1、1231.熟练掌握等差、等比数列的求熟练掌握等差、等比数列的求和公式和公式.2.掌握非等差、等比数列求和的掌握非等差、等比数列求和的几种常见模型与方法几种常见模型与方法.41.若数列若数列an为等比数列，为等比数列，S5=10,S10=50,则则S15=.2102.若若an=1+2+n，则数列，则数列 的前的前n项和项和Sn=.1na21nn 因为因为an=1+2+n=,所以所以 =2(-),故故Sn=2(1-)+(-)+(-)=.(1)2n n1na21n1n11n1212131n11n21nn53.数列数列1 ，3 ，5 ，7 ，的前的前n项项和和Sn=.121418116n2+1-12n
2、 S=(1+3+5+2n-1)+(+)=n2+1-.121412n12n64.已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn=1-3+5-7+(-1)n-1(2n-1)(nN*)，则，则S2008+S2009+S2010=（）BA.-2008 B.-2009C.2009 D.20107 当当n=2k(kZ)时，时，Sn=(1-3)+(5-7)+(2n-3)-(2n-1)=k(-2)=-n.当当n=2k-1(kZ）时，）时，Sn=1+(-3)+5+(-7)+9+-(2n-3)+(2n-1)=1+（k-1）2=n.n (n为奇数）为奇数）-n (n为偶数）为偶数）,所以所以S2008+S2009+S2
3、010=-2008+2009-2010=-2009.所以所以Sn=85.设设f(x)=，则，则f(x)+f(1-x)=，并，并利用课本中推导等差数列前利用课本中推导等差数列前n项和公式的项和公式的方法方法,求得求得f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值为的值为 .122x223 29 f(x)+f(1-x)=+=+=+=.又设又设S=f(-5)+f(-4)+f(6),则则S=f(6)+f(5)+f(-5),所以所以2S=f(6)+f(-5)+f(5)+f(-4)+f(-5)+f(6).所以所以2S=12 =6 ,所以所以S=3 .122x1122x122x222 2xx122
4、x12222xx12222222101.公式法公式法常用的公式有：常用的公式有：(1)等差数列等差数列an的前的前n项和项和Sn=.(2)等比数列等比数列an的前的前n项和项和Sn=(q1).(3)12+22+32+n2=.(4)13+23+33+n3=.1()2nn aana1+d(1)2n n1(1)1naqq11naa qqn(n+1)(2n+1)16n2(n+1)214112.倒序相加法倒序相加法将一个数列倒过来排序，它与原数列相将一个数列倒过来排序，它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易加时，若有公因式可提，并且剩余的项易于求和，则这样的数列可用倒序相加法求于求和，则这样的
5、数列可用倒序相加法求和和.3.分组转化法分组转化法分析通项虽不是等差或等比数列，但它分析通项虽不是等差或等比数列，但它是等差数列和等比数列的和的形式是等差数列和等比数列的和的形式,则可进则可进行拆分，分别利用基本数列的求和公式求行拆分，分别利用基本数列的求和公式求和，如求和，如求n(n+1)前前n项的和项的和.124.错位相减法错位相减法利用等比数列求和公式的推导方法求解，利用等比数列求和公式的推导方法求解，一般可解决型如一个等差数列和一个等比一般可解决型如一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和，如求数数列对应项相乘所得数列的求和，如求数列列n3n的前的前n项和项和.5.裂项相消法
6、裂项相消法把数列和式中的各项分别裂开后，消去把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，它适用于通项一部分从而计算和的方法，它适用于通项为为 的前的前n项求和问题，其中项求和问题，其中an为等差为等差数列，如数列，如 =(-).11nnaa11nnaa1d1na11na13常见的拆项方法有：常见的拆项方法有：(1)=;(2)=;(3)=;(4)=;(5)nn!=.6.并项法并项法将数列的每两项将数列的每两项(或多次或多次)并到一起后，再并到一起后，再求和，这种方法常适用于摆动数列的求和求和，这种方法常适用于摆动数列的求和.1(1)n n111nn1()n nk1 11()k nn
7、k1(1)(2)n nn1112(1)(1)(2)n nn nn1ab1()abab11(n+1)!-n!14例例1 求和：求和：(1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+(2n-1+2n+3n-2);(2)Sn=12-22+32-42+(-1)n-1n2.15(1)因为因为an=(2n-1)+2n+(2n+1)+（3n-2）=n2-n,所以所以Sn=(12+22+32+n2)-(1+2+n)=n(n+1)(5n-2)(nN*).(21 32)2nnn 523252321616(2)当当n是偶数时，是偶数时，Sn=(12-22)+(32-42)+(n-1)2-n2=-3-7-(2n-1)=.
