1、 数学建模课程综合性数学建模课程综合性 教学内容的设计与研究教学内容的设计与研究青岛理工大学 理学院 胡 京 爽 2010年7月24日引言 数学模型课程的教学内容如何组织是一个非常重要的数学模型课程的教学内容如何组织是一个非常重要的问题，由于没有一般的概念理论体系，还不能形成完整问题，由于没有一般的概念理论体系，还不能形成完整严格的形式化演绎系统，只能通过剖析各种各样的建模严格的形式化演绎系统，只能通过剖析各种各样的建模案例，让学生体会、学习数学建模的实际过程，积累经案例，让学生体会、学习数学建模的实际过程，积累经验。这实际上就是案例式教学。现在一般的数学建模教验。这实际上就是案例式教学。现在
2、一般的数学建模教材中，都是按照理论模块的方式来组织教学内容，像微材中，都是按照理论模块的方式来组织教学内容，像微分方程模型、数学规划模型、概率统计模型等。就是从分方程模型、数学规划模型、概率统计模型等。就是从众多各种类型的建模案例中总结出其中的某些共性和可众多各种类型的建模案例中总结出其中的某些共性和可遵循的规律，这种共性规律对于启发学生在解决类似问遵循的规律，这种共性规律对于启发学生在解决类似问题时将会起到重要的作用。题时将会起到重要的作用。按照不同的共性特征可以得到不同的分类方式，我们按照不同的共性特征可以得到不同的分类方式，我们在教学中要采用各种不同的组织方式进行教学，让学生在教学中要采
3、用各种不同的组织方式进行教学，让学生从不同角度把握建模规律，增强建模规律的指导作用。从不同角度把握建模规律，增强建模规律的指导作用。下面通过四个实例说明下面通过四个实例说明如何进行模型的分类分析，如何进行模型的分类分析，通过分析它们的共性和差异通过分析它们的共性和差异性，把握建模规律，提高数性，把握建模规律，提高数学建模教学水平。学建模教学水平。系列存贮优化模型系列存贮优化模型 l 不允许缺货、生产时间很不允许缺货、生产时间很 短、固定周期存贮模型短、固定周期存贮模型 l 允许缺货、生产时间很允许缺货、生产时间很 短、固定周期存贮模型短、固定周期存贮模型 l不允许缺货、有开始生产时间、固定周期
4、不允许缺货、有开始生产时间、固定周期存贮模型存贮模型 l开始允许缺货、有生产时间、固定周期存开始允许缺货、有生产时间、固定周期存贮模型贮模型 l 随机进货周期、固定期初存贮量的存贮随机进货周期、固定期初存贮量的存贮模型模型 其中最优订货点其中最优订货点*L可通过下面的图形求出l 需求量为随机变量的优化存贮模型需求量为随机变量的优化存贮模型 从一般的意义看，上面所涉及到的各种存贮模型从一般的意义看，上面所涉及到的各种存贮模型实际上都可以将单位时间的需求量由确定不变改为随实际上都可以将单位时间的需求量由确定不变改为随机需求，这样就将原来的一个周期内的各种费用的计机需求，这样就将原来的一个周期内的各
5、种费用的计算进行分类计算，然后计算出所有周期费用的平均值。算进行分类计算，然后计算出所有周期费用的平均值。就是说，原来的费用函数实际上是：原来的一个周期就是说，原来的费用函数实际上是：原来的一个周期内的每个时间单位上的需求量是固定的，因而只需要内的每个时间单位上的需求量是固定的，因而只需要求出平均的存贮总量，然后乘上单位存贮费用即可。求出平均的存贮总量，然后乘上单位存贮费用即可。但是，如果每天的需求量是变化的，那么计算一个周但是，如果每天的需求量是变化的，那么计算一个周期内的存贮量可以用平均每个时间单位的需求量来近期内的存贮量可以用平均每个时间单位的需求量来近似替代随机变化的需求量，进而计算方
6、法与原来的模似替代随机变化的需求量，进而计算方法与原来的模型是一样的。型是一样的。另外，还可以有下面形式的随机需求存贮模型。另外，还可以有下面形式的随机需求存贮模型。(1)不考虑缺货损失费和单位时间内需求量的存贮模型不考虑缺货损失费和单位时间内需求量的存贮模型 这样的模型考虑的仅仅是进货以后，进行一次性的这样的模型考虑的仅仅是进货以后，进行一次性的消费需求，不考虑一个周期内的单位时间随机需求导消费需求，不考虑一个周期内的单位时间随机需求导致的存贮模型。致的存贮模型。问题：货物的成本为问题：货物的成本为K，货物的，货物的 单位售价为单位售价为P，单位，单位贮存费为贮存费为C1，需求量，需求量r为
