也可可表表示示为为若若称称为为多多步步法法。时时,为为显显式式多多步步法法时时，为为隐隐若若；。构构造造线线性性多多步步公公式式常常式式多多步步用用法法展展开开和和数数值值积积分分方方法法。数值分析数值分析数值分析数值分析一、线性多步公式的导出一、线性多步公式的导出nnTaylorxTaylor)xTaylor,ii n n+1 1利利用用展展开开导导出出的的基基本本方方法法是是：将将线线性性多多步步公公式式在在 处处进进行行展
3、展开开，然然后后与与y y(x x在在 处处的的展展开开式式相相比比较较，要要求求它它们们前前面面的的项项重重合合，由由此此确确定定参参数数。101111011()()nnnnnny xyyyhfff 设设初初值值问问题题的的解解充充分分光光滑滑，待待定定的的两两步步公公式式为为数值分析数值分析数值分析数值分析()()2()1()(1,2,),()()()()2()()!kknnnnnnnnpppnnnyyxky xxTayloryy xyyxxxxyxxOxxp 记记则则在在处处的的展展开开为为(),()(,)(),iiiiinyy xy xf xyin 假设前 步计算结果都是准确的，即假设
4、前 步计算结果都是准确的，即则有则有数值分析数值分析数值分析数值分析21(4)(5)345(6)1111(4)(5)234(5)()2!()3!4!5!(,)()()2!3!4!(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyyy xhyy hhyyyhhhO hffxyyxyyyyy hhhhO hffxy 1111(4)(5)234(5)(,)()()2!3!4!nnnnnnnnnnyffxyyxyyyyy hhhhO h 数值分析数值分析数值分析数值分析101110123111111(4)4(5)51111116()()()()2622()()24661202424()nnnnnnnyy
5、y hy hy hy hy hO h 将将以以上上各各公公式式代代入入并并整整理理，得得101111011()nnnnnnyyyhfff数值分析数值分析数值分析数值分析1(5)2561()()()2!5!p+1 nnnnnnnpy xxTayloryyy xyy hhhO h 为使上式有 阶精度，只须使其与在处的为使上式有 阶精度，只须使其与在处的展开式展开式的前项重合。的前项重合。101110123111111(4)4(5)51111116()()()()2622()()24661202424()nnnnnnnyyy hy hy hyhyhO h 数值分析数值分析数值分析数值分析010101
6、111111111111122111162261111246624aaaaaa 5,5,1iiP 个个参参数数 只只须须 个个条条件件。由由推推导导知知，如如果果选选取取参参数数，使使其其满满足足前前个个方方程程（p p=1 1,2 2,3 3,4 4)，则则近近似似公公式式为为p p阶阶公公式式。数值分析数值分析数值分析数值分析11011111,0,02 ()2nnnnhyyff 0 0如如满满足足方方程程组组前前三三个个方方程程，故故公公式式此此为为二二阶阶公公式式。01110140,1,33 又又如如：解解上上面面方方程程组组得得相相应应的的线线性性二二步步四四阶阶公公式式（S Si i
7、m mp ps so on n公公式式)为为1111(4)3nnnnnhyyfff数值分析数值分析数值分析数值分析1123(5559379)24Adamsnnnnnnhyyffff此此式式称称为为显显式式公公式式，是是四四阶阶公公式式.5(5)61251()720nnRh yO h 局局部部截截断断误误差差为为 二、常用的线性多步公式二、常用的线性多步公式(Adams)（1 1）阿阿达达姆姆斯斯公公式式11125(5)61(9195)24Adams19()720nnnnnnnnhyyffffRh yO h 为为四四阶阶隐隐式式公公式式，其其局局部部截截断断误误差差为为数值分析数值分析数值分析数