8、当当n是奇数时，是奇数时，Sn=1+(32-22)+(52-42)+n2-(n-1)2=1+5+9+(2n-1)=.故故Sn=(-1)n-1 (nN*).(1)2n n(1)2n n(1)2n n17 求数列的前求数列的前n项和，首先要研究项和，首先要研究数列的通项公式的特点，再确定相应数列的通项公式的特点，再确定相应的求和方法的求和方法.如本题中的如本题中的(1)小题运用分小题运用分组求和法；组求和法；(2)小题中，由于小题中，由于an的项是的项是正负相间，故采用并项求和法，但解正负相间，故采用并项求和法，但解题中要注意分奇数、偶数讨论题中要注意分奇数、偶数讨论.18例例2 已知等比数列已知
9、等比数列an的首项的首项a1=,公比公比q满满足足q0,且且q1.又已知又已知a1,5a3,9a5成等差数列成等差数列.(1)求数列求数列an的通项；的通项；(2)令令bn=log3 ,试求数列试求数列 的前的前n项和项和Sn;(3)试比较试比较 +与与 的大小的大小.131na11nnb b1 31bb241b b3 51b b21nnb b3419 (1)依题意，依题意，10a3=a1+9a5，即，即 q2=+q49，整理得整理得9q4-10q2+1=0，解得，解得q2=或或q2=1，又又q0，且，且q1，所以所以q=，此时，此时，an=a1qn-1=()n.103131319131320
10、(2)因为因为bn=log3 =-log3an=n,=-,所以所以Sn=b1+b2+bn=(-)+(-)+(-)=1-=.1na11nnb b1(1)n n1n11n111213121n11n11n1nn21(3)因为因为 =(-),所以原式所以原式=(-)+(-)+(-)+(-)+(-)+(-)=(1+-)=-(+)对对nN*恒成立恒成立.21nnb b341(2)n n121n12n12111213141315141611n11n1n12n121211n12n1211n12n3422 （1）若数列的通项能转化为）若数列的通项能转化为an=f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项的形式，常采
11、用裂项相消法求和，关键是裂项成功，如相消法求和，关键是裂项成功，如本例第（本例第（2）（）（3）问）问.（2）使用裂项相消法求和时，要注）使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项留了哪些项.23例例3求和求和 +(a0).1a22a33anna (1)当当a=1时，时，Sn=1+2+3+n=.(2)当当a1，且，且a0时，时，Sn=+,Sn=+,(1)2n n1a22a33anna1a21a32a1nna1nna24由由-，得，得(1-)Sn=+-=-.两边同除以两边同除以(1-)并整理得并整理得Sn=.(a=1)(a1).1a1na21
12、a1nna1a1nna111()11naaa1a2(1)(1)(1)nna an aaa综上所述综上所述,Sn=(1)2n n2(1)(1)(1)nna an aaa25 （1）若数列）若数列an为等差数列，为等差数列，bn为等比数列，则数列为等比数列，则数列anbn的前的前n项和项和可采用错位相减法求和；可采用错位相减法求和；（2）当等比数列公比为字母时，应对）当等比数列公比为字母时，应对字母是否为字母是否为1进行讨论进行讨论.（3）将）将Sn与与qSn相减合并同类项时，注相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号意错位及未合并项的正负号.26例例4 f(x)对任意对任意xR都有都有f(x
13、)+f(1-x)=.(1)求求f()和和f()+f()(nN*)的值；的值；(2)数列数列an满足满足:an=f(0)+f()+f()+f()+f(1),数列数列an是等差数列吗？请是等差数列吗？请给予证明给予证明;(3)令令bn=,Tn=b12+b22+b32+bn2,Sn=32-.试比较试比较Tn与与Sn的大小的大小.12121n1nn1n2n16n441na 1nn27(1)因为因为f()+f(1-)=f()+f()=,所以所以f()=,令令x=，得，得f()+f(1-)=,即即f()+f()=.121n1212121212141n1n121n1nn1228(2)an=f(0)+f()+
14、f()+f(1),又又an=f(1)+f()+f()+f(0),两式相加两式相加2an=f(0)+f(1)+f()+f()+f(1)+f(0)=,所以所以an=,nN*,又又an+1-an=-=.故数列故数列an是等差数列是等差数列.1n1nn1nn1n1n1nn12n14n1 14n 14n1429(3)bn=,Tn=b12+b22+bn2=16(1+)161+=161+(1-)+(-)+(-)=16(2-)=32-=Sn.所以所以TnSn.4n441na 21221n21311 212 31(1)n n12121311n1n1n16n30 （1）如果一个数列）如果一个数列an与首末与首末两