7、连续的随机变量，分布密度为连续的随机变量，分布密度为，分布函数为，订购的数量为为，分布函数为，订购的数量为Q，确定订购的数量，确定订购的数量Q，使得在单位时间内的盈利期望值最大？使得在单位时间内的盈利期望值最大？l 随机过程分析的存贮模型随机过程分析的存贮模型 按照前面的模型，现在考虑一种具体形式的存贮模型 一家商店进行钢琴销售，每隔一段时间就要决定进多少钢琴、什么时间订、一次订多少等等，时间周期可以根据实际的控制情况，根据实际的生产供应渠道等来决定，一般情况下都是固定周期的供货销售模式，关键是进多少的问题，而这往往考虑到在每个周期上能够销售多少。根据以往的经验，平均每周只能卖出1架钢琴，现在
8、经理制定的存贮策略是每周根据检查期末的存货量，来决定下周的进货量，因为已经知道了每周的销售数量，现在规定了进货的方式，不是一下子总要进，实际上前面我们已经分析了这种情况，就是，要么不进，要么进的话就要进的使得费用最小，我们现在关心的是，按照这样的存我们现在关心的是，按照这样的存贮、进货以及销售状况来看，每周的开始存贮量和销贮、进货以及销售状况来看，每周的开始存贮量和销售量是不一样的，有随机性。这样下去的话，每周的售量是不一样的，有随机性。这样下去的话，每周的钢琴数量能售出多少，剩下多少，就是说每周具体有钢琴数量能售出多少，剩下多少，就是说每周具体有多少钢琴在等待销售？特别是关心，市场需求量超过
9、多少钢琴在等待销售？特别是关心，市场需求量超过了钢琴拥有量的情况，在所有的销售周期中占多大的了钢琴拥有量的情况，在所有的销售周期中占多大的比例？实际上平均每天能够卖出多少的钢琴？比例？实际上平均每天能够卖出多少的钢琴？开始以后每一周都存在着销售量和存货量的关系，每一周的开始以后每一周都存在着销售量和存货量的关系，每一周的情况是随机的，潜在的销售数量和期初的拥有量都是随机的数量。情况是随机的，潜在的销售数量和期初的拥有量都是随机的数量。这是由于每一期的拥有量与前一期的销售量有关，并且显然是由这是由于每一期的拥有量与前一期的销售量有关，并且显然是由递推关系决定的。这是一个随机的过程，考虑了随机变化
10、的每个递推关系决定的。这是一个随机的过程，考虑了随机变化的每个随机变量。随机变量。我们也关心：随着时间的延伸，这样的过程能否稳定下来，我们也关心：随着时间的延伸，这样的过程能否稳定下来，可以考虑稳定状态下的分布规律。考虑相邻两个时间段上的潜在可以考虑稳定状态下的分布规律。考虑相邻两个时间段上的潜在的数量的分布规律，就是概率分布。因为状态是前后相联接的。的数量的分布规律，就是概率分布。因为状态是前后相联接的。模型计算：模型计算：假设：第假设：第n周的销售量为周的销售量为 第第n周的期初拥有量周的期初拥有量nDnS 模型规律性分析模型规律性分析 我们可以通过分析上面各个模型的共性和差异性，系统、全
11、面、我们可以通过分析上面各个模型的共性和差异性，系统、全面、深入地了解和掌握存贮模型的基本规律，作为我们教学的重要内容。深入地了解和掌握存贮模型的基本规律，作为我们教学的重要内容。(1)上面的每个模型都是优化一个周期内的需求费用，使得费用最上面的每个模型都是优化一个周期内的需求费用，使得费用最小，不同的是有的是固定周期；有的是随机周期，但是最后还是利小，不同的是有的是固定周期；有的是随机周期，但是最后还是利用平均周期来优化；用平均周期来优化；(2)所有模型都考虑需求量，这决定了从进货以后每个时刻需要存所有模型都考虑需求量，这决定了从进货以后每个时刻需要存贮多少物品，不同在于：有的模型考虑的是在
12、一个周期内单位时间贮多少物品，不同在于：有的模型考虑的是在一个周期内单位时间上的需求量，并且是固定不变的，上的需求量，并且是固定不变的，有的模型的需求量在时间周期内有的模型的需求量在时间周期内是随机的。是随机的。(3)所有模型都要考虑到进货量以及进货方式，这决定了订货费以所有模型都要考虑到进货量以及进货方式，这决定了订货费以及存贮费的计算，不同的是有的进货考虑的是时间很短，所订购的及存贮费的计算，不同的是有的进货考虑的是时间很短，所订购的立即到货，；有的需要边使用边进货，这使得存贮费的计算是不同立即到货，；有的需要边使用边进货，这使得存贮费的计算是不同的。的。人口系列模型人口系列模型 在数学建
13、模教学中，加强综合性模型的教学是非常在数学建模教学中，加强综合性模型的教学是非常重要的。存贮模型体现的是同类型的实际问题，由于问重要的。存贮模型体现的是同类型的实际问题，由于问题的细节有所不同，导致了不同的数学模型，存贮模型题的细节有所不同，导致了不同的数学模型，存贮模型有不同的各种类型，然后基于不同的条件得到不同的数有不同的各种类型，然后基于不同的条件得到不同的数学模型，这体现了一个大类模型下的各种不同情形下的学模型，这体现了一个大类模型下的各种不同情形下的不同数学模型。不同数学模型。人口模型则体现了对同一个实际问题可以用不同的人口模型则体现了对同一个实际问题可以用不同的模型描述分析。我们可