8、值分析(2)基于数值积分的基于数值积分的Adams公式公式1111+11 ()()(,()(),()()(),1nnnnxnnxxxnnnknnnkky xy xf x y xdxF x dxxxxxxxF xxF x 基基本本思思想想是是首首先先将将初初值值问问题题化化成成等等价价的的积积分分形形式式用用过过节节点点或或的的的的k k次次插插值值多多项项式式代代替替求求积积分分即即得得k k阶阶的的线线性性多多步步公公式式。数值分析数值分析数值分析数值分析123330123303,()()()()()()()()()()()(0,1,2,3)nnnnin iinnnnin in injjj
9、ixxxxF xL xl x F xxxxxxxxxl xxxxxi 例例如如k k时时，过过节节点点的的三三次次插插值值多多项项式式为为其其中中数值分析数值分析数值分析数值分析1111131301233231313233()()()()()()()()()6()()()()2()()()()2()()nnnnnnnnnnxxnnin ixxixnnnnxxnnnnxxnnnnxnny xy xL x dxl x dx F xxxxxxxF xdxhxxxxxxF xdxhxxxxxxF xdxhxxxF x 1123123)()655()59()37()9()24nnxnnxnnnnxxxd
10、xhhF xF xF xF x 数值分析数值分析数值分析数值分析1111233,(),(),(,)()(,()(,1,2,3),(5559379)24,nnnnkkkkkknnnnnnnnyyy xy xfxyF xf xy xkn nnnhyyffffAdamsxxAdams 对对上上式式用用代代替替用用代代替替则则得得这这就就是是四四阶阶显显式式公公式式。由由于于积积分分区区间间在在插插值值区区间间外外面面，又又称称为为四四阶阶外外插插公公式式。11(4)310(5)30 ()()4!()()4!nnnnxxnn jxjxxn jxjFRxxdxyxxdx 由由插插值值余余项项公公式式可可
11、得得其其局局部部截截断断误误差差为为数值分析数值分析数值分析数值分析131(5)35(5)10,),()251()()4!720nnnnxnnjxjxxyRxxdxh y 由积分中值定理，存在（使得由积分中值定理，存在（使得数值分析数值分析数值分析数值分析1123111125(5)121()()()()()(1,0,1,2)()()()(9195)2419()720nnnnin in injjj innnnnnnnnnxxxxxxxxlxixxxxF xAdamshyyffffRh yxx 其其中中代代替替求求积积分分，即即得得四四阶阶隐隐式式公公式式其其局局部部截截断断误误差差为为 由由于于
12、积积分分区区间间在在插插21,nnxxAdamsAdams 值值区区间间内内，故故隐隐式式公公式式又又称称为为内内插插公公式式112231,()()()()nnnnin iixxxxF xL xl x F x 同同样样，如如果果过过节节点点的的三三次次插插值值多多项项式式为为数值分析数值分析数值分析数值分析13125(5)614 (22)314 ()()45nnnnnnnyyhfffMilineRh yO hMilinMilinee 称称为为公公式式，（3 3）其其局局部部截截断断误误差差为为公公式式是是四四阶阶四四步步显显米米尔尔尼尼公公式式式式公公式式。数值分析数值分析数值分析数值分析12
13、115(5)6113(9)(min2)881 ()40)nnnnnnnnyyyh fffRh yO hHamg 其其局局部部截截断断误误差差为为H Ha am mm mi in ng g公公式式是是四四阶阶三三（步步4 4）哈哈明明公公式式隐隐式式公公式式。数值分析数值分析数值分析数值分析11 ,),)nny n n+1 1n n+1 1n n+1 1一一般般地地，同同阶阶的的隐隐式式法法比比显显式式法法精精确确，而而且且数数值值稳稳定定性性也也好好。但但在在隐隐式式公公式式中中，通通常常很很难难解解出出y y需需要要用用迭迭代代法法求求解解，这这样样又又增增加加了了计计算算量量。在在实实际际