15、端等距离的两项之和等于首末两项两端等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写的和倒着写的之和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的两个式子相加，就得到一个常数列的和，进而求出数列的前和，进而求出数列的前n项和；项和；（2）关于数列前）关于数列前n项和的不等式，常转项和的不等式，常转化为先求和，再放缩；或者先放缩变化为先求和，再放缩；或者先放缩变形，再求和形，再求和.31 已知数列已知数列f(x)=ax+b,当当xa1,b1时，时，f(x)的值域为的值域为a2,b2，当，当xa2,b2时，时，f(x)的值域为的值域为a3,b3,以此类推，一般的，当以此类推，一般的，当
16、xan-1,bn-1时，时，f(x)的值域为的值域为an,bn，其中，其中a、b为常数，为常数，a1=0,b1=1.(1)若若a=1,求数列求数列an、bn的通项公式；的通项公式；(2)若若a0，求证：，求证：bn-an是等比数列是等比数列.32 (1)当当a=1时时,f(x)=x+b在在R上是增函数上是增函数,由已知由已知,当当xan-1,bn-1时时,f(x)的值域为的值域为an,bn,所以所以an=f(an-1)=an-1+b,bn=f(bn-1)=bn-1+b,所以所以an、bn都是公差为都是公差为b的等差数列，的等差数列，所以所以an=(n-1)b,bn=(n-1)b+1.(2)证明
17、证明:当当a0,且且a1)的图象上一点的图象上一点.等比数列等比数列an的前的前n项和为项和为f(n)-c.数列数列bn(bn0)的首项为的首项为c,且前且前n项和项和Sn满足满足Sn-Sn-1=+(n2).(1)求数列求数列an和和bn的通项公式；的通项公式；(2)若数列若数列 的前的前n项和为项和为Tn,问问Tn 的的最小正整数最小正整数n是多少是多少?13nS1nS11nnb b1000200937 (1)因为因为f(1)=a=,所以所以f(x)=()x.a1=f(1)-c=-c,a2=f(2)-c-f(1)-c=-,a3=f(3)-c-f(2)-c=-.因为数列因为数列an是等比数列，
18、是等比数列，所以所以a1=-=-c，所以，所以c=1.又公比又公比q=，所以所以an=-()n-1=-2()n(nN*).13131329227223aa481227231321aa1323131338因为因为Sn-Sn-1=(-)(+)=+(n2),又又bn0,0,所以所以 -=1.所以数列所以数列 是一个首项为是一个首项为1，公差为，公差为1的等差数列，的等差数列，所以所以 =1+(n-1)1=n，则，则Sn=n2.当当n2时，时，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.而而b1=1也适合上式也适合上式.所以所以bn=2n-1(nN*).nS1nSnS1nS1nSnSnS1nS
19、nSnS39(2)Tn=+=+=(1-)+(-)+(-)+(-)=(1-)=.由由Tn=,得得n .故满足故满足Tn 的最小正整数为的最小正整数为112.1 21bb2 31b b11nnb b11 33 41b b13 515 71(21)(21)nn121312131512151712121n121n12121n21nn21nn100020091000910002009本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作
20、深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼
21、受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给
22、你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，
23、向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人
24、会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模
25、很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速
26、走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋
27、。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