14、以从这样的成批的数学模型中体模型描述分析。我们可以从这样的成批的数学模型中体会到数学模型的多样性、层次性，加强系统性的训练教会到数学模型的多样性、层次性，加强系统性的训练教学，这对于全面提高数学建模的能力非常重要。学，这对于全面提高数学建模的能力非常重要。u考虑人口总数增长的常微分方程模考虑人口总数增长的常微分方程模型型 u考虑人口分布结构偏微分方程模型考虑人口分布结构偏微分方程模型 u考虑按年龄分组的人口数量差分考虑按年龄分组的人口数量差分方程模型方程模型 u考虑在任何时刻考虑在任何时刻t人口数是随机人口数是随机取值的人口预测模型取值的人口预测模型 u考虑同一地区不同类型人群数量考虑同一地区
15、不同类型人群数量变化的人口增长模型变化的人口增长模型-周义仓教授周义仓教授 教学分析教学分析 在教学中我们可以利用上面的模型案例进行集中教学，由于数学模型课程都是在学完了一些必备的基础数学课程以后开设，因此我们就可以通过对人口问题进行建模分析，让学生体会到一个实际问题可以用不同的数学理论和方法进行分析，建立不同的数学模型，而达到相同的解决问题目的。当然人口模型还有其它的形式，也可以作为课后作业留给学生，让学生课后进行查阅分析，进行不同模型的分析对比，这对于提高学生的深入分析问题解决问题的能力是显而易见的。0-1 变量方法变量方法 原油的采购和加工问题原油的采购和加工问题 某公司有两种原油某公司
16、有两种原油A，B，要混合加工成两种汽油，要混合加工成两种汽油甲和乙。甲、乙两种汽油含原油甲和乙。甲、乙两种汽油含原油A的最低比例分别为的最低比例分别为50%和和60%，每顿的售价为，每顿的售价为4800元和元和5600元，该公元，该公司现在有原油司现在有原油A和和B的库存量为的库存量为500吨和吨和1000吨，还可吨，还可以从市场上购买到不超过以从市场上购买到不超过1500吨的原油吨的原油A。原油。原油A的的市场价格为：购买量不超过市场价格为：购买量不超过500吨时，单价为吨时，单价为10000元元/吨，购买量超过吨，购买量超过500吨但不超过吨但不超过1000吨时，单价为吨时，单价为超过超过
17、500吨的吨的8000元元/吨，购买量超过吨，购买量超过1000吨时，超过吨时，超过的部分的部分6000元元/吨。问题：该公司如何安排原油的采吨。问题：该公司如何安排原油的采购和加工，使得利润最大？购和加工，使得利润最大？接力队的选拔策略模型接力队的选拔策略模型 问题：某学校准备从若干游泳队员中选择四人组成接力队，参加学校的米接力比赛，每个队员的四种游泳姿势的百米成绩都是已知的。问应当如何进行组队？问题分析：这个问题的结果还是一个选择问题，就是从所有的游泳队员与四种游泳姿势的结合对中选择4个游泳队员形成的组合，使得获得好成绩，就是比赛用的时间最小？现在的问题是如何表示这些组合，以及如何将选择的
18、要求和条件体现出来。由于我们是从所有队员与泳姿的配对中进行选择，选的规则要满足问题的实际要求。教学分析教学分析 作为数学建模的一种重要方法，作为数学建模的一种重要方法，0-1变量方法应当作变量方法应当作为数学建模教学的重要内容。要通过一系列的模型分析，为数学建模教学的重要内容。要通过一系列的模型分析，找到使用这个方法的基本规律，包括：什么时候如何引找到使用这个方法的基本规律，包括：什么时候如何引入入0-1变量，用它们来表示什么？如何建立它们的关系变量，用它们来表示什么？如何建立它们的关系规律以体现规律以体现0-1变量的选择、区分不同构成成分形式的变量的选择、区分不同构成成分形式的作用，以及如何
19、用它们进行相关数量的计算表示等，在作用，以及如何用它们进行相关数量的计算表示等，在前面的模型中我们都作了分析说明。学生如果掌握了这前面的模型中我们都作了分析说明。学生如果掌握了这些基本规律，就能够主动熟练地使用它们来建立某些数些基本规律，就能够主动熟练地使用它们来建立某些数学规划模型。学规划模型。满满 意意 度度 数数 学学 建建 模模 以满意度为目标的优化决策或评以满意度为目标的优化决策或评价模型价模型,称之为满意度数学模型称之为满意度数学模型.通过引入表现满意度特征的数通过引入表现满意度特征的数量指标量指标,建立相应的决策数学模型建立相应的决策数学模型,给出符合满意度要求的解决问题的方给出