14、计计算算中中，很很少少单单独独用用显显式式公公式式或或隐隐式式公公式式，而而是是将将它它们们联联合合使使用用：先先用用显显式式公公式式求求出出y y(x x的的预预估估值值，记记作作y y再再用用隐隐式式公公式式对对预预估估值值进进行行校校隐隐式式法法与与显显式式法法正正，求求出出y y(x x的的近近似似值值的的比比较较。数值分析数值分析数值分析数值分析三、预估三、预估-校正算法校正算法 用显式公式计算预估值，然后用隐式公式进行校正，用显式公式计算预估值，然后用隐式公式进行校正，得到近似值得到近似值yn+1这样一组计算公式称为这样一组计算公式称为预估预估-校正算法校正算法 一般采用同阶的隐式
15、公式与显式公式。常用的预估一般采用同阶的隐式公式与显式公式。常用的预估-校正算法有两种：校正算法有两种：123111121 (5559379)249(,)195 24nnnnnnnnnnnnnhyyffffhyyf xyffAfdams 预预预预估估正正校校正正校校估估系系统统数值分析数值分析数值分析数值分析3121121114(22)313(9)l(,)2)88 iminnnnnnnnnnnnnyyhfffyyyh f xyffMineHamg 预预估估校校正正系系统统 (1)R-K 3 说说明明：以以上上两两种种预预校校正正均均为为四四阶阶公公式式，其其起起步步值值通通常常用用四四阶阶公公
16、式式计计算算。(2 2)有有时时为为提提高高精精度度，校校正正公公式式可可迭迭代代进进行行多多次次，但但迭迭代代次次数数一一般般不不估估统统超超过过系系次次。数值分析数值分析数值分析数值分析用局部截断误差进一步修正预测校正公式用局部截断误差进一步修正预测校正公式5(5)6115(5)6115(5)6115(5)11251 ()()72019()()720270()720720()270nnnnnnnnnnnnAdamsy xyh yO hy xyh yO hyyh yO hh yyy 由由公公式式的的局局部部截截断断误误差差公公式式两两式式相相减减数值分析数值分析数值分析数值分析用局部截断误差
17、进一步修正预测校正公式用局部截断误差进一步修正预测校正公式5(5)6115(5)6115(5)1111111111251 ()()72019()()720720()270251()()27019()()270nnnnnnnnnnnnnnnnny xyh yO hy xyh yO hh yyyy xyyyy xyyy 由由 得得数值分析数值分析数值分析数值分析112311111121111 (5559379)24251()2709(,)195 2419()270 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnhPyffffmPCPhCyf xmfffyAdCmPa sC 多多环环节节的的预预估估由由
18、上上面面就就得得到到预预估估改改进进校校校校正正公公式式正正改改进进数值分析数值分析数值分析数值分析131211121111111 4(22)3112()12113(9)(,)2 ln 88 9()1in21mnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnPyhfffmPcMieHampCyyh f xmffyCPgC 完完全全类类似似，可可以以导导出出预预估估改改进进校校多多环环节节的的预预估估校校正正公公式式正正改改进进数值分析数值分析数值分析数值分析001111112112311411311,(,),(2),1(3)(,)(,)22(,)(,)22nnnnnnnnnnnna b f x y N
19、 yb ahxa nNff xyKhKhfKhf xyKhKhf xyKhf xh yKyy （）输输入入置置计计算算算算法法12341(22)6(4)(,)nnnKKKKxanhxy 输输出出数值分析数值分析数值分析数值分析0033330321003132(5)3,1,3 1,0,0,6(6)(,)4112(22)()312113(9)(,)2889(),)121(7)1,jnnnnnpcff xyxxhpyfffmpcpcyyh f x mffyccpx ynNnn x 若若置置返返回回；否否则则，置置转转。计计算算 输输出出(若若，置置1113300,(0,1,2),6jjjjjxyyf