20、符合满意度要求的解决问题的方案案,称之为满意度数学建模称之为满意度数学建模.满意度数量指标满意度数量指标 从决策方案涉及到的对象体系、系统、从决策方案涉及到的对象体系、系统、过程中提炼出来的，能够与人们主观上是否过程中提炼出来的，能够与人们主观上是否满意相一致的数量指标体系，称之为满意度满意相一致的数量指标体系，称之为满意度指标，用指标，用S S表示，它是决策方案的函数表示，它是决策方案的函数.这种指标是由两个方面决定的：一是决这种指标是由两个方面决定的：一是决策方案本身固有的、能够反映其突出特征的策方案本身固有的、能够反映其突出特征的数值，是由方案本身涉及到的对象、过程、数值，是由方案本身涉
21、及到的对象、过程、因素、属性等构成的泛函；因素、属性等构成的泛函；二是由人们主观上对于相应方案的喜二是由人们主观上对于相应方案的喜好、审美、心理因素、能够接受的极限以好、审美、心理因素、能够接受的极限以及中立的标准等反映出来的特征、规律决及中立的标准等反映出来的特征、规律决定的体系。定的体系。这里关键是个人或者某个群体对于某这里关键是个人或者某个群体对于某种状态、特征、表现、行为、规模、机会种状态、特征、表现、行为、规模、机会等的接受标准、喜好尺度的判定。两方面等的接受标准、喜好尺度的判定。两方面的结合，形成了相应的满意度数量指标。的结合，形成了相应的满意度数量指标。满意度指标体系往往由多个指
22、标所组成满意度指标体系往往由多个指标所组成,因为因为一个系统或过程本身涉及到多方面的特征一个系统或过程本身涉及到多方面的特征,而主观而主观上人们又可能关心多个方面的属性上人们又可能关心多个方面的属性 特点特点,并根据并根据综合指标进行最后的判断。综合指标进行最后的判断。对于形成的多个满意度指标，需要将它们合对于形成的多个满意度指标，需要将它们合成一个总的指标。而这种综合方法最常用的就是成一个总的指标。而这种综合方法最常用的就是层次分析法，利用层次分析建立不同指标在总满层次分析法，利用层次分析建立不同指标在总满意度目指标下的权重大小，然后再利用这些权重意度目指标下的权重大小，然后再利用这些权重进
23、行线性加权，构成总的满意度指标。进行线性加权，构成总的满意度指标。在形成指标体系时，有时还要对人群进在形成指标体系时，有时还要对人群进行不同的分类，因为在形成分指标时，不同的行不同的分类，因为在形成分指标时，不同的人群的满意度标准不一样，因此经常要进行某人群的满意度标准不一样，因此经常要进行某些因子的调节。些因子的调节。满意度的定义方式可以多种多样，经常用满意度的定义方式可以多种多样，经常用函数形式来表示针对考察对象的某个方面的满函数形式来表示针对考察对象的某个方面的满意度意度,函数的形式可以是多种多样的函数的形式可以是多种多样的,有时可以有时可以是分段函数是分段函数.满意度指标的构成方法满意
24、度指标的构成方法 1 1、比值法、比值法 2 2、心理曲线法、心理曲线法 3 3、满意度函数法、满意度函数法 4 4、等级量化法、等级量化法)()(211cxacxU)1()()(1122cxaeacxU)()(1133222()(cxacxaeeacxU4)(.)(31211aaxcacaxU)log()(2311cxcacxU指数函数指数函数 双指数函数双指数函数 指数加线性函数指数加线性函数 幂函数幂函数 对数函数对数函数 满意度函数的常用形式满意度函数的常用形式 满意度数学模型方法满意度数学模型方法 1 1、数学规划法、数学规划法 2 2、多目标优化法、多目标优化法 公公 交交 车车
25、调调 度度 模模 型型 公共交通是城市交通的重要组公共交通是城市交通的重要组成部分，做好公交车的调度对于完成部分，做好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要的意义。下面考虑益，都具有重要的意义。下面考虑一条公交线路上的公交车的调度问一条公交线路上的公交车的调度问题，其数据来自于我国一个特大城题，其数据来自于我国一个特大城市，某条公交线路上的客流调查和市，某条公交线路上的客流调查和运营资料。运营资料。CUMCM2001B 该条公交线路共上行共该条公交线路共上行共1414站，下站，下行
26、方向共行方向共1313站，下面给出的是一个典站，下面给出的是一个典型工作日中两个运行方向的各个站上型工作日中两个运行方向的各个站上下车的乘客数量统计。公交公司配给下车的乘客数量统计。公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆的标该线路同一型号的大客车，每辆的标准载客是准载客是100100人，客车的平均运行速人，客车的平均运行速度是度是2020公里公里/小时。根据运营的要求，小时。根据运营的要求，乘客候车的时间一般不要超过乘客候车的时间一般不要超过1010分钟，分钟，早高峰时一般不要超过早高峰时一般不要超过5 5分钟，而车分钟，而车辆的满载率辆的满载率120%120%，一般也不要低于，一般也不要低
27、于50%50%试根据这些资料和要求，为该线试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于全天操作的公交车调路设计一个便于全天操作的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少车；表；一共需要多少车；这个方案以怎样的程度照顾到了这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司的利益乘客和公交公司的利益 如何将这个调度问题抽象成如何将这个调度问题抽象成一个明确的、完整的数学模型，一个明确的、完整的数学模型，指出求解模型的方法；根据实际指出求解模型的方法；根据实际问题的要求，如果设计成一个更问题的要求，如果设计成一个更好的调度方案，应如何采取运营好的调度方案，应如何
28、采取运营数据。数据。有关数据有关数据问题分析：问题分析：问题的目标是确定公交车的调度方问题的目标是确定公交车的调度方案，给出公交车全天的运行时刻发车表，案，给出公交车全天的运行时刻发车表，并确定需要的车数，分析乘客和公交公并确定需要的车数，分析乘客和公交公司的满意程度实际上就是要确定出使司的满意程度实际上就是要确定出使得乘客和公交公司都满意的最佳方得乘客和公交公司都满意的最佳方案根据题目的意义可知，公交车的调案根据题目的意义可知，公交车的调度方案就是驶发车站每一次车的发车时度方案就是驶发车站每一次车的发车时刻表，只要发车时刻定下来以后，每一刻表，只要发车时刻定下来以后，每一辆车的运行情况就会完
29、全确定下来辆车的运行情况就会完全确定下来我们关心的是：乘客和公交公司的我们关心的是：乘客和公交公司的满意度，就是等候超过正常的等候时间满意度，就是等候超过正常的等候时间的状况，等候的时间越短满意度越大，的状况，等候的时间越短满意度越大，或者用超时等候的人数来表现满意度；或者用超时等候的人数来表现满意度；而对于公交公司来说，关心的主要是车而对于公交公司来说，关心的主要是车的满载率，他们的满意程度可用公交车的满载率，他们的满意程度可用公交车的载客率来表示，实际上载客率越高，的载客率来表示，实际上载客率越高，所用的车数越少，公交公司越满意所用的车数越少，公交公司越满意 因此，解决问题的关键在因此，解
30、决问题的关键在于当发车时刻表确定以后，根于当发车时刻表确定以后，根据已知的各种条件，确定出每据已知的各种条件，确定出每一辆车运行过程中，在每一个一辆车运行过程中，在每一个站上，乘客的等车时间；在每站上，乘客的等车时间；在每个运行区间上汽车的上座率，个运行区间上汽车的上座率，根据这样的数据来计算乘客和根据这样的数据来计算乘客和公交公司的满意程度，并从中公交公司的满意程度，并从中选出最好的方案来。选出最好的方案来。模型假设：模型假设：为了计算和分析方便起见，需要对为了计算和分析方便起见，需要对于问题的背景、条件等做出适当的简化、于问题的背景、条件等做出适当的简化、规范，使得我们能够较好地反映出实际
31、规范，使得我们能够较好地反映出实际的状况，建立起适当的数学模拟形式，的状况，建立起适当的数学模拟形式，能够方便地进行计算和求解。能够方便地进行计算和求解。、该公交线路是双停车场，晚上公交、该公交线路是双停车场，晚上公交车集中停放在两个发车场。车集中停放在两个发车场。、公交车在路上运行速度正常，不、公交车在路上运行速度正常，不考虑路上的堵车，以及在各个站上的考虑路上的堵车，以及在各个站上的耽搁时间，公里小时的速度是耽搁时间，公里小时的速度是全天的平均运行速度。全天的平均运行速度。、乘客到达各个车站的时间分布是、乘客到达各个车站的时间分布是均匀的，即假设在局部时间段上，乘均匀的，即假设在局部时间段