20、fjxxyypp cc 转转；否否则则停停机机。数值分析数值分析数值分析数值分析120,0 (,)(1,2,)()(1,2,)iimiiyf x yyyimy xyim 一一阶阶方方程程组组的的初初值值问问题题1201,02,0,00012y f Y(,);YF(,Y);Y(,);Y()Y;F(,);TmTmTmyyyxyyyxfff 若若对对 和和 采采用用向向量量的的记记号号第四节第四节 一阶微分方程组的解法一阶微分方程组的解法一、一阶微分方程组一、一阶微分方程组数值分析数值分析数值分析数值分析00n+1n12341n2n13n24n3YF(,Y);Y()Y;YY(K2K2KK)6 KF(
21、,y);KF(,yK);22KF(,yK);KF(,yK);22nnnnxxhhhxxhhxxhh 求求解解这这一一初初值值问问题题的的四四阶阶龙龙格格库库塔塔公公式式为为其其中中数值分析数值分析数值分析数值分析,11234112211122113112 (22)6 (1,2,),(,);(,);2222(,22i niniiiiiinnnNniinnnNnNiinnhyyKKKKiNKf xyyyhhhhKf xyKyKyKhhKf xyK 或或表表达达为为其其中中222241132233,);22(,);nNnNiinnnNnNhhyKyKKf xh yhKyhKyhK 数值分析数值分析数
22、值分析数值分析 0000,dyyfx y zy xydxdzzg x y zz xzdx 以以两两个个方方程程组组为为例例 0010011,0,1,2,nnnnnnnnnnEulerhfxyzy xyhg xyzz xznyyzz 方方程程组组的的法法数值分析数值分析数值分析数值分析方程组的方程组的 R-K 法法 1234112341122 6122 6nnnnKKKKMMMMyyzz 11,nnnnnnKhfxyzMhg xyz 112112,222,222nnnnnnKMhKhfxyzKMhMhgxyz 数值分析数值分析数值分析数值分析223223,222,222nnnnnnKMhKhfx
23、yzKMhMhg xyz334334,222,222nnnnnnKMhKhfxyzKMhMhg xyz数值分析数值分析数值分析数值分析二、化高阶方程为一阶方程组二、化高阶方程为一阶方程组()(1)0000(1)(1)00123(1)(,);(),(),().,mmmmmmmyf x y yyy xyy xyyxyyyyyyyyy 高高阶阶微微分分方方程程的的初初值值问问题题可可通通过过变变量量代代换换化化为为一一阶阶常常微微分分方方程程组组的的初初值值问问题题。设设有有 阶阶常常微微分分方方程程初初值值问问题题引引入入新新变变量量数值分析数值分析数值分析数值分析1210023200(2)110
24、0(1)1200()()()(,)()mmmmmmmmmyyy xyyyy xyyyyxyyf x y yyyxy 则则可可将将 阶阶方方程程化化为为如如下下一一阶阶方方程程组组：数值分析数值分析数值分析数值分析000000001123411234(,);(),().,();(,),().(22);6 (22)6,1,2,3,4)nnnniiyf x y yzyy xyyxyyzy xyzf x y zz xyhyyKKKKhzzMMMMKMi 以以二二阶阶方方程程的的初初值值问问题题为为例例：引引入入新新变变量量 对对其其用用四四阶阶龙龙格格库库塔塔公公式式（计计算算公公式式略略.数值分析数值分析数值分析数值分析2200010100025sin2201 (0)2,(0)3(0)2,5sin22(0)30,2,3,3 (,)2xxRKyexyyxyyyzyzyzexyzzxyzRKKzLf xyzK 用用四四阶阶方方法法求求解解初初值值问问题题 (取取h h=0 0.1 1)令令因因 由由公公式式例例：解解：得得012001013.12(,)1.6238224222 hzLhhhLf xyKzL 继继续续计计算算（略略）。数值分析数值分析数值分析数值分析习题九习题九 P351-10