32、上，乘客到达每个车站的人数分布密度是均客到达每个车站的人数分布密度是均匀的。匀的。、乘客在每个车站下车的人数，在、乘客在每个车站下车的人数，在局部时间段上是均匀的。局部时间段上是均匀的。符号说明：符号说明：、车站标记：、车站标记：j=1,2,j=1,2,n;,n;共共n n个车站个车站、来客的密度：在时刻、来客的密度：在时刻t t到达到达j j站的站的乘客的密度为乘客的密度为 njtuj,.,2,1),(、下车乘客的密度：在时刻、下车乘客的密度：在时刻 t t从车从车站站j j 下车的乘客的密度下车的乘客的密度 njtdj,.2,1),(、站间的行车时间、站间的行车时间：njj,.,3,2,、
33、每辆车的载客量：、每辆车的载客量：B B；载客的上限；载客的上限、交通高峰时刻等待时间的上界，交通高峰时刻等待时间的上界，交通的平峰时刻等待时间的上界交通的平峰时刻等待时间的上界t_t、发车时刻表：、发车时刻表：),.,.,(10mkTTTTT 0TkT 表示第一辆车到达起点站表示第一辆车到达起点站j=1j=1的时刻的时刻表示的是第表示的是第k k辆车驶离起辆车驶离起点站点站j j的时刻，的时刻，k=1,2,k=1,2,m m、第第k k辆车驶离辆车驶离j j站的时站的时刻记为：刻记为：kjT121jkkjTT1,.2nj，、第第k k辆车驶离辆车驶离j j站的时侯该车上的站的时侯该车上的人数
34、，记为：人数，记为：k=1,2,k=1,2,m ;,m ;j=1,2,j=1,2,n-1,n-1)(kjkTP、表示从到时段表示从到时段上的来客数；上的来客数；jkT,1jkT,)0(kjW表示第表示第k k辆车驶到辆车驶到j j站时，该站上站时，该站上等待过等待过h h辆车仍然未能上车的乘客数辆车仍然未能上车的乘客数;)(hWkj表示第表示第k k辆车驶到辆车驶到j j站时，该站上等待时间站时，该站上等待时间最久的乘客的候车趟数。最久的乘客的候车趟数。kjh,0)(kjkjhW,0)1(kjkjhW显然有显然有 1111、：表示第、：表示第k k辆车驶到辆车驶到j j站时，站时，等到该站的乘
35、客下完车以后，车上仍然等到该站的乘客下完车以后，车上仍然留下的乘客数。留下的乘客数。kja计算公式为：计算公式为：0,)()(max,11,kjjkTTjjkkkjdttdTPa、表示第表示第k k辆车驶到辆车驶到j j站站后，等到该站的乘客下完后，后，等到该站的乘客下完后，j j站站可容纳的上车乘客的人数的上界，可容纳的上车乘客的人数的上界，显然有：显然有：kjbkjkjaBb_、表示第表示第k k辆车驶到第辆车驶到第j j站后，该车上实际上车的人数站后，该车上实际上车的人数 kjP 模型建立模型建立模型一模型一一段时间内公交车上下车的乘一段时间内公交车上下车的乘客数计算模型客数计算模型第第
36、k-1k-1辆车驶离辆车驶离j j站到第站到第k k辆车驶到辆车驶到j j站站的时间段内，该站上乘客来到的人数的时间段内，该站上乘客来到的人数为：为：jkjkTTjkjdttuW,1,)()0(第第k-1k-1辆车驶离辆车驶离j j站到第站到第k k辆车驶到辆车驶到j j站的时间段内，该站上乘客下车人数站的时间段内，该站上乘客下车人数为：为：jkjkTTjdttd,1,)(模型二模型二第第k k辆车驶离辆车驶离j j站时该车上站时该车上的乘客数量的乘客数量第一步第一步，按照先到先上车的原，按照先到先上车的原则，确定在则，确定在j j站的正在等待的乘客站的正在等待的乘客中，当第中，当第k+1k+
37、1辆车到达车站时，辆车到达车站时，除了能够上车的乘客以外，仍然除了能够上车的乘客以外，仍然还要继续等待的车辆数的最大值还要继续等待的车辆数的最大值记为，这个数满足下面的问记为，这个数满足下面的问题题*kjhkjkjhhrkjkjhhbrWtsh)(.min0第二步，第二步，如果，这如果，这表明，此时刻的所有人都可以上车，表明，此时刻的所有人都可以上车，因此这个时候该车站上，第因此这个时候该车站上，第k k 辆车辆车实际新上车的的乘客人数为实际新上车的的乘客人数为0*kjh)(0hWPkjhhkjkj第三步，第三步，如果如果 ，表明此时，表明此时车站上的所有乘客并不能够都上车，车站上的所有乘客并
38、不能够都上车，必然要留下一部分人，因此这个时候，必然要留下一部分人，因此这个时候，新上车的人数就是原来车上尚余的最新上车的人数就是原来车上尚余的最大的空间，既：，同时显然大的空间，既：，同时显然这个时候，余下的人中第这个时候，余下的人中第k+1k+1辆车到辆车到达车站以后，还没有上车的人中等车达车站以后，还没有上车的人中等车趟数的最大值应当是：趟数的最大值应当是：0*kjhkjkjbP 1*,1kjjkhh 并且有递推数量关系：并且有递推数量关系：)()1(,1hWhWjkjk1,.,1,0*kjhhkjkjhhhkjkjkjjkbhWhW*)()1(*,1即这个时候的第即这个时候的第k+1k
39、+1辆车到达该站时辆车到达该站时已等候车数已等候车数+1+1的人数，就是刚上了的人数，就是刚上了上辆车后，已经上车后剩下的人中原上辆车后，已经上车后剩下的人中原来已经等了辆车的人数，这个数来已经等了辆车的人数，这个数就是就是 ，*kjh*kjhkjkjhhhkjkjbhW*)(所以可以计算出关键的数据：第所以可以计算出关键的数据：第k k辆车驶离辆车驶离j j站时该车上的乘客数量为：站时该车上的乘客数量为：kjkjkjhhkjkjkjhhhhkjkjkjkjkjkjkjkjkbhWhBbhWhhWaPaTP0*_00*)(,0,)(,0),()(模型三模型三 超时率和载客率的计算模型超时率和载
40、客率的计算模型u 第第 k k辆车到达辆车到达j j站时，该站站时，该站上已经等候上已经等候h h趟车的乘客的人数是：趟车的乘客的人数是：kjkjhhhW,.,2,1),(u记交通的高峰时期为，记交通的高峰时期为，而整个时段为而整个时段为 ,21TT,21TTu他们已经等候的时间是他们已经等候的时间是：kjjhkkjkjhhTThWT,.,2,1,)(,u交通高峰时段候车的超时率为交通高峰时段候车的超时率为高峰时段上车的总人数分钟的总人数高峰时段的候车超过5记为：记为：）（TOverW1,T12121kj)(,.,1,5)()(TOverWTTTkjkTTkjkjkjkjTTphhhWThW）
41、（u交通平峰时段候车的超时率为交通平峰时段候车的超时率为：）（TOverW2,T22121kj)(,.,1,10)()(TOverWTTTkjkTTkjkjkjkjTTphhhWThW）（u满载率低于满载率低于50%50%的段数的百分比为的段数的百分比为）（车站数发车次数的段数满载率低于1%50)1(5.0)(1)(_nmBTPTlowCapkjk)(_TlowCap=模型四模型四 优化模型优化模型为了使得公交公司与乘客都满意，就要保证在为了使得公交公司与乘客都满意，就要保证在所选的方案中，乘客等车时间超过上限的人次数所选的方案中，乘客等车时间超过上限的人次数尽量最小；同时也要保证公交公司的车
42、辆的不满尽量最小；同时也要保证公交公司的车辆的不满50%50%的段数尽量地小，显然用段数作为计量的单位的段数尽量地小，显然用段数作为计量的单位是必要的，因为人数的变化、车辆的满载状况是是必要的，因为人数的变化、车辆的满载状况是在每个段上衡量的。当然这里并不关心总的等车在每个段上衡量的。当然这里并不关心总的等车的时间，而关心的是等车超过上限时间的次数，的时间，而关心的是等车超过上限时间的次数，这也是表现等车的基本的数量信息。为了构造满这也是表现等车的基本的数量信息。为了构造满意度模型，我们可以用比率模型来表示，而不是意度模型，我们可以用比率模型来表示，而不是用实际等车的时间数来表示。用实际等车的
43、时间数来表示。).,.,(10mkTTTTT)(.)(.)(.min21TlowCapTOverWTOverWCT)(.)(.)(.min21TlowCapTOverWTOverWCT求求其中是给定的权重，其中是给定的权重，反映的是对三个目标的重视程度反映的是对三个目标的重视程度,模型计算模型计算本问题属于无约束最优化问本问题属于无约束最优化问题，可以用诸如数值微分等方法题，可以用诸如数值微分等方法计算。也可以用离散化的计算方计算。也可以用离散化的计算方法，根据问题的实际背景，通过法，根据问题的实际背景，通过仅考虑决策变量的部分特殊的、仅考虑决策变量的部分特殊的、符合实际的离散化的状态，再从符
44、合实际的离散化的状态，再从中选择较优的方案。中选择较优的方案。将上行和下行两个运行方向的运营将上行和下行两个运行方向的运营分开分别计算，求出两个方向各自在一分开分别计算，求出两个方向各自在一个运行周期中的所有的发车的时间表、个运行周期中的所有的发车的时间表、发车的次数，求出可能的发车次数以后，发车的次数，求出可能的发车次数以后，再进行配车，将发车次数的计算与车辆再进行配车，将发车次数的计算与车辆的陪给数分开计算是合理和必要的。只的陪给数分开计算是合理和必要的。只要知道了一天要运行的次数，就能够求要知道了一天要运行的次数，就能够求出所用的车辆数。这也是运输问题建模出所用的车辆数。这也是运输问题建
45、模的重要的方法。的重要的方法。计算结果计算结果 TotalUp-busDown-bus(3,2,2)0.23744202222(4,3,3)0.27443011515(5,2,3)(5,2,3)0.17480.174829529522222222(5,3,3)0.26462651515(6,2,2)0.18032992222),(321JJJ可见，较好的方案是：可见，较好的方案是：交通平峰时发车时间间隔为分钟；交通平峰时发车时间间隔为分钟；而早交通高峰时发车的时间间隔为分而早交通高峰时发车的时间间隔为分钟，晚交通高峰时的发车间隔时间为钟，晚交通高峰时的发车间隔时间为分钟；分钟；需要的车辆数为辆
46、车需要的车辆数为辆车。4426020)69.1451.14(彩票中的数学建模彩票中的数学建模 近年来，彩票飓风席卷中国大地，巨额诱惑近年来，彩票飓风席卷中国大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到了彩民的行列。目前流行使越来越多的人加入到了彩民的行列。目前流行的彩票主要有传统型和乐透型两种。的彩票主要有传统型和乐透型两种。传统型采用传统型采用1010选选6+16+1的模式，先从的模式，先从6 6组组0909号球中号球中摇出六个基本号，每组摇出一个，然后再从摇出六个基本号，每组摇出一个，然后再从0404号号中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0909十个
47、号码中任选六个基本号码（可以重复），十个号码中任选六个基本号码（可以重复），在从在从0404中选一个特别号码，构成一注。根据单注中选一个特别号码，构成一注。根据单注号码与中奖号码相符合的个数多少以及顺序确定号码与中奖号码相符合的个数多少以及顺序确定中奖等级。以中奖号码为中奖等级。以中奖号码为abcdef+gabcdef+g为例说明中奖为例说明中奖等级，表中等级，表中x x表示未选中的号码；表示未选中的号码；中奖等级 10选6+1 （6+1/10）基本号码 特别号码 说明 一等奖 abcdefg选7中（6+1）二等奖 abcdef 选7中（6）三等奖 abcdex xbcdef 选7中（5）四等
48、奖 abcdxx xbcdex xxcdef 选7中（4）五等奖 abcxxx xbcdxx xxcdex xxxdef选7中（3）六等奖 abxxxx xbcxxx xxcdxx xxxdex xxxxef 选7中（2）乐透型有多种不同的形式，比如乐透型有多种不同的形式，比如3333选选7 7的方案：先从的方案：先从01330133个号码球个号码球中一个一个摇出中一个一个摇出7 7个基本号，再从剩个基本号，再从剩余的余的2626个号码球中摇出一个特别号。个号码球中摇出一个特别号。得到一个中奖号。而投注者任选得到一个中奖号。而投注者任选7 7个个组成一注（不可重复），根据单注号组成一注（不可重
49、复），根据单注号码中与中奖号码相符的个数多少确定码中与中奖号码相符的个数多少确定出中奖的等级，不考虑号码的顺序。出中奖的等级，不考虑号码的顺序。又如又如3636选选6+16+1的方案，先从的方案，先从01360136个号码球中一个一个摇出个号码球中一个一个摇出6 6个基本号，个基本号，再从剩下的再从剩下的3030个号码球中摇出一个个号码球中摇出一个特别号，组成中奖号码。然后，彩特别号，组成中奖号码。然后，彩民从民从01360136个号码中任选个号码中任选7 7个组成一个组成一注，（不可重复），根据单注号码注，（不可重复），根据单注号码与中奖号码的相符的个数多少来确与中奖号码的相符的个数多少来确
50、定中奖的等级。不考虑号码的顺序。定中奖的等级。不考虑号码的顺序。中奖号码数据中奖号码数据彩票规则：彩票规则：以上两种类型的总奖金比例一般以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的为销售总额的50%50%，投注者单注金额为，投注者单注金额为2 2元，元，单注如果以得高级别的奖就不在兼得低级单注如果以得高级别的奖就不在兼得低级别的奖。现在常见的销售规则以及相应的别的奖。现在常见的销售规则以及相应的奖金设置方案见表，其中一、二、三等奖奖金设置方案见表，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖的数为高项奖，后面的为低项奖。低项奖的数额一定，高项奖按照比例进行分配，一等额一定，高项奖按照比例进行
